Rumus Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu Penyelesaian Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu Kaidah-kaidah Faktor Pengintegralan

26

BAB IV PERSAMAAN

DIFF ERENSIAL 1. Definisi Jenjang atau orde suatu persamaan differensial adalah jenjang atau orde dari turunan tertinggi yang terdapat di dalam persamaan . Derajat degree suatu persamaan differensial ditunjukkan oleh pangkat tertinggi dari turunan jenjang tertinggi dalam persamaan differensial . Contoh : dy dx = 2x + 6 . Jenjang pertama , derajat pertama . 4 − 5 5 = 0 . Jenjang pertama , derajat empat . 2 2 + 3 + 2 = 0 Jenjang kedua , derajat pertama . 2 2 7 + 3 3 5 = 75 . Jenjang tiga , derajat lima .

2. Rumus Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu

dy dt + vy = z , v , z , konstanta , atau fungsi waktu .

3. Penyelesaian Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu

= − + , A  konstanta sembarang . Penyelesaian Umum ini akan diuraikan setelah pasal Persamaan Differensial Eksak . Penyelesaian berisi dua bagian : − , disebut fungsi pelengkap komplementer ; y c , − ,disebut integral khusus particular ,y p . y c , penyimpangan dari keseimbangan . y p , keseimbangan antar waktu level ekuilibrium . Untuk yt dinamis stabil : yt = y p ; y c = 0 . Contoh : Selesaikan dy dt + 4y = 12 Penyelesaian : v = 4 , z = 12 . = − 4 + 12 4 27 = −4 + 12 4 = −4 + 3 4 = −4 + 3 Untuk t  ∽ , maka e -4t  0 , sehingga , y t = y p = 3 , keseimbangan dinamis stabil . 4. Persamaan Differensial Eksak Diketahui persamaan fungsi dua variabel F y,t , di mana : M = F y dan N = F t , differensial totalnya : dF y,t = F y dy + F t dt. Jika , disamakan dengan nol , diperoleh Mdy + Ndt = 0 , disebut Persamaan Differensia Eksak. Syarat : M t = F yt =  2 F yt N y = F ty =  2 F ty Menurut Theorema Young :  2 F yt =  2 F ty Contoh : Selesaikan 6yt + 9y 2 dy + 3y 2 + 8t dt = 0 Penyelesaian : 1. M = 6yt + 9y 2 M t = 6y sama N = 3y 2 + 8t N y = 6y 2. Buat integral Partial yang terdiri dari M = F y , dan Zt , untuk mencari fungsi primitive Fy,t . Fy,t = ∫ 6yt + 9y 2 y + Zt = 6 1+1 1+1 + 2+1 3 + = Fy,t = 3y 2 + 3y 3 + Zt 3. Differensial Fy,t terhadap t F t = 3y 2 + Z ’ t ; Z ’ t  differensial parsial Karena F t = N , maka 3y 2 + 8t = 3y 2 + Z ’ t  Z ’ t = 8t 4 = 4 4 . 14 Ingat IAD : Jika de t = e t dt , Maka , ∫ e t dt = e t Jadi : = 14 4 4 = 14 4 28 4. Integralkan Z ’ t terhadap t , diperoleh ∫ Z ’ t dt = ∫ 8t dt = 4t 2 Ingat IAD : ∫ Z ’ t dt = Zt 5. Substitusi Zt ke Fy,t , diperoleh , Fy,t = 3y 2 + 3y 3 + 4t 2 , yang merupakan penyelesaian yang dicari.

5. Kaidah-kaidah Faktor Pengintegralan

Persamaan jenjang pertama non – linier dapat diselesaikan dengan persamaan differensial eksak menggunakan faktor pengintegralan . Assumsikan, M t  N y Kaidah 1 . Jika 1N [ M t – N y] = fy sendiri , maka adalah faktor pengintegralan . Kaidah 2 . Jika 1M [ N y – M t] = gt sendiri , maka adalah faktor pengintegralan . Contoh : 5yt dy + 5y 2 + 8t dt = 0 Penyelesaian : M t = 5y  N y = 10y  persamaan tak dapat diselesaikan . Kaidah 1. [1 5y 2 + 8t ] 5y – 10y = –5y 5y 2 + 8t , bukan fungsi y sendiri . Kaidah 2. 1 5yt 10y – 5y = 5y 5yt = 1t , fungsi t sendiri . Dengan demikian faktor pengintegralannya , 1 = ln = Jadi , penyelesaiannya : 5yt dy + 5y 2 + 8t dt = 0 kedua ruas dikali faktor pengintegralan , t . Diperoleh , 5yt 2 dy + 5y 2 t+ 8t 2 dt = 0 Sekarang , M = 5yt 2 , N = 5y 2 t+ 8t 2 M t = 10y , N y = 10y , dengan demikian persaman diffe - Ingat IAD : Jika , dln t = 1t dt , maka ∫ 1t dt = ln t. Juga ingat Hukum Eksponen dan Logaritma : Misalkan : ln = __ ln kedua ruas dilogaritmakan , diperoleh Ln t ln e = ln x Ln t .1 = ln x  ln t = ln x  x = t , jadi ln = 29 rensial eksak dapat diselesaiakan .

6. Pemisahan Variabel