Kaidah Crammer Untuk Penyelesaian Matrik Determinan Jacobian Determinan Hessian

13 adalah minor , yaitu , determinan dari sub matrik 2 x 2 setelah menghapus baris –i dan kolom ke- j . Jadi , = 22 23 32 33 −1 + adalah tanda matrik kofaktor . Karena -1 dipangkat ganjil adalah negative , maka tanda matrik kofaktor , dibuat sbb , + − + − + − + − + , berganti-ganti tanda . Contoh : = 12 7 5 8 3 6 7 = 13 13 + 23 23 + 33 33 , Dipilih kolom ketiga , karena berisi banyak elemen nol , = −126

6. Kaidah Crammer Untuk Penyelesaian Matrik

Kaidah Crammer , dinyatakan sebagai : = adalah determinan matrik koeifisien. adalah determinan , di mana kolom ke-i matrik koeifisien diganti dengan matrik konstanta. Contoh : Carilah x 1 , dan x 2 dari sistim persamaan linier 6x 1 + 5x 2 = 49 3x 1 + 4x 2 = 32 Penyelesaian : 6 5 3 4 1 2 = 49 32 = 6 5 3 4 = 9 1 = 49 5 32 4 = 36 ; 2 = 6 49 3 32 = 45 , Matrik koeifisien Matrik konstanta 14 Diperoleh , 1 = 36 9 = 4 , 2 = 45 9 = 5

7. Determinan Jacobian

Determinan Jacobian digunakan untuk menentukan bebas linier atau tidak. Jika determinan Jacobian , = 0 , Singular maka tidak bebas linier . Contoh : Diberikan y 1 = f 1 x 1 ,x 2 ,x 3 y 2 = f2x 1 ,x 2 ,x 3 y 3 = f3x 1 ,x 2 ,x 3 = � 1 , � 2 , � 3 � 1 , � 2 , � 3 = � 1 � 1 � 1 � 2 � 1 � 3 � 2 � 1 � 2 � 2 � 2 � 3 � 3 � 1 � 3 � 2 � 3 � 3 Contoh : y 1 = 5x 1 + 3x 2 y 2 = 25x 1 2 + 30x 1 x 2 + 9x 2 2 Penyelesaian : � 1 � 1 = 5 , � 1 � 2 = 3 , � 2 � 1 = 50 1 + 30 2 = 5 3 50 1 + 30 2 30 1 + 18 2 = 0 , tidak bebas linier

8. Determinan Hessian

Syarat optimum maksimum minimum fungsi multivariable z = f x,y : i. z x ,z y = 0 turunan parsial pertama ii. z xx ,z xy  0 minimum iii. z xy ,z yy maksimum iv. z xx z yy z xy 2 Determinan Hessian , = z xy = z yx Theorema Young Definit positif minimu mm z Y X positif f 15 1 = z xx positif = 2 diperoleh minimum H 1 0 , H 2 definit positif selalu positif H 1 0 , H 2 definit negative Contoh: z = 6x 2 −9x−3xy−7y+5y 2 z xx = 12 , z yy = 10 , z xy = −3 = 111 0 definit positif , minimum 1 = 12 0 Menggunakan Operator Leibnitz : = �� � � = � 2 � � partial kedua = �� � � = � 2 � � partial kedua , Setelah partial pertama z = fx,y terhadap x , dilakukan partial kedua zx terhadap y. 9. Analisis Input – Output Output baja memerlukan input antara batu- bara , bijih , besi , listrik , dll. Output baja adalah permintaan akhir. Permintaan total X untuk produk , i , sama dengan jumlah semua input antara ditambah permintaan akhir , b . Pengguna akhir adalah konsumen , investor , pemerintah , dan eksportir . Jika , a ij , adalah koeifisien teknis yang menyatakan harga input , i , yang diperlukan untuk memproduksi produk baja, j ,seharga satu rupiah , maka permintaan total produk , i , dinyatakan sebagai , X i = ai 1 x 1 + a i2 x 2 + …+ a im x n + b 1 , i = 1,2,…,n . Atau bentuk matriknya X = AX + B di mana = 2 X= 1 2 = 11 12 … 1 21 22 … 2 … 1 … 2 … … … A disebut matrik koeifisien teknis. Jadi, X – AX = B I – AX = B X = I – A -1 B 16 Untuk perekonomian tiga sector , diperoleh : 1 2 3 = 1 − 11 − 12 − 13 − 21 1 − 22 − 23 − 31 − 32 1 − 33 −1 1 2 3 , = 1 1 1 , di mana I – A adalah matrik Leontief. Dalam sebuah table input-output lengkap, tenaga kerja dan modal juga dimasukkan sebagai input, yang merupakan nilai tambah perusahaan. Jumlah vertikal elemen-elemen dalam kolom j dalam model tersebut sama dengan satu : biaya input untuk memproduksi sebuah unit komoditi atau memproduksi komoditi seharga satu rupiah. Contoh : Diketahui Tabel Permintaan Transaksi Antarindustri di bawah ini dalam jutaan Rupiah. Tentukan Matrik Koeifisien Teknis . Sektor Asal Sektor Tujuan Permintaan Akhir Permintaan Total Baja Batu bara Besi Mobil Baja 86 20 110 230 160 600 Batu bara 200 50 90 120 140 600 Besi 220 110 30 40 400 Mobil 60 140 160 240 400 400 Nilai Tambah 40 280 10 370 400 1000 Produksi Bruto 600 600 400 1000 Perhatikan jumlah Produksi Bruto masing- masing input sama dengan Permintaan Total masing- masing input . Koeifisien teknis a ij menyatakan jumlah unit atau rupiah , i , yang diperlukan untuk memproduksi satu unit atau satu rupiah produk , j,. Jadi a 11  persentase baja dalam satu rupiah baja , a 21  persentase besi dalam satu rupiah baja , dan a 31  persentase mobil dalam satu rupiah baja . Untuk mencari koeifisien teknis tersebut bagikan setiap elemen dalam masing – masing kolom dengan nilai produksi bruto yang terletak di bagian bawah kolom dengan mengeluarkan nilai tambah . Penyelesaian : Jadi , 17 = 80 600 2000 600 20 600 50 600 110 400 230 1000 20 400 120 1000 220 600 110 600 30 400 40 1000 60 600 1400 600 160 400 240 1000 = 0,133 0,333 0,033 0,083 0,275 0,23 0,225 0,12 0,367 0,183 0,075 0,04 0,10 0,237 0,40 0,24 Contoh : Diketahui Tabel Permintaan Transaksi antar industry di bawah ini : a. Tentukan matrik koeifisien teknis b. Cocokkan jawaban yang diperoleh Sektor asal Sektor tujuan Permintaan akhir Permintaan total 1 2 3 1 20 60 10 50 140 2 50 10 80 10 150 3 40 30 20 40 130 Nilai tambah 30 50 20 Produksi bruto 140 150 130 Penyelesaian : a. = 20 140 40 150 10 130 50 140 10 150 80 130 40 140 30 150 20 130 = 0,143 0,4 0,077 0,357 0,067 0,615 0,286 0,2 0,154 b. = 0,143 0,4 0,077 0,357 0,067 0,615 0,286 0,2 0,154 140 150 130 = 90 140 90 − 140 150 130 − 50 10 40 = 90 140 90 Perhatikan AX = X-B 18 Contoh : Anggaplah bahwa nilai tambah value added dari soal di atas seluruhnya terdiri Input primer tenaga kerja . c. Berapa banyak tenaga kerja diperlukan untuk mencapai permintaan akhir ? d. Jika jumlah tenaga kerja yang tersedia dalam perekonomian adalah 100 , apakah komposisi dari bauran output output mix tersebut mungkin feasible ? e. Cocokkan ketelitian koeifisien teknis Penyelesaian : c. Bagilah masing- masing nilai tambah dengan produksi bruto . Diperoleh , 1 = 3040 = 0,214 ; 2 = 50150 = 0,333 ; 3 = 20130 = 0,154 . Jumlah tenaga kerja yang diperlukan untuk permintaan akhir sama dengan koeifisien teknis tenaga kerja dikali dengan permintaan akhir , karena tenaga kerja juga digunakan untuk memproduksi produk-produk antara . Jadi , diperoleh : = 0,214 0,333 0,54 140 150 130 = 99,93 d. Karena 99,93 100 , maka komposisi di atas layak . e. Karena setiap rupiah output harus dihitung dalam satuan input , maka koeifisien teknis diperiksa dengan menjumlahkan seluruh koeifisien teknis yang jumlahnya sama dengan satu . 1 2 3 1 0,143 0,4 0,077 2 0,357 0,067 0,615 3 0,286 0,2 0,154 Nilai tambah tenaga kerja 0,24 0,333 0,154 1 1 1 10. Akar dan Vektor Karakteristik Nilai Eigen ,Vektor Eigen Akar karakteristik suatu matrik digunakan untuk memeriksa kedefinitan tanpa definisi defferensial derevatif. Diberikan A matrik persegi , dapat ditemukan 19 AV = cV , di mana V adalah vector  0 dan c adalah scalar yang memenuhi persamaan di atas . Mungkinkah AV = cV ? , di mana A matrik persegi A nxn dan c sbuah scalar konstanta ? Tentu ordo V ruas kiri sama dengan ordo V ruas kanan . Dan V sudah pasti vector kolom , sebab A nxn tak dapat dikalikan dengan vector baris . Kalau demikian jawabnya , persamaan di atas dapat terjadi. Di sini c disebut akar karakteristik atau eigen value , dan V disebut vector karakteristik atau eigen vector . Persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai , AV = cIV I  identitas AV – cIV = A-cIV = A – cI disebut matrik karakteristik dari A. Jika V  0 , maka salah satu dari A –cI V = 0 , harus nol , dan singular . − = 11 − 12 13 21 22 − 23 31 32 33 − = 0 , untuk A 3x3 . Karena − = 0 , maka persaman AV = cV mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya . Untuk memperoleh penyelesaian tunggal , dilakukan Normalisasi , dengan syarat element v i dari V , memenuhi  v i 2 = 1 , atau v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 = 1 , atau 11 − 12 13 21 22 − 23 31 32 33 − 1 2 3 = Syarat ke- definit -an : 1 Semua c positif , A definit positif 2 Semua c negatif , A definit negatif 3 Semua c tidak negatif , dan paling sedikit satu c =0 , A semi definit positif 4 Semua c tidak positif , dan paling sedikit satu c =0 , A semi definit negatif 5 Berapa c positif dan berapa negative , A indefinite . 20 Contoh : Diketahui , = − 6 3 3 −6 Penyelesaian : − = − 6 − 3 3 −6 − = 0 −6 − −6 − − 3.3 = 0 c + 9 c + 3 = 0 c 1 = –9 c 2 = –3 Kedua c negative , maka A definit negatif. A –cI V = 0 − 6 3 3 −6 1 2 = 0 3v 1 + 3v 2 = 0  v 1 = –v 2 Dari Normalisasi :  v i 2 = 1 v 1 2 + v 2 2 = 1 –v 2 2 + v 2 2 = 1  v 2 2 + v 2 2 = 1  2v 2 2 = 1  v 2 =  ½ 2 Jadi, � = 1 2 2 − 1 2 2 ,sebagai eigenvector . 11. Linier Programming : Metode Simpleks Metode Simpleks atau algoritma simpleks digunakan untuk menyelesaikan Sistim Pertidaksamaan Linier yang berisi sangat banyak variable linier menggunakan grafik . Contoh : Maksimumkan fungsi laba berikut ,  = 5x 1 + 3x 2 fungsi objektif sasaran , dengan Kendala 6x 1 + 2x 2  36 2x 1 + 4x 2  28 5x 1 + 5x 2  40 x 1 , x 2  0 Penyelesaian : 21 Algoritma : 1. TABEL SIMPLEKS AWAL i. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menaambah variable slack , diperoleh 6x 1 + 2x 2 + s 1 = 36 5x 1 + 5x 2 + s 2 = 40 2x 1 + 4x 2 + s 3 = 28 Penambahan variable slaxk ,s memungkinkan penulisan pertidaksamaan menjadi persamaan . ii. Bentuk matrik persamaan 6 2 5 5 2 4 1 2 1 2 3 = 36 40 28 Identitas 3x3 iii. Buat table simpleks awal : Tuliskan vektor kolom variabel di atas matrik koeifisien . Tuliskan koeifisien fungsi objektif di bawah matrik koeifisien , dengan member tanda negatif indikator ,  = 5x 1 + 3x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 = 0. Elemen kolom konstanta dituliskan sama dengan nol 0 , yaitu fungsi objektif di titik asal 0,0 ,  = 5.0 + 3.0 = 0 , di mana x 1 = x 2 = 0 Tabel simpleks awal : x 1 x 1 s 1 s 2 s 3 Konstanta X 16  6 2 1 36 5 5 1 40 2 4 1 28 –5 –3 Fungsi ob jektif awal Indikator 2. Elemen Pivot dan perubahan dasar basis . 22 i. Kolom Pivot : Tentukan nilai absolute terbesar dari indikator negatif . Karena nilai absolute −5 = 5, maka –5 merupakan indikator yang pertama dipilih . Karena –5 terletak pada kolom pertama , maka x 1 masuk ke dalam basis , dan kolom x 1 menjadi kolom Pivot , ditandai dengan tanda panah . ii. Baris Pivot : Bagi elemen konstanta dengan kolom Pivot ,diperoleh 366 405 282 . Pembagian terkecil , dengan mengabaikan hasil lebih kecil atau sama dengan nol  0 , {0, -12 , . . . }, menentukan variabel yang mrninggalkan basis . Karena 366 terkecil , baris pertama adalah baris Pivot . Karena s 1 mempunyai koeifisien 1 pada baris Pivot , maka s 1 keluar dari basis. Perpotongan baris Pivot dan kolom Pivot , merupakan elemen Pivot . Jadi , 6 adalah elemen Pivot. 3. Pivoting i. Kalikan baris Pivot dengan balikan elemen Pivot , diperoleh Tabel Kedua x 1 x 1 s 1 s 2 s 3 Konstanta 1 13 16 6 5 5 1 40 2 4 1 28 –5 –3 ii. Reduksi seluruh elemen kolom Pivot menjadi nol 0 , kecuali elemen baris pivot , diperoleh : baris 2 dikurang 5x baris 1 , baris 3 dikurang 2x baris 1, baris 4 dikurang 5x baris 1, Baris Pivot 23 x 1 x 1 s 1 s 2 s 3 Konstanta 1 13 16 6 103 –56 1 10 103 –13 1 16 –43 56 30 Diperoleh , 4. Pilih kembali elemen indikator yang negatif , yaitu , –43 . bagi kolom konstanta dengan kolom Pivot kolom 2 , diperoleh 103 sebagai elemen Pivot . Karena s 2 mempunyai koeifisien 1 pada baris Pivot , s 2 akan meninggalkan basis . Pivotting : i. Kalikan baris 2 dengan balikan 103 , yaitu 310 , diperoleh ii. Reduksi elemen kolom Pivot menjadi nol , kecuali baris 2 , diperoleh , baris 1 dikurang 13x baris 2 , baris 3 dikurang 103x baris 2, baris 4 ditambah 43x baris 2, Baris Pivot diperoleh , Tabel Ketiga x 1 x 1 s 1 s 2 s 3 Konstanta 1 ¼ –110 5 1 –14 310 3 ½ –1 1 6 ½ 25 34 Pada baris indikator tidak terdapat lagi elemen negative , maka penyelesaian sudah optimum . Elemen pada kolom konstanta menunjukkan , 1 = 5 , 2 = 3 , 3 = 6 24 12. Investasi ,Biaya Total , dan Biaya Marginal Investasi bersih didefinisikan sebagai tingkat perubahan dalam formasi saham modal capital stock K selama waktu , t . Pembentukan modal sepanjang waktu , diperoleh It = dKt dt = Kt . Pembentukan modal merupakan integral yang berkenanan dengan waktu investasi bersih . It = dKt dt It dt = dKt ∫ ∫ It dt = ∫ dKt = Kt + c c = K = saham modal awal K . Biaya marginal adalah perubahan dalam biaya total akibat perubahan incremental tambahan dalam output , MC = dTC dQ , dan hanya biaya Variabel yang berubah bersamaan dengan tingkat output , MC = dTC dQ MC dQ = dTC ∫ ∫ MC dQ = TC = VC + c C = FC Fixed Cost = biaya awal . VC Variabel Cost Contoh : Diberikan Investasi bersih , It = 140 t 34 dan saham awal pada t = 0 adalah 150 . Diperoleh , K = ∫ It dt = ∫ 140 t 34 dt = 140 3 4 +1 3 4 +1 + = 140 7 4 7 4 + = 80 74 + , c = K = 150 = 80 74 + 150 . Contoh : Diketahui , MC = dTC dQ = 32 + 18 Q –12Q 2 , FC = 43 Tentukan , TC , AC , , dan VC 25 Penyelesaian : TC = ∫ 32 + 18 Q –12Q 2 dQ = 32Q + 9Q 2 –4Q 3 + c = VC + c Pada , Q = 0 , TC = FC= 43 TC = 32Q + 9Q 2 –4Q 3 + 43 AC = TC Q = 32 + 9Q –4Q 2 + 43 Q VC = 32Q + 9Q 2 –4Q 3 13. Nilai Sekarang dari Arus Kas Nilai sekarang dari sejumlah uang yang diterima di masa mendatang , bila dimajemukkan secara kontinu , ditunjukkan oleh P = Se -n . Oleh karena itu , nilai sekarang dari suatu arus penghasilan yang akan datang uang yang diterima setiap tahun selama n tahun , ditunjukkan oleh integral = − = − = − 1 − = − − = − − − − 0 = − − − 1 = 1 − − ; r  tingkat bunga majemuk. , 26

BAB IV PERSAMAAN