1
BAB I INTEGRAL SEBAGAI ANTI DIFFERENSIAL IAD
1. Definisi
Diketahui sebuah fungsi Umum pangkat n , sebagai berikut , Fx = Y = ax
n
; a koeifisien x
n
,
arbitrary
sembarang, n pangkat arbitrary.
Jika Y = ax
n
di
defferensial
, diperoleh Y = ax
n
ddifferensial dY = dax
n
,seolah-olah notasi d dilekatkan begitu saja , sebab d semata-mata hanya operator
differensial
diperoleh, dY = nax
n-1
dx ,nax
n-1
disebut fungsi Turunan . Jadi fungsi Primitif Y = ax
n
hanya dikalikan n dan
power
pangkat nya dikurangi satu. Jika sekarang diintegralkan diintegrasi diperoleh,
dY = nax
n-1
dx ∫
integral , hasilnya
=
−1 +1
−1 +1
+ ,
k konstanta
,hasil ini disebut
IAD
,ini memang dikarang-karang saja agar hasilnya kembali ke fungsi
Primitif
, Y = ax
n
+ k ,
Perbedaannya hanya konstanta, k . Fungsi primitif yang di-defferensial memberikan fungsi Turunan, dan fungsi Turunan yang
diintegrasi kembali ke fungsi
Primitif
. Tapi fungsi ,
Y = ax
n
+ k , Jika di-defferensial maka member hasil
Y = nax
n-1
pula , sebab dk = 0.
2. Integral Substitusi
Diberikan sebuah fungsi Y = 3x x
2
+ 1. Jika sekarang ingin dicari integral dari fungsi di atas, yaitu
∫ 3x x
2
+ 1 dx , maka dilakukan pemisalan , u = x
2
+ 1 d
du = dx
2
+ 1 = dx
2
+ d1 du = 2x dx + 0 dx = 2x dx
du = 2x dx X 32
3 2
= 3 Integrasi di atas ditransformasi menjadi
2
2
+ 1 3
=
3 2
=
3 2
=
3 2
1+1
1+1
+ =
3 2
1 2
2
=
3 4
2
+ =
3 4
2
+ 1
2
+ .
3. Integral Separatis Integral Sepihak
Jika persoalan yang sama seperti di atas ingin di-integralkan dengan integral separatis, yaitu
∫ 3x x
2
+ 1 dx , apakah hasilnya sama ? Karena fungsi di atas adalah fungsi perkalian dua fungsi, maka
Y = u .v ; u = ux
– dalam fungsi x v = vx
– dalam fungsi x
Y = u .v d
dY = du.v
dY = v du + u dv ∫
∫ dY =
∫ v du +
∫ u dv
Y = ∫
v du + ∫
u dv ∫
u dv = Y –
∫ v du
∫
u dv = u.v
– ∫
v du Jika,
u = x
2
+ 1 d
du = 2x dx dv = 3x dx
∫ v =
∫ 3x dx
=
3 1+1
1+1
=
3 2
2
Jadi, ∫
3x x
2
+1 dx = ∫
x
2
+1 3x dx =
∫ u dv
∫ x
2
+1 3x dx = u.v
– ∫
v du =
2
+ 1
3 2
2
−
3 2
2
2 =
2
+ 1
3 2
2
− 3
3
=
2
+ 1
3 2
2
−
3 3+1
3+1
+ =
2
+ 1
3 2
2
−
3 4
4
+ =
3 4
4
+
3 2
2
+ =
3 4
4
+ 2
2
=
3 4
2
+ 1
2
+
3
4. Differensial Fungsi Dua Variabel
Kategori