BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan menggunakan multiplier lagrange serta penerapannya yang akan digunakan
sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini, yang akan dipergunakan pada bab pembahasan.
2.1 Optimasi
Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan
masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Salah satu bentuk umum
masalah optimasi adalah untuk menentukan bersyarat
x = x
1,
x
2,
… , x
n
sehingga mencapai tujuannya untuk memaksimumkan meminimumkan
fx
dengan kendala
g
n
x ≥ 0 dan untuk x ≥ 0 . dengan
fx
dan
g
n
x
adalah fungsi yang diketahui dengan
n
variabel keputusan.
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk masalah optimasi yaitu optimasi bersyarat dan optimasi tak bersyarat.
2.1.1 Optimasi Tak Bersyarat
Optimasi tak bersyarat merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki syarat atau tidak memiliki batasan- batasan , sehingga untuk
x = x
1,
x
2,
… , x
n
mempunyai fungsi tujuan adalah memaksimumkan meminimumkan
fx
.
Universitas Sumatera Utara
Syarat perlu dan syarat cukup untuk suatu penyelesaian
x = x
merupakan penyelesian optimal saat
fx
merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah pada
x = x
, untuk j = 1,2, … , n. Dimana
fx
dengan kondisi ini juga mencukupi, sehingga mencari solusi untuk
x
tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem
n
persamaan yang diperoleh dengan
n
turunan parsial sama dengan nol.
2.1.2 Optimasi Bersyarat
Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki batasan - batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi
fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan.
Maksimumkan Minimumkan
z = fx, x = {x
1
, x
2
, …, x
n
}
Dengan kendala
g
1
x ≤, =, ≥ = b
1
g
2
x ≤, =, ≥ = b
2
…
g
m
x ≤, =, ≥ = b
m
Disini jika terjadi bahwa
m n
maka tidak dapat diselesaikan. Akan tetapi untuk dapat menyelesaikannya maka
m ≤ n jumlah kendala lebih kecil daripada variabel.
Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi adalah metode pengali Lagrange, karena metode Lagrange tersebut prinsip kerjanya
sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai :
Lx,
λ =
fx +
m i
1
λ
i
g
i
x
Universitas Sumatera Utara
Teorema : Syarat perlu bagi sebuah fungsi
fx
dengan kendala
g
j
x = 0
, untuk j = 1, 2, … , m
agar mempunyai minimum relatif pada titik
x
adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
Lx, λ = x
1
,x
2
,…,x
n
,
m
,..., ,
2 1
terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol. Luknanto, 2000: 12
Teorema: Syarat harus bagi sebuah fungsi
fx
agar mempunyai minimumatau maximum relatif pada titik
x
adalah jika fungsi kuadrat Q, yang didefinisikan sebagai
n i
n j
j i
j i
dx dx
x x
L Q
1 1
2
Dievaluasi pada
x = x
harus definit positif atau negatif untuk semua nilai
dx
yang memenuhi semua kendala.
Luknanto, 2000: 13
Syarat perlu agar
n i
n j
j i
j i
dx dx
x x
L Q
1 1
2
menjadi definit positif atau negatif untuk setiap variasi nilai
dx
adalah setiap akar dari polynomial
z
i
, yang didapat dari determinan persamaan dibawah ini harus positif atau negatif.
L
11
- z L
12
L
13
… L
1n
g
11
g
12
… g
m1
L
21
L
22
-z L
23
… L
2n
g
12
g
22
… g
2n
… …
L
n1
L
n2
L
n3
… L
nn
-z g
m1
g
m2
… g
mn
g
11
g
12
g
13
… g
1n
… 0 g
21
g
22
g
23
… g
2n
… 0 …
… g
m1
g
m2
g
m3
… g
mn
0 0 … 0
= 0
Dengan
L
11
=
dan
g
ij
= Luknanto, 2000 : 13
11
Universitas Sumatera Utara
Arti dari pengali Lagrange secara fisik yang menarik dimisalkan terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut: maksimumkan
minimumkan
fx
dengan kendala
gx = b
Fungsi Lagrangenya adalah L x, λ = f x + λb
-g x
Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adalah
= 0 Maka persamaan diatas menghasilkan :
b
–
gx
= 0 atau
b = gx
didapat;
Atau
Atau
Atau
df dg
Universitas Sumatera Utara
menghasilkan yang final yaitu df =λdb karena b = gx
atau df = λ
db
Dapat diambil suatu kesimpulan bahwa dari persamaan diatas pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan
f,
berbanding lurus dengan perubahan Kendala
b
dengan faktor sebesar pengali Lagrange λ.
2.2 Metode Pengali Lagrange