BAB 3
PEMBAHASAN
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu optimasi tak bersyarat dan optimasi bersyarat. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan bentuk yang pertama
seperti uji turunan pertama, uji turunan kedua, untuk fungsi satu variabel. Sedangkan optimasi bersyarat merupakan jenis yang paling banyak dijumpai dalam kehidupan
nyata. Banyak aplikasi dalam pemodelan matematika dari optimasi fungsi yang menggunakan syarat untuk memperoleh solusi optimal. Syarat yang mengoptimumkan
fungsi tujuan yang dinamakan dengan optimasi bersyarat. Bentuk umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah menentukan nilai dari variabel keputusan nilai
ekstrim
x = x
1,
x
2, …
x
n
yang memaksimumkan ataupun meminimumkan fungsi dari permasalahan :
Maksimumkan minimumkan :
z = fx
Dengan kendala :
g
1
x
≤, =, ≥
b
1
……………………..
g
m
x≤, =, ≥ b
m
Dimana
fx
merupakan fungsi tujuan dan
g
1
x
≤, =, ≥
b
1
merupakan fungsi kendala. Akan tetapi dalam penulisan skripsi ini akan di uraikan optimasi fungsi
dengan kendala persamaan.
3.1 Optimasi Dengan Kendala Persamaan Menggunakan Multipilier Lagrange.
Metode multiplier lagrange merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstrim berkendala, dimana fungsi kendalanya berbentuk
persamaan. Metode multiplier lagarange dikembangkan untuk mengatasi masalah
Universitas Sumatera Utara
optimasi dengan kendala persamaan dalam suatu bentuk sedemikian hingga syarat perlu bagi masalah optimasi tanpa kendala masih bisa diterapkan. Metode ini banyak
digunakan karena cara kerjanya sederhana dan mudah dimengerti.
Bentuk persoalan dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan dirumuskan sebagai berikut :
Maksimumkan minimumkan :
z = fx
Dengan kendala
g
1
x
≤, =, ≥
b
1
…
g
m
x≤, =, ≥ b
m
Dimana
fx
merupakan fungsi tujuan dan
g
1
x
≤, =, ≥
b
1
merupakan fungsi kendala. Akan tetapi dalam penulisan skripsi ini akan di uraikan optimasi fungsi
dengan kendala persamaan, dari persoalan tersebut digunakan pengali lagrange λ
i
dengan fungsi kendala ke
i
dan persamaan fungsi Lagrangenya adalah
Lx,
λ =
fx +
m i
1
λ
i
g
i
x
Seperti pada kasus optimasi tanpa kendala, syarat cukup pada kasus ini juga diekspresikan dalam bentuk determinan. Posisi determinan matriks
Hessian
pada optimasi dengan kendala persamaan digantikan dengan apa yang disebut
Bordered Hessian.
Syarat cukup ini diterapkan setelah syarat perlu dipenuhi dan digunakan untuk mengetahui prilaku dari
L x
, λ pada nilai kritisnya.
Contoh : 1
Carilah fungsi
fx, y = x
3
+ y
3
+ xy
dengan syarat
x + y
–
4 = 0
Penyelesaian : Optimumkan :
fx, y = x
3
+ y
3
+ xy
Dengan kendala :
gx,y = x + y
–
4 = 0
Maka fungsi baru lagrangennya Fx, y, λ = fx, y + λgx + y
- 4
Fx, y, λ = x
3
+ y
3
+ xy + λx + y –
4
Universitas Sumatera Utara
Syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim :
Sehingga turunan pertama terhadap setiap variabel adalah sebagai berikut :
Dari persamaan 1 dan 2 didapat : λ =
- 3x
2
+ y
λ =
- 3y
2
+ x
sehingga persamaannya menjadi λ = λ
maka
3y
2
+ x = 3x
2
+ y
4 dari persamaan 3 didapat
y = 4
–
x
maka disubtitusikan ke persamaan yang ke 4
34
–
x
2
+ x = 3x
2
+ 4
–
x 48
–
24x + 3x
2
+ x = 3x
2
–
x + 4 22 x = 44
x = 2
maka
x = 2
→
x + y
–
4= 0
→
y = 2
pada
x = 2
dan
y = 2
fungsi tujuannya memberikan nilai ekstrim
fx ,y = 20
syarat cukup untuk menguji sifat titik stasioner untuk mengetahui perilaku fungsi Fx, y, λ = x
3
+ y
3
+ xy + λx + y –
4
pada
x = 2, y = 2
Universitas Sumatera Utara
x g
y g
x g
2 2
x L
y x
L
2
y g
x y
L
2 2
2
y L
2
H
1 1
2
H
1
x
6
1 1
1
y 6
Pada titik 2,2 diproleh nilai H
2
1
1
2
H
1
12 1
1
1 12
Maka untuk mendapatkan nilai determinan dari H
2
adalah H
2
= 0 + 1
H
2
= 0 – 11 + -11 = -22
Jadi pada nilai L pada 2, 2 dengan H
2
= -22 adalah minimum relatif
3.2. Utilitas Marjinal Persial Serta Keseimbangan Konsumsi
