2.6 Fungsi Utilitas Marginal
Fungsi utilitas merupakan fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas kepuasan, kegunaan yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada
umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya titik jenuh pada jumlah
konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.
Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Adapun persamaan utilitas total total utility,
U
dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolic, dengan kurva berbentuk parabola terbuka kebawah. Utilitas
marginal marginal utility,
MU
merupakan utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal
merupakan derivative pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan
U= fQ
dimana
U
melambangkan utilitas total dan
Q
jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal :
MU = U’ = dU dQ Dumairy, 1996 : 226
U = fQ U
MU Q
Gambar 2.4. Grafik bentuk kurva utilitas 22
Universitas Sumatera Utara
Karena fungsi utilitas total yang non liner pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat, fungsi utilitas marginalnya akan berbentuk fungsi liner. Kurva utilitas
marginal
MU
selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total
U
berada pada posisi puncaknya.
Contoh : 4
U = fQ = 90Q
–
5Q
2
MU = U’ = 90 –
10Q U
maksimum pada
MU = 0 MU = 0
Sehingga nilai
Q = 9
Maka,
U
maksimum
= 909 – 59
2
= 810 – 405
= 405
Diperlihatkan oleh gambar dibawah ini :
MU = 90 -10Q
9 18
90 405
U = 90Q – 5Q
2
Q U, MU
Gambar 2.5. Grafik kurva fungsi
U = fQ = 90Q
–
5Q
2
dan MU = U’ = 90 –
10Q
23
Universitas Sumatera Utara
2.7 Produk Marginal
Produk marginal
marjinal product, MP
ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk
marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan
P = fx
dimana
P
melambangkan jumlah produk total dan
x
adalah jumlah masukan, maka produk marginal :
MP = P’ = dp dx
Karena fungsi produk total yang non liner pada umumnya berbentuk fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat. Kurva produk
marginal
MP
selalu mencapai nilai ektrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva produk total
P
berada pada posisi titik beloknya. Produk total mencapai puncaknya ketika produk marjinalnya nol. Produk total menurun bersamaan
dengan produk marginal menjadi negatif. Produk marjinal negatif menunjukkan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi
jumlah produk total. Dumairy, 1996: 227
Contoh 5. Produksi total
P = fx = 9x
2
–
x
3
produk marjinalnya adalah MP = P’ = 18x –
3x
2
Sehingga P
maksimum
pada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan P
maksimum
= 108 P berada dititik belok dan MP maksimum pada P’’ = MP’ = 0 yaitu pada x = 3
24
Universitas Sumatera Utara
Diperlihatkan oleh gambar dibawah ini :
x
6
P,MP
108
54
27
3
P=fX
MP = gx
Gambar. 2.6. Kurva fungsi
P = fx = 9x
2
–
x
3
dan MP = P’ = 18x –
3x
2
25
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu optimasi tak bersyarat dan optimasi bersyarat. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan bentuk yang pertama
seperti uji turunan pertama, uji turunan kedua, untuk fungsi satu variabel. Sedangkan optimasi bersyarat merupakan jenis yang paling banyak dijumpai dalam kehidupan
nyata. Banyak aplikasi dalam pemodelan matematika dari optimasi fungsi yang menggunakan syarat untuk memperoleh solusi optimal. Syarat yang mengoptimumkan
fungsi tujuan yang dinamakan dengan optimasi bersyarat. Bentuk umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah menentukan nilai dari variabel keputusan nilai
ekstrim
x = x
1,
x
2, …
x
n
yang memaksimumkan ataupun meminimumkan fungsi dari permasalahan :
Maksimumkan minimumkan :
z = fx
Dengan kendala :
g
1
x
≤, =, ≥
b
1
……………………..
g
m
x≤, =, ≥ b
m
Dimana
fx
merupakan fungsi tujuan dan
g
1
x
≤, =, ≥
b
1
merupakan fungsi kendala. Akan tetapi dalam penulisan skripsi ini akan di uraikan optimasi fungsi
dengan kendala persamaan.
3.1 Optimasi Dengan Kendala Persamaan Menggunakan Multipilier Lagrange.