x g
y g
x g
2 2
x L
y x
L
2
y g
x y
L
2 2
2
y L
2
H
1 1
2
H
1
x
6
1 1
1
y 6
Pada titik 2,2 diproleh nilai H
2
1
1
2
H
1
12 1
1
1 12
Maka untuk mendapatkan nilai determinan dari H
2
adalah H
2
= 0 + 1
H
2
= 0 – 11 + -11 = -22
Jadi pada nilai L pada 2, 2 dengan H
2
= -22 adalah minimum relatif
3.2. Utilitas Marjinal Persial Serta Keseimbangan Konsumsi
Dalam kenyataan sehari - hari, seorang konsumen tidak hanya mengkonsumsi satu macam barang tetapi berbagai macam. Jika kepuasan konsumen dilambangkan dengan
U
dan barang-barang yang dikonsumsinya dilambangkan dengan
q
i
i
= 1,2, …n,
maka fungsi utilitasnya dapat dituliskan dengan notasi
U
=
f q
1
, q
2
…..q
n
. seandainya untuk menyederhanakan dianggap bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi
dua macam barang, misalnya
x
dan
y
, maka fungsinya utilitasnya adalah :
U = f x, y
Universitas Sumatera Utara
Derivatif pertama dari
U
merupakan utilitas marjinal parsialnya. adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang
x
. adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang
y
Untuk
U
= konstanta tertentu, fungsi utilitas
U= fx, y
merupakan suatu persamaan kurva indiferensi, yaitu kurva yang menunjukan berbagai kombinasi
konsumsi barang
x
dan
y
yang memberikan tingkat kepuasan yang sama.
Keseimbangan konsumsi maksudnya adalah suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum.
Keseimbangan terjadi pada persinggungan kurva idenferensi dengan garis anggaran komsumen
budget line
.
Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan kemampuan komsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dengan harganya masing-masing dan
pendapatan konsumen. Jika pendapatan konsumen berjumlah
M
serta harga barang
x
dan barang
y
masing-masing
Px
dan
Py
persamaan
budget line-
nya dapat ditulis dengan notasi
M = x.Px + y.Py.
Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum atau keseimbangan konsumsi dapat dicari dengan
Multiplier Lagrange.
Dalam hal ini fungsi utilitas
U = f x,y
dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran
M = x.Px + y.Py.
diproleh fungsi
Lagrange:
F X,y = f x,y + λ x.Px + y.Py
-M
Agar
F
maksimum : Fx x,y = 0 fx x, y + λ.Px = 0 1
Fy x, y = 0
fy x, y + λ.Py = 0 2 Selanjutnya perhatikan :
Utilitas total :
U = fx,y
Utilitas marjinal :
MU = U’ = f’ x, y 30
Universitas Sumatera Utara
Utilitas marjinal barang
x
:
MUx = fx x, y =
Utilitas marjinal barang
y
:
MUy = fx x, y =
Dari persamaan 1 fxx, y + λ.Px = 0
-
λ=
Dari persamaan 2 fyx, y + λ.P
y = 0 -
λ =
Diperoleh =
berakibat
Dapat diartikan pula bahwa keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marjinal masing-masing barang terhadap harganya bernilai sama.
Contoh 2. Kepuasan konsumen dari kombinasi dua pakaian dan makanan ditunjukkan oleh
fungsi
U = 4x
2
+ 2y
2
+ 5,
dengan
x
menyatakan pakaian dan
y
menyatakan makanan. Jumlah pendapatan konsumen 90000 rupiah, harga pakaian dan harga makanan per
unit masing – masing 5000 rupiah dan 1000 rupiah. Hitunglah kombinasi konsumsi
pakaian dan makanan yang memberikan kepuasan optimum. Penyelesaian :
Diketahui :
U = 4x
2
+ 2y
2
+ 5
Jumlah pendapatan
M
= 90000 Harga pakaian
P
x
= 5000 Harga makanan
P
y
= 1000 Maka persamaannya menjadi
M = xP
x
+ yP
y
90000
=
5000
x +
1000
y
5000
x +
1000
y
– 90000
= 0
Dari persamaan yang diatas maka diperoleh persamaan Lagrange yang baru :
Fx, y = 4x
2
+ 2y
2
+ 5 + λ5000x + 1000y –
90000
Universitas Sumatera Utara
Fx, y = 4x
2
+ 2y
2
+
5 + 5000 λx + 1000 λ y – 90000 λ
Supaya
F
menjadi maksimum maka :
F
x
= 8x + 5000 λ = 0 , maka
-
λ = 8x 5000 1
F
y
= 4y + 1000 λ = 0, maka
-
λ = 4y 1000 2 Dari persamaan 1 dan 2 didapat
8x 5000 = 4y 1000
maka
8000x = 20000y
Sehingga Maka 5000
x
+ 1000
y
– 90000 = 0 5000
x
+ 1000 – 90000 = 0
5000
x
– 400
x
= 90000 4600
x
= 90000
x
= 90000 4600 maka nilai
x
= 19, 57 Didapat nilai
x
= 19, 57 dan
y
=
y
= = 7, 83
Sehingga,
U
= 4
x
2
+ 2
y
2
+ 5 = 4 19,57
2
+ 2 7, 83
2
+ 5 = 1531, 94 + 122,61 + 5 = 1659,55. Jadi kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 19, 57 unit
pakaian dan 7, 83 unit makanan, dengan nilai kepuasan
U
= 1659,55
Contoh 3 Fungsi utilitas untuk dua komoditas yang diberikan oleh fungsi
U = x
2
y
dan anggaran pengeluaran
3x + 6y = 18
, berapa nilai
x
dan
y
yang memberikan kepuasan optimum.
Penyelesaian : Maksimumkan
U = x
2
y
Dengan kendala
3x + 6 y = 18
Dari persamaan diatas diperoleh fungsi baru
Lagrange
;
L = x
2
y + λ 3x + 6 y –
18 L = x
2
y + 3 λ x + 6 λy – 18 λ
Agar
L
maksimum
L
x
= 2xy + 3 λ = 0 maka –
λ = 2xy 3 1 32
Universitas Sumatera Utara
L
y
= x
2
+ 6λ = 0 maka –
λ = x
2
6
2 Berdasarkan persamaan 1 dan 2 didapat
2xy 3 = x
2
6
maka
12xy = 3x
2
y = x
4 sehingga 3
x
+ 6
y
– 18 = 0 3
x
+ 6
y
= 18 maka 3
x
+ 6 = 18
x
= 4 karena nilai
x
= 4 maka
y
=
x
4 = 4 4 =1 U = x
2
y = 4
2
. 1 = 16 Jadi kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 4 unit
x
dan 1 unit
y
, dengan nilai kepuasan
U
= 16
3.3 Produk Marjinal Parsial Dan Keseimbangan Produksi.
