1.2 Perumusan Masalah
Metode Multiplier Lagrange digunakan untuk menentukan persoalan optimasi dengan kendala menjadi optimasi tanpa kendala. Selanjutnya menerapkan metode tersebut
untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat yang dimodelkan dalam bentuk optimasi didalam bidang ekonomi.
Bentuk umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah sebagai berikut: Tentukan nilai dari variabel keputusan nilai ekstrim
x = {x
1
, x
2
, …, x
n
}
yang memaksimumkan meminimumkan fungsi dari permasalahan:
Maksimumkan Minimumkan
z = fx
Dengan kendala
g
1
x≤, =, ≥ b
1
g
2
x≤, =, ≥ b
2
……………….
g
m
x≤, =, ≥ b
m
dimana:
f x
merupakan fungsi tujuan
objective function
, dan
g
m
x≤, =, ≥
b
m
merupakan fungsi kendala.
Untuk menentukan nilai ekstrim dari persoalan tersebut digunakan pangali λ
i
dengan fungsi kendala ke
i
dan persamaan fungsi Lagrangenya:
Lx,
λ =
fx +
m i
1
λ
i
g
i
x
1.3 Batasan Masalah
Dalam tulisan ini penulis hanya membatasi permasalahannya pada pembahasan tentang masalah optimasi bersyarat dengan metode Lagrange. Metode tersebut
digunakan untuk menentukan masalah optimasi dengan kendala menjadi tanpa kendala dan menerapkan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah optimasi
bersyarat yang dimodelkan dalam bentuk optimasi didalam bidang ekonomi. 3
Universitas Sumatera Utara
1.4 Tinjauan Pustaka
Luknanto 2000, dalam bukunya yang berjudul “
Pengantar Optimasi Non-
Linier”. Menyatakan bahwa optimasi multi-variabel dengan kendala persamaan mempunyai
bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan
f
=
f x
1 Kendala
g
j
x
= 0 untuk j=1,2,…,m
2
Metode pengali Lagrange dapat dipakai untuk menyelesaikan optimasi yang dirumuskan persamaan 1 dan 2. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi
Lagrange yang didefinisikan sebagai:
Lx,
λ =
fx +
m i
1
λ
i
g
i
x
3 Teorema:
Syarat perlu bagi sebuah fungsi
f x
dengan kendala
g
j
x
= 0, untuk j = 1,2,…,m agar
mempunyai minimum relatif pada titik X adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
Lx,
λ =
x
1
,x
2
,
…,
x
n
,
m
,..., ,
2 1
terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.
Teorema: Syarat perlu bagi sebuah fungsi
f
x agar mempunyai minimum atau maksimum relatif pada titik X adalah jika fungsi kuadrat, Q
yang didefinisikan sebagai:
n i
n j
j i
j i
dx dx
x x
L Q
1 1
2
4 Dievaluasikan pada X = X harus definit positif atau negatif untuk setiap nilai
dx
yang memenuhi semua kendala. Bronson and wospakrik, 1988 dalam bukunya yang berjudul “
Teori dan soal-
soal operations research”. Menyatakan bahwa bentuk umum fungsi lagrange:
Lx,
λ =
fx +
m i
1
λ
i
g
i
x
1
Dimana
λ
i
i = 1, 2, …., m adalah tetapan – tetapan yang tidak diketahui yang disebut pengali lagrange. Kemudian dibentuk kembali persamaan berikut:
Universitas Sumatera Utara
,..., 2
, 1
, ,..,
2 ,
1 ,
m i
L n
j x
l
i i
2
Dengan
x
= {
x
1,
x
2, …,
x
n
} maka bentuk standar untuk program non linear dengan kendala kesamaan adalah
Maksimumkan z =
f x
Dengan kendala
g
1
x
= 0
g
2
x
= 0
g
m
x
= 0
Barnet, Ziegler, and Byleen 1987, Dalam bukunya yang berjudul “Calculus
For Business Economics, Life, and Social Sciences”. Menyatakan bahwa adapun langkah
– langkah Metode multiplier Lagrange sebagai berikut :
Langkah 1. Tentukan masalah Maksimum minimum
z = fx, y
Dengan kendala
gx, y
= 0
Langkah 2. Tentukan fungsi F: F
x, y,
λ =
f x, y
+ λg
x, y
Langkah 3. Tentukan point dari F , masalah sistem F
x
x, y, λ = 0 F
y
x, y, λ = 0 F
λ
x, y, λ = 0 Langkah 4. Jika
x
0,
y
0,
λ merupakan point dari F, di asumsikan bahwa
x
0,
y
selalu diberikan solusi permasalahannya. Jika F lebih dari satu kriktikal point, dengan evaluasi
z = fx,y
di
x
0,
y
untuk setiap kritikal point
x
0,
y
0,
λ dari F. Untuk setiap masalah, dengan
asumsi untuk maksimum dari
f x,y
, dengan kendala
gx,y
= 0, dan minimumnya dari
fx,y
dengan kendala
gx,y
= 0. 5
Universitas Sumatera Utara
Dumairy 1996, dalam bukunya yang berjudul “
Matematika Terapan Untuk Bisn
is dan Ekonomi”
menyatakan bahwa: Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas kepuasan, kegunaan yang diperoleh seseorang dari
mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik
puncaknya titik jenuh pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus
ditambah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total
total utility, U
dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas
marginal
marginal utility, MU
ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan
derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan
U = f Q
dimana U melambangkan utilitas total dan
Q
jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :
MU =U’ = dQ dU
1.5 Tujuan Penelitian
Kategori