Latar Belakang Optimasi Bersyarat Dengan Kendala Persamaan Menggunakan Multiplier Lagrange Serta Penerapannya

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu fungsi optimasi tak bersyarat dan fungsi optimasi bersyarat. Banyak aplikasi dari pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh suatu solusi optimal. Syarat ini yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Multiplier Lagrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan ini untuk program-program non-linear. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Joseph Louis Langrange 1736-1813. Teori ini dapat digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan program non-linear. Dalam diferensial fungsi multivariabel yaitu fungsi dengan turunan untuk fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas dapat juga dilakukan penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan khusus dari sebuah fungsi seperti halnya diferensial pada sebuah fungsi dengan satu variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim maksimum atau minimum dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel dapat dicari dengan menggunakan konsep diferensial parsial. Dalam penerapannya sering kali diharuskan untuk mengoptimumkan menentukan nilai ekstrim dari sebuah fungsi, yakni menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi, tetapi ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak Universitas Sumatera Utara dioptimumkan menghadapi suatu kendala constraint. Kasus optimasi bersyarat semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi, misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas. Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas kepuasan, kegunaan yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya titik jenuh pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus-menerus ditambah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total total utility, U dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas marginal marginal utility, MU ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f Q dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi pendapatan, atau sebuah perusahaan yang ingin memaksimumkan labanya namun terikat pada fungsi produksi. Maka suatu cara yang dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi yang bersyarat adalah dengan menggunakan Pengali Lagrange , yakni dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan di tambah hasil kali pengali Lagrange λ dengan fungsi kendalanya. Berdasarkan uraian optimasi diatas penulis mencoba menuangkannya yang hasilnya akan disajikan dalam bentuk karya ilmiah yang berjudul “Optimasi Bersyarat dengan Kendala Persamaan Menggunakan Multiplier Langrange serta Penerapannya ”. Universitas Sumatera Utara

1.2 Perumusan Masalah