menghasilkan yang final yaitu df =λdb karena b = gx
atau df = λ
db
Dapat diambil suatu kesimpulan bahwa dari persamaan diatas pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan
f,
berbanding lurus dengan perubahan Kendala
b
dengan faktor sebesar pengali Lagrange λ.
2.2 Metode Pengali Lagrange
Sejauh ini proses optimasi dilakukan tanpa menggunakan kendala, padahal seringkali persoalan optimasi dihadapkan pada kendala - kendala tertentu. Sebagai contoh
persoalan dasar dalam teori konsumen adalah bagaimana menentukan tingkat konsumsi yang memberikan kepuasan optimal dengan tingkat pendapatan tertentu.
Multiplier Langrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan ini untuk program-program non-linear. Sesuai namanya, konsep ini
dikemukakan oleh Joseph Louis Langrange 1736-1813. Teori ini dapat digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan program non-linear.
Metode pengali Lagrange merupakan sebuah tehnik dalam menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala persamaan. Inti dari metode pengali Lagrange
adalah mengubah persoalan titik ekstrem terkendala menjadi persoalan ekstrem bebas kendala. Fungsi yang terbentuk dari tranformasi tersebut dinamakan fungsi Lagrange
.
misalkan permasalahan yang dihadapi adalah Maksimumkan Minimumkan
z = fx, x = {x
1
, x
2
, …, x
n
}
Dengan kendala
g
1
x ≤, =, ≥ = b
1
g
2
x≤, =, ≥ = b
2
…
g
m
x ≤, =, ≥ = b
m
Universitas Sumatera Utara
Fungsi baru Lagrange yang telah dimodifikasi menjadi
Lx,
λ =
fx +
m i
1
λ
i
g
i
x
2.3 Matrik Hessian
Matrik adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Bilangan –
bilangan tersebut dinamakan entri dalam matrik atau disebut juga elemen unsur.
Matrik Hessian adalah matrik yang setiap elemennya dibentuk dari turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan
fx
fungsi dengan
n
variabel yang memiliki turunan parsial kedua dan turunannya kontinu, matrik Hessian
fx
ditulis H adalah :
…
…
… … …
…
H =
Matrik Hessian dapat digunakan untuk melakukan uji turunan kedua fungsi lebih dari satu variabel, yaitu untuk mengidentifikasi optimum relatif dari nilai fungsi
tersebut. Penggolongan titik stasioner fungsi dua variabel dengan menggunakan matriks Hessian misalkan
fx = Fx
1, …,
x
n
adalah fungsi bernilai real dimana semua turunan parsialnya kontinu. Misalnya
x
adalah titik stasioner dari
F
dan didefinisikan
H = Hx
dengan persamaan
H
ij
= F
xi, yj
x . H x
adalah Hessian dari
F
pada
x
0.
Universitas Sumatera Utara
Titik stasioner dapat digolongkan sebagai berikut : 1.
x
0.
Adalah suatu minimum relatif dari
F
jika jika
Hx
0.
definit positif 2.
x
0.
Adalah suatu maksimum relatif dari
F
jika
Hx
0.
definit negatif 3.
x
0.
Adalah suatu titik pelana dari
F
jika
Hx
0.
indefinite Leon,1998 : 313
Contoh : 1 Untuk mendapatkan titik ekstrim dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh sebagai
berikut : +
+ +
Solusi : Titik ekstrim harus memenuhi syarat :
+4 +8
Persamaan diatas dipenuhi oleh titik – titik 0, 0, 0, -83, -43, 0, dan -43, -83
Untuk mengetahui titik maksimum dan minimum maka digunakannya matrik Hessian untuk menyelidikinya. Derivasi kedua dari
f
adalah : ,
, dan Jadi matrik Hessian menjadi
6x
1
+ 4 0 0 6x
2
+ 8
sehingga H
1
= [6x
1
+ 4] dan
6x
1
+ 4 0 0 6x
2
+ 8
H
2
=
15
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1. Nilai matrik Hessian untuk masing – masing titik ekstrim.
x
1 ,
x
2
Matrik H H
1
H
2
Sifat H Sifat x
1 ,
x
2
f x
1
, x
2
0, 0 4 0
0 8 +4
+32 Definit
positif Minimum
6 0, -83
4 0 0 - 8
+4 -32
Tak tentu Titik belok
418 27
-43, 0 -4 0
0 8 - 4
- 32 Tak tentu
Titik belok 194 27
-43, -83 -4 0
0 -8 - 4
+ 32 Definit
nefgatif Maksimum
50 3
Grafik
fx
disajikan dalam ruang tiga dimensi diperlihatkan dalam gambar dibawah ini :
Maksimum -43, -83
-1 -2
7,5 10
12,5 15
Titik belok
0, -83
Minimum 0,0
-0,5 -1
-
X
2
X
1
-
Gambar. 2.1. Grafik dari +
+ +
Universitas Sumatera Utara
2.4 Matrik Definit Positif
