2.4 Matrik Definit Positif
Bentuk kuadrat pada
x
1
, x
2,
… x
n
adalah ekspresi yang dapat kita tulis sebagai
X
1
X
2
X
n
[ x
1
, x
2,
… x
n
] A
Dengan A merupakan matrik simetrik
n x n .
Jadi misalkan
X
1
X
2
X
n
X =
maka bentuk ini dapat ditulis sebagai
X
t
AX
contoh : 2 Misalkan sebuah matrik simetrik berikut :
2 -1 0 -1 2 -1
0 -1 2 A =
Untuk mengkaji apakah matriks A bersifat definite positif, maka;
2 -1 0 -1 2 -1
0 -1 2
X
1
X
2
X
3
X
t
AX = [x
1
x
2
x
3
]
Universitas Sumatera Utara
X
t
AX = [x
1
x
2
x
3
] 2x
1
–x
2
-x
1
+ 2x
2
–x
3
-x
2
+ 2x
3
Sehingga hasilnya adalah
X
t
AX = x
1
2x
1
-x
2
+ x
2
-x
1
+ 2x
2
–
x
3
+ x
3
-x
2
+ 2x
3
X
t
AX = 2 - x
1
x
2
- x
1
x
2
+ - x
2
x
3
- x
2
x
3
+ X
t
AX = 2 - 2x
1
x
2
+ - 2x
2
x
3
+ X
t
AX = +
2x
1
x
2
+ +
-2x
2
x
3
+ +
X
t
AX = +
2
+ -
2
+
Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat definit positif karena memenuhi: +
2
+ -
2
+ 0 kecuali jika
x
1
= x
2
= x
3
= 0
Sebaliknya matrik A dan bentuk kuadrat
X
t
AX
disebut : 1.
Definit negatif jika
X
t
AX 0,
untuk semua
x 0
2. Semidefinit positif jika
X
t
AX
≥ 0, untuk semua
x
3. Semidefinit negatif jika
X
t
AX
≤ 0, untuk semua
x
4. Indefinit bila tidak termasuk golongan diatas
Himpunan syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk – bentuk definit positif
dan negatif yaitu : 1.
Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definit positif Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk
X
t
AX
sebagai definit positif adalah
0, h
11
0, h
11
h
12
h
21
h
22
h
11
h
12
h
13
h
21
h
22
h
23
h
31
h
32
h
33
0, … , A 0
18
Universitas Sumatera Utara
Jika
n
minor dari A adalah positif, maka
X
t
AX
adalah definit positif dan
X
t
AX
hanya definit positif, jika minor – minor ini positif.
2. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definit negatif
Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk
X
t
AX
sebagai definit negatif atau setaranya untuk
X
t
-AX
sebagai definite positif adalah
0, h
11
h
12
h
21
h
22
h
11
h
12
h
13
h
21
h
22
h
23
h
31
h
32
h
33
A 0 h
11
0, 0,
… , -1
n
Dimana a
ij
adalah elemen – elemen dari A bukan –A.
2.5 Maksimum dan Minimum
Suatu fungsi y = fx dikatakan mempunyai maksimum lokal maksimum relatif dimana x = a bila fa lebih besar dari sembarang nilai fx lainnya dari x sekitar a,
dan dikatakan mempunyai minimum lokal minimum relatif pada x = a bila fa lebih kecil dari sembarang nilai fx lain untuk x sekitar a. Maksimum dan minimum local
suatu fungsi adalah maksimum dan minimum absolut dari suatu fungsi mempunyai jarak yang lebih besar lagi dan terletak pada titik yang paling tinggi atau paling rendah
dari jarak tersebut, melebihi maksimum atau minimum lokal. Jadi fx mempunyai nilai maksimum absolute pada nilai x = a
1
dengan batas
b
apabila nilai fx pada x = a
1
mempunyai nilai paling tinggi , fa
1
fx, sedangkan fx mempunyai nilai maksimum lokal pada batas
b
, apabila fx pada x =a
2.
Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik maksimum kurvanya berbentuk
cembung keatas dan fungsi yang mempunyai titik minimum kurvanya berbentuk cembung kebawah.
Universitas Sumatera Utara
fx
x = b fb
fc
Minimum lokal
Minimum lokal Maksimum
lokal Maksimum
lokal
Gambar. 2.2. Grafik 1
Sebaliknya, titik kritis
x
dan
f
dapat dianalisa dengan menggunakan turunan kedua dari
f
di
x
: 1.
Jika turunan kedua bernilai positif,
x
adalah minimum 2.
Jika turunan kedua bernilai negatif,
x
adalah maksimum 3.
Jika turunan kedua bernilai nol,
x
mungkin maksimum, minimum, ataupun tidak kedua- duanya.
Menurunkan fungsi dan mencari titik – titik kritis merupakan salah satu cara
yang sederhana untuk mencari nilai minimum dan maksimum, yang dapat digunakan untuk optimasi. Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa
grafik, jika diketahui minimum dan maksimum dari fungsi yang diturunkan tersebut sebuah grafik dapat digunakan untuk mengamati meningkat atau menurun dari titik
– titik kritis. Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisa titik
– titik kritis dengan menggunakan matrik Hessian dari turunan parsial kedua fungsi dititik
kritis. Apabila fx = 0 atau f
1
a tidak tertentu jika a = 0, maka a merupakan titik kritis yaitu maksimum atau minimum.
Universitas Sumatera Utara
Contoh : 3 Tentukan nilai ekstrim dari fungsi fx =
pada - ∞,∞
Penyelesaian : Turunan pertama dari
fx
adalah f’x = 0 maka
f’x = x + 1
x
– 3
= 0
sehingga nilai
x
= -1 dan
x
= 3 maka titik kritis
f x
adalah -1 dan 3. Maka turunan kedua dari
fx
adalah f”x = 2
x
– 2 sehingga nilai
untuk mengujinya maka bahwa
x + 1x - 3 0
pada
-
∞,
-1
dan 3, ∞ maka
menurut uji dari turunan pertama dapat disimpulkan bahwa merupakan
nilai minimum dan untuk merupakan nilai minimum grafiknya
diperlihatkan oleh gambar dibawah ini.
1 -1
1
-1 2
2
3 -2
4
-2 -3
-4 -5
3
Minimum maksimum
x y
Gambar 2.3. Grafik nilai maksimum dan minimum
21
Universitas Sumatera Utara
2.6 Fungsi Utilitas Marginal
Kategori