17
2.3 Limit dan kekontinuan
2.3.1 Limit Fungsi
Pengertian limit dan kekontinuan fungsi kompleks secara esensi sama dengan pengertian limit dan kekontinuan fungsi real.
y y
x x
Suatu fungsi fz dikatakan mempunyai limit l untuk z mendekati z jika untuk
sebarang 0 terdapat bilangan positif sehingga untuk
z
z berlaku
l
z f
dan ditulis sebagai l
z f
z z
lim .
2 Z
bidang W
bidang
r
2
r
z . z
fz . l
18
Perlu diperhatikan bahwa :
1. Titik z
o
adalah titik limit domain fungsi f. 2.
Titik z menuju z
o
melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju z
o
dari segala arah.
3. Apabila z menuju z
o
melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan fz menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f
tersebut tidak ada untuk z mendekati z
o
.
Contoh 7. Buktikan bahwa :
5 2
2 3
2 lim
2 2
z z
z
z
Bukti: Misalkan diberikan bilangan
0, kita akan mencari 0 sedemikian, sehingga:
|
5 2
2 3
2 |
| 2
|
2
z z
z z
, untuk z 2
Lihat bagian sebelah kanan konsekuen
Dari persamaan kanan diperoleh:
2 2
2 2
2 2
5 1
2 5
2 2
1 2
5 2
2 3
2
2
z z
z z
z z
z z
z z
z
Hal ini menunjukkan bahwa 2
telah diperoleh.
Bukti Formal : Jika diberikan
0 , maka terdapat 2
, sehingga untuk z 2, diperoleh
19
2 |
2 2
| |
5 2
2 1
2 |
| 5
2 2
3 2
2 |
| 2
|
z z
z z
z z
z z
Jadi
|
5 2
2 3
2 2
| z
z z
apabila 2
| 2
|
z
Terbukti 5
2 2
3 2
lim
2 2
z z
z
z
.
2.3.2 Teorema Limit Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z
o
, maka nilai limitnya tunggal. Bukti:
Misal limitnya w
1
dan w
2
, maka
Teorema 2 :
Misalkan z = x,y = x+iy dan fz = ux,y + ivx,y dengan domain D. Titik z
o
= x
o
,y
o
= x
o
+iy
o
di dalam D atau batas D. Maka
o o
z z
iy x
z f
o
lim
jika dan hanya jika
o z
z
x y
x u
o
, lim
dan
o z
z
y y
x v
o
, lim
.
Teorema 3 :
Misalkan fungsi f dan g limitnya ada. lim fz = a dan lim gz = b, maka
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1
jadi sehingga
2 2
2 2
w w
w w
w z
f z
f w
w z
f z
f w
w z
f z
f w
w z
f
20 1. lim fz + gz = a + b untuk z
→ z
o
2. lim fz . gz = a . b untuk z → z
o
3. lim fz gz = a b untuk z → z
o
Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut Contoh 8. Hitunglah :
i z
z
i z
1 lim
2
Penyelesaian.
i i
z i
z i
z i
z i
z z
i z
i z
i z
2 lim
lim 1
lim
2
Contoh 9. Jika i
y x
y x
xy z
f 1
2
2 2
2
. Buktikan lim
z f
z
tidak ada Penyelesaian.
Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka lim
lim lim
2 ,
,
i x
z f
z f
x x
z
Sedangkan di sepanjang garis y = x, 1
1 1
lim lim
lim
2 ,
,
i x
x z
f z
f
x x
x z
Karena dari dua arah nilainya berbeda, maka terbukti lim
z f
z
tidak ada.
2.3.3 Kekontinuan Fungsi Definisi :
Kategori