24 lim
| |
lim lim
2
z z
z z
z z
f z
f f
z z
z
Jadi f terdiferensial di z = 0. Untuk menunjukkan bahwa f terdiferensial hanya di z = 0, maka harus ditunjukkan f tidak terdiferensial di setiap z
0. Hal ini ditunjukkan pada Contoh 14 di bagian sesudah ini.
2.5 Syarat Chauchy-Riemann
Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di z
o
= x
o
+ i y
o
adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat
pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.
Teorema 7 Syarat Chauchy-Riemann
Jika fz = ux, y + i vx, y terdifferensial di z
o
= x
o
+ i y
o
, maka ux, y dan vx, y mempunyai derivatif parsial pertama di x
o
, y
o
dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy
–Riemann
x v
y u
dan y
v x
u
derivatif f di z
o
dapat dinyatakan dengan ,
, y
x v
i y
x u
z f
x x
Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di x
o
, y
o
maka fz = ux, y + i vx, y tidak terdiferensial di z
o
= x
o
+ i y
o
Contoh 14
Buktikan fz = | z|
2
tidak terdifferensiasi di z
0
Bukti : fz = | z|
2
= x
2
+ y
2
sehingga ux, y = x
2
+ y
2
vx, y = 0
25 Diperoleh Persamaan Cauchy
–Riemann
y y
u dan
x x
u 2
2
y v
dan x
v
2
x y
v x
u
2
y
x v
y u
Dua persamaan terakhir persamaan C-R tidak dipenuhi jika x 0 atau y 0,
Oleh karena itu f tidak terdeferensial di z 0
Catatan: Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan dan bukan
menjadi syarat cukup.
Contoh 15
Diketahui fungsi f dirumuskan dengan fz =
2 2
3 3
1 1
y x
i y
i x
dan f0 = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R
Bukti:
u =
2 2
3 3
y x
y x
dengan u0, 0 = 0
2 2
3 3
y x
y x
v
dengan v0, 0 = 0
1 ,
, lim
, 1
, ,
lim ,
y u
y u
u x
u x
u u
y y
x x
26 1
, ,
lim ,
1 ,
, lim
,
y v
y v
v x
v x
v v
y y
x x
sudah ada ralat
Jadi persamaan Cauchy – Riemann telah dipenuhi, tetapi
1 1
lim lim
2 2
3 3
iy x
y x
i y
i x
z f
z f
f
z z
Didekati sepanjang garis y = 0
lim
x
3 3
1 x
i x
= 1 + i.
Didekati sepanjang garis y = x
lim
x
i i
x i
ix
1 1
2 2
3 3
.
Jadi z
f z
f
z
lim
tidak ada, sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di 0,0.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu
f z = ux, y + ivx, y, z
o
= x
o
+ i y
o
f z ada maka
y x
y x
v v
u u
, ,
, ada di
, y
x dan berlaku Persamaan C-R,
yaitu :
y x
v u
dan
y x
u v
dan f z
= u
x
x , y
+ i v
x
x , y
.
ii. Syarat cukup ux, y, vx, y, u
x
x, y, v
x
x, y, u
y
x, y, v
y
x, y kontinu pada persekitaran z
o
= x
o
+ i y
o
dan di x
o
, y
o
dipenuhi C-R. maka
f z
o
ada.
Contoh 16
Buktikan f z = e
x
cos y + i sin y terdiferensial untuk setiap z dalam ℂ Bukti : ux,y = e
x
cos y u
x
x,y = e
x
cos y u
y
x,y = -e
x
sin y vx,y = e
x
sin y v
x
x,y = e
x
sin y.
27 v
y
x,y = e
x
cos y Perhatikan bahwa
y x
y x
v v
u u
, ,
, ada dan kontinu di setiap x,y
ℂ. Dan dipenuhi persamaan C-R :
u
x
= v
y
dan u
y
= -v
x
dipenuhi di x,y ℂ,
dan ada persekitaran dimana keenam fungsi kontinu dan C-
R dipenuhi di x,y.Jadi f’z ada z ℂ dan f
’z = u
x
x, y + i v
x
x, y = e
x
cos y + i e
x
sin y.
Syarat C-R Pada Koordinat Kutub
Jika fz = ux,y + i vx,y dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cos
dan y = r sin , diperoleh z = r cos
+ i sin , sehingga fz = ur, + i vr, dalam sistem koordinat kutub.
Teoreama 8.
Jika fz = ur, + i vr, terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar r
o
,
o
dan jika dalam kitar tersebut u
r
, u
, v
r
, v
ada dan kontinu di r
o
,
o
dan dipenuhi Persamaan C-R yaitu:
v r
u
r
1
dan ,
1
r u
r v
r
. maka
f’z ada di z = z
o
dan f’z = cos
o
– i sin
o
[u
r
r
o
,
o
+ i v
r
r
o
,
o
].
Contoh 17. Diketahui fz = z
-3
, tentukan f’z dalam bentuk kootdinat kutub. Penyelesaian.
fz = z
-3
= r
-3
cos 3 - i sin 3, maka :
u = r
-3
cos 3 , sehingga u
r
= -3r
-4
cos 3 dan u
= -3r
-3
sin 3 , v = -r
-3
sin 3 ,
sehingga v
r
= 3r
-4
sin 3 dan v
= -3r
-3
cos 3
keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z 0
Jadi fz = z
-3
terdiferensial untuk z 0
Dengan demikian f ‘z dalam koordinat kutub adalah :
28 f’z = cos – i sin -3r
-4
cos 3 + i 3r
-4
sin 3
= cis- -3r
-4
cis-3
= -3r
-4
cis-4 .
Aturan Pendiferensialan
Jika fz, gz dan hz adalah fungsi- fungsi kompleks serta f’z, g’z dan h’z
ada, maka berlaku rumus-rumus :
2
. 5
. 4
. 3
. 2
1 dz
dz ,
dz dc
. 1
z g
z g
z f
z g
z f
z g
z f
dx d
z g
z f
z g
z f
z g
z f
dx d
z g
z f
z g
z f
dx d
z cf
dz z
cf d
. dz
d .
d dw
dz dw
rantai aturan
komposisi dengan
disebut biasa
] [
maka ]
[ Jika
. 7
. 6
1
z f
z f
g z
h z
f g
z h
nz dz
dz
n n
2.6 Fungsi Analitik Definisi
