14 Contoh 1a,1b,1c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada
bidang Z. Sedangkan contoh 1d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali z = .
Jika z = x + iy, maka fungsi w = fz dapat diuraikan menjadi w = ux,y + ivx,y yang berarti Rew dan Imw masing-masing merupakan fungsi dengan dua
variabel real x dan y. Apabila z = rcos
+ i sin, maka w = ur, + ivr, .
Contoh 2: Tuliskan fz = 2z
2
– i dalam bentuk u dan v Penyelesaian.
Misal z = x + iy, maka fungsi w = fz = 2z
2
– i = 2x + iy
2
– i = 2x
2
+2xyi-y
2
– i = 2x
2
-y
2
+ i2xy-1. Jadi u = 2x
2
-y
2
dan v = 2xy-1.
Contoh 3. Jika z = rcos + i sin, tentukan u dan v jika fz = z
2
+ i Penyelesaian.
fz = z
2
+ i = [r cos
+i sin]
2
+ i = r
2
[cos
2
- sin
2
+ 2isin cos] + i = r
2
cos
2
- sin
2
+ r
2
i sin2 + i
= r
2
cos
2
- sin
2
+1+r
2
sin2 i
berarti u = r
2
cos
2
- sin
2
dan v = 1+r
2
sin2 .
2.2.1 Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi fz dengan domain D
f
dan fungsi gz dengan domain D
g
. Jika R
f
D
g
, maka ada fungsi komposisi g f z = g f z, dengan domain
D
f
. 2
1
15 Tidak berlaku hukum komutatif pada g
f z dan f gz .
Contoh 4. Misal fz = 3z – i dan gz = z
2
+ z –1 + i, maka
‣ Jika R
f
D
g
, maka g
f z = g f z = g3z
– i = 3z
– i
2
+ 3z – i –1 + i
= 9z
2
– 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i = 9z
2
– 3z – 2 – 6iz ‣
Jika R
g
D
f
, maka f
g z = f g z = fz
2
+ z –1 + i
= 3z
2
+ 3z – 3 + 3i – i
Karena 9z
2
– 3z – 2 – 6iz ≠ 3z
2
+ 3z – 3 + 3i – i.
Jadi g f z f gz atau g f f g tidak komutatif.
2.2.2. Interpretasi Geometris
Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks.
Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan z,w mengandung 4 dimensi, maka kita tidak
dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = fz. Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan
f g
f g
z
z f
z f
g z
f g
16 transformasi dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk
suatu titik z maka fz disebut peta dari z. Contoh 5. Diketahui fungsi w = 2z
– 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = 2x
– 1 + 2y + 1i. Misalnya untuk z
1
= 1 + i , dan z
2
= 2 – 3i ,
berturut-turut diperoleh : w
1
= 1 + 3i , dan w
2
= 3 – 5i. Gambar dari z
1
, z
2
, w
1
, dan w
2
dapat dilihat pad gambar berikut.
Contoh 6. Diketahui fungsi w = z
2
. Dengan menggunakan z = r cos
+ i sin, maka diperoleh w = z
2
= r
2
cos2 + i sin2.
Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r
2
. Daerah arg z dipetakan menjadi daerah
arg w 2. Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.
X U
1
z
2
z
1
w
2
w O
O Z
bidang W
bidang
1 1
2
3
1 3
3
5
Y V
17
2.3 Limit dan kekontinuan
