Daerah di Bidang Kompleks Turunan

11

BAB 2 FUNGSI KOMPLEKS

Sebelum membahas fungsi kompleks, berikut ini diberikan beberapa konsep dan istilah yang akan banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya.

2.1 Daerah di Bidang Kompleks

Bagian berikut ini kita akan membahas beberapa kurva dan daerah penting dan sejumlah konsep terkait yang akan sering kita gunakan. Lingkaran C dengan pusat z dan berjari-jari R, C : R z z   , merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak R dari z . y x Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan 1  z . Cakram lingkaran, adalah interior lingkaran C, yaitu R z z   , atau lebih tepat disebut cakram lingkaran terbuka dan disebut juga lingkungan dari z . Cincin lingkaran terbuka atau anulus terbuka, adalah daerah antara dua lingkaran sepusat dengan jari-jari R 1 dan R 2 , direprentasikan dengan 2 1 R z z R    . Himpunan titik-titik pada bidang kompleks berarti sembarang koleksi titik-titik pada bidang kompleks. Sebuah himpunan S dikatakan terbuka jika setiap titik di dalam S mempunyai suatu lingkungan yang seluruhnya terletak di dalam S. R . z 12 Suatu himpuan S dikatakan terhubung jika sebarang dua titik di dalam himpunan ini dapat dihubungkan dengan suatu garis patah-patah yang terdiri atas terhingga banyaknya ruas garis yang seluruhnya terletak di dalam S. Domain adalah himpunan terbuka yang terhubungkan. Komplemen himpunan S adalah himpuan semua titik yang tidak terletak di dalam S. Titik Batas himpunan S adalah titik yang setiap lingkungannya mengandung titik- titik di dlam S maupun di luar S. Wilayah atau region adalah sebuah himpunan yang terdiri atas sebuah domain ditambah sebagian atau seluruh titik batasnya.

2.2 Fungsi Kompleks

Perhatikan fungsi C I f  : , dengan I merupakan sub himpunan bilangan real dan C himpunan bilangan kompleks. Maka fungsi f ini merupakan fungsi bernilai kompleks. Fungsi ini merupakan bentuk penyederhanaan fungsi yang memetakan sub himpuan bilangan real ke bidang, atau lebih dikenal sebagai fungsi bernilai vektor. Sebagai contoh, diberikan fungsi  2 , sin cos     t t i t t f , maka kurva dari fungsi kompleks ini berupa lingkaran satuan, yaitu lingkaran yang berpusat di pusat koordinat dan berjari-jari satu. Jelaskan Sedangkan fungsi 2 it t t g   , 1 1    t , akan berupa parabola 2 x y  , dari x = – 1 sampai x = 1, seperti gambar berikut. Selanjutnya akan dibahas tentang fungsi kompleks dengan domain bilangan kompleks. Misalkan S merupakan sub himpunan bilangan kompleks dan fungsi f 13 pada S adalah aturan yang menetapkan setiap z di dalam S dengan tepat satu unsur di C dan dituliskan sebagai C S f  : . z f w z   . Pada rumus di atas, z adalah bilangan kompleks, jadi S merupakan domain definisi fungsi f dan himpunan yang merupakan seluruh nilai fungsi f disebut sebagai range jangkauan dari f. Sedangakn w adalah juga bilangan kompleks, sehingga dapat ditulis sebagai w = u + iv , yang bergantung pada bilangan kompleks z = x + iy. Jadi w dapat ditulis sebagai , , y x iv y x u z f w    . fz Domain Range Dengan demikian fungsi kompleks fz ekuivalen dengan pasangan fungsi , y x u dan , y x v yang keduanya bergantung pada dua peubah x dan y. Himpunan S disebut daerah asal domain dari f, ditulis D f dan fz disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil jelajah dari f ditulis R f , yaitu himpunan fz untuk setiap z anggota S. Contoh 1 : a w = z + 1 – i b w = 4 + 2i c w = z 2 – 5z d fz = iy x z   , , y x iv y x u z f w    1 2 3   z z 14 Contoh 1a,1b,1c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z. Sedangkan contoh 1d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali z = . Jika z = x + iy, maka fungsi w = fz dapat diuraikan menjadi w = ux,y + ivx,y yang berarti Rew dan Imw masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y. Apabila z = rcos  + i sin, maka w = ur,  + ivr, . Contoh 2: Tuliskan fz = 2z 2 – i dalam bentuk u dan v Penyelesaian. Misal z = x + iy, maka fungsi w = fz = 2z 2 – i = 2x + iy 2 – i = 2x 2 +2xyi-y 2 – i = 2x 2 -y 2 + i2xy-1. Jadi u = 2x 2 -y 2 dan v = 2xy-1. Contoh 3. Jika z = rcos  + i sin, tentukan u dan v jika fz = z 2 + i Penyelesaian. fz = z 2 + i = [r cos +i sin] 2 + i = r 2 [cos 2  - sin 2  + 2isin cos] + i = r 2 cos 2  - sin 2  + r 2 i sin2  + i = r 2 cos 2  - sin 2  +1+r 2 sin2 i berarti u = r 2 cos 2  - sin 2  dan v = 1+r 2 sin2  .

2.2.1 Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi fz dengan domain D f dan fungsi gz dengan domain D g . Jika R f  D g  , maka ada fungsi komposisi g f z = g f z, dengan domain D f . 2 1  15 Tidak berlaku hukum komutatif pada g f z dan f gz . Contoh 4. Misal fz = 3z – i dan gz = z 2 + z –1 + i, maka ‣ Jika R f  D g  , maka g f z = g f z = g3z – i = 3z – i 2 + 3z – i –1 + i = 9z 2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i = 9z 2 – 3z – 2 – 6iz ‣ Jika R g  D f  , maka f g z = f g z = fz 2 + z –1 + i = 3z 2 + 3z – 3 + 3i – i Karena 9z 2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z 2 + 3z – 3 + 3i – i. Jadi g f z  f gz atau g f  f g tidak komutatif.

2.2.2. Interpretasi Geometris

Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan z,w mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = fz. Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan f g f g  z z f   z f g z f g   16 transformasi dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka fz disebut peta dari z. Contoh 5. Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = 2x – 1 + 2y + 1i. Misalnya untuk z 1 = 1 + i , dan z 2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w 1 = 1 + 3i , dan w 2 = 3 – 5i. Gambar dari z 1 , z 2 , w 1 , dan w 2 dapat dilihat pad gambar berikut. Contoh 6. Diketahui fungsi w = z 2 . Dengan menggunakan z = r cos  + i sin, maka diperoleh w = z 2 = r 2 cos2  + i sin2. Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r 2 . Daerah  arg z   dipetakan menjadi daerah  arg w  2. Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini. X U 1 z 2 z 1 w 2 w O O Z bidang W bidang 1 1 2 3  1 3 3 5  Y V 17

2.3 Limit dan kekontinuan

2.3.1 Limit Fungsi

Pengertian limit dan kekontinuan fungsi kompleks secara esensi sama dengan pengertian limit dan kekontinuan fungsi real. y y x x Suatu fungsi fz dikatakan mempunyai limit l untuk z mendekati z jika untuk sebarang  0 terdapat bilangan positif  sehingga untuk     z z berlaku    l z f dan ditulis sebagai l z f z z   lim .   2 Z bidang W bidang r 2 r  z . z fz . l  18 Perlu diperhatikan bahwa : 1. Titik z o adalah titik limit domain fungsi f. 2. Titik z menuju z o melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju z o dari segala arah. 3. Apabila z menuju z o melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan fz menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati z o . Contoh 7. Buktikan bahwa : 5 2 2 3 2 lim 2 2      z z z z Bukti: Misalkan diberikan bilangan  0, kita akan mencari  0 sedemikian, sehingga:            | 5 2 2 3 2 | | 2 | 2 z z z z , untuk z  2 Lihat bagian sebelah kanan konsekuen Dari persamaan kanan diperoleh: 2 2 2 2 2 2 5 1 2 5 2 2 1 2 5 2 2 3 2 2                             z z z z z z z z z z z Hal ini menunjukkan bahwa 2    telah diperoleh. Bukti Formal : Jika diberikan  0 , maka terdapat 2    , sehingga untuk z  2, diperoleh 19                     2 | 2 2 | | 5 2 2 1 2 | | 5 2 2 3 2 2 | | 2 | z z z z z z z z Jadi       | 5 2 2 3 2 2 | z z z apabila 2 | 2 |       z Terbukti 5 2 2 3 2 lim 2 2      z z z z .

2.3.2 Teorema Limit Teorema 1 :

Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z o , maka nilai limitnya tunggal. Bukti: Misal limitnya w 1 dan w 2 , maka Teorema 2 : Misalkan z = x,y = x+iy dan fz = ux,y + ivx,y dengan domain D. Titik z o = x o ,y o = x o +iy o di dalam D atau batas D. Maka o o z z iy x z f o    lim jika dan hanya jika o z z x y x u o   , lim dan o z z y y x v o   , lim . Teorema 3 : Misalkan fungsi f dan g limitnya ada. lim fz = a dan lim gz = b, maka 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 jadi sehingga 2 2 2 2 w w w w w z f z f w w z f z f w w z f z f w w z f                          20 1. lim fz + gz = a + b untuk z → z o 2. lim fz . gz = a . b untuk z → z o 3. lim fz gz = a b untuk z → z o Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut Contoh 8. Hitunglah : i z z i z    1 lim 2 Penyelesaian. i i z i z i z i z i z z i z i z i z 2 lim lim 1 lim 2             Contoh 9. Jika i y x y x xy z f 1 2 2 2 2     . Buktikan lim z f z  tidak ada Penyelesaian. Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka lim lim lim 2 , ,       i x z f z f x x z Sedangkan di sepanjang garis y = x, 1 1 1 lim lim lim 2 , ,         i x x z f z f x x x z Karena dari dua arah nilainya berbeda, maka terbukti lim z f z  tidak ada.

2.3.3 Kekontinuan Fungsi Definisi :

Misalkan fungsi fz terdefinisi di D pada bidang Z dan titik z o terletak pada interior D, fungsi fz dikatakan kontinu di z o jika untuk z menuju z o , maka lim fz = fz o . Jadi, ada tiga syarat fungsi fz kontinu di z o , yaitu : 21 lim . 3 lim . 2 . 1 o z z z z o z f z f ada z f ada z f o o    Fungsi fz dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika fz kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. Teorema 4 : Jika fz = ux,y + ivx,y, fz terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan z o = x o + i y o titik di dalam R, maka fungsi fz kontinu di z o jika dan hanya jika ux,y dan vx,y masing-masing kontinu di x o ,y o . Teorema 5 : Andaikan fz dan gz kontinu di z o , maka masing-masing fungsi : 1. fz + gz 2. fz . gz 3. fz gz, gz  0 4. fgz; f kontinu di gz o , juga kontinu di z o . Contoh 10. Fungsi fz =             i z z i z i z z 2 , 4 3 2 , 2 4 2 , apakah kontinu di 2i Penyelesaian f2i = 3 + 42i = 3 + 4i, sedangkan untuk z mendekati 2i, lim fz = z + 2i, 2 lim sehingga 2 i f z f i z   . Jadi fz diskontinu di z = 2i. Contoh 11. Dimanakah fungsi 2 3 1 2 2     z z z z g kontinu ? Penyelesaian. 22 Perhatikan bahwa gz diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi gz kontinu di daerah   2  z z .

2.4. Turunan

Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan z o  D. Jika diketahui bahwa nilai o o z z z z z f z f o    lim ada, maka nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik z o . Dinotasikan : f ’ z o Jika f ’ z o ada, maka f dikatakan terdiferensial atau differensiable di z o . Dengan kata lain : z z f z z f z f z f o o z z o             lim lim . Jika f terdiferensial di semua titik anggota D, maka f dikaakan terdifferensial pada D. Contoh 12 Buktikan fz = z 2 terdiferensiasi pada ℂ Penyelesaian Diambil sembarang titik z o  ℂ o o o o z z o o z z o o z z o z z z z z z z z z z z z z z f z f z f o o o 2 lim lim lim 2 2               Karena z o sembarang maka f z = z 2 terdeferensial pada ℂ. 23 Teorema 6 Jika f fungsi kompleks dan f z o ada, maka f kontinu di z o . Bukti : Diketahui f z o ada Akan dibuktikan f kontinu di z o . Perhatikan bahwa untuk setiap z z  berlaku z z z z z f z f z f z f       sehingga diperoleh lim lim lim lim                         z f z z z z z f z f z z z z z f z f z f z f o o o o z z z z z z z z lim lim     z f z f z z z z lim    z f z f z z lim z f z f z z   Karena lim z f z f z z   maka f kontinu di z o . Sebaliknya belum tentu benar. Artinya, suatu fungsi kontinu disuatu titik tetapi ia tidak terdiferensial di titik tersebut. Contoh 13 Buktikan fz = | z| 2 kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi terdifferensial hanya di z = 0. Bukti : fz = | z| 2 = x 2 + y 2 berarti ux, y = x 2 + y 2 dan vx, y = 0 Jelas bahwa u dan v kontinu pada ℂ, maka fz kontinu pada ℂ 24 lim | | lim lim 2          z z z z z z f z f f z z z Jadi f terdiferensial di z = 0. Untuk menunjukkan bahwa f terdiferensial hanya di z = 0, maka harus ditunjukkan f tidak terdiferensial di setiap z  0. Hal ini ditunjukkan pada Contoh 14 di bagian sesudah ini.

2.5 Syarat Chauchy-Riemann