memiliki volatility 1. Oleh karena itu, kali
proses Wiener memiliki volatility . Dalam
interval jangka waktu pendek , maka
perubahan dalam nilai diberikan oleh
persamaan 2.1 dan 2.3 sebagai √
seperti sebelumnya, є memiliki sebaran
normal baku. Jadi memiliki sebaran
normal dengan Rata- rata
Standar deviasi √
Ragam serupa dengan argumen yang diberikan untuk
menunjukkan proses
Wiener bahwa
perubahan nilai dalam interval waktu
biasanya didistribusikan dengan Rata- rata perubahan di
Standar deviasi perubahan di √
Ragam perubahan di Dengan demikian, generalisasi proses
Wiener diberikan dalam persamaan 2.3 memiliki drift rate yang diharapkan yaitu,
drift rata-rata per unit waktu
dan volatility yaitu, ragam per unit waktu dari
. Hull 2006
2.5 Proses Itô
Proses Itô adalah generalisasi proses Wiener dengan parameter
dan merupakan fungsi dari variabel yang mendasari
dan waktu
. Sebuah Proses Itô dapat ditulis secara aljabar sebagai
2.4 drift rate
dan volatility dari Proses Itô memungkinkan perubahan dari waktu ke
waktu. Dalam jangka waktu pendek antara dan
, perubahan variabel dari ke , dengan
√ Hubungan
ini melibatkan
sedikit pendekatan. Ini dapat diasumsikan bahwa drift
rate dan volatility dari
tetap konstan, sama dengan
dan , masing-masing,
selama selang waktu antara dan .
Hull 2006
2.6 Proses untuk Harga Saham
Dapat dikatakan bahwa harga saham mengikuti generalisasi proses Wiener, yaitu,
bahwa ia diharapkan memiliki drift rate konstan dan volatility konstan. Diharapkan
persentase pengembalian yang didapatkan para investor saham adalah bebas dari harga
saham. Jelas, asumsi drift rate diharapkan konstan tidak tepat dan perlu diganti dengan
asumsi bahwa pengembalian yang diharapkan konstan. Jika
adalah harga saham pada waktu
, maka drift rate yang diharapkan pada dianggap menjadi untuk beberapa
parameter yang konstan. Ini berarti bahwa
dalam interval waktu yang singkat, ,
peningkatan yang diharapkan dalam adalah
. Parameter μ adalah tingkat pengembalian yang diharapkan pada saham,
dinyatakan dalam bentuk desimal. Jika volatility harga saham selalu nol,
maka model ini menyiratkan bahwa dengan limit, dengan
,
dengan pengintegralan antara waktu 0 dan waktu T, dapat dihasilkan
= 2.5
Diketahui dan
adalah harga saham pada waktu 0 dan waktu
. Persamaan 2.5 menunjukkan bahwa, ketika volatility adalah
nol, harga saham tumbuh pada tingkat kontinu majemuk
per unit waktu. Dalam prakteknya, harga saham tidak
memperlihatkan volatility. Asumsi yang masuk akal adalah bahwa variabilitas dari
persentase pengembalian
dalam waktu
singkat, , sama tanpa mempedulikan harga
saham. Dengan kata lain, seorang investor tidak
dapat memastikan
persentase pengembalian ketika harga saham adalah 50
maupun pada saat harga saham 10. Hal ini menunjukkan bahwa volatility dari perubahan
dalam waktu singkat harus proporsional
terhadap harga saham dan mengarah ke model
2.6
Persamaan 2.6 adalah model yang paling banyak digunakan perilaku harga saham.
Variabel adalah volatility dari harga saham.
Variabel adalah tingkat pengembalian yang
diharapkan. Hull 2006
2.7 Proses Analisis untuk Data Deret
