II LANDASAN TEORI
2.1 Berbagai Definisi
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan
hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat
disebut percobaan acak.
Ross 2003
Ruang Contoh Ruang contoh adalah himpunan semua
hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan
Grimmett dan Stirzaker 1992
Peubah Acak
Suatu peubah acak random variable adalah suatu fungsi
dengan sifat bahwa
, untuk setiap dengan adalah sebuah medan- dari
suatu ruang contoh .
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z. sedangkan nilai
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.
Grimmett Stirzaker 1992
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi
yang dinyatakan sebagai
. Grimmett Stirzaker 1992
Fungsi Kepekatan Peluang
Peubah acak dikatakan kontinu jika
fungsi sebaran dapat
diekspresikan sebagai ∫
untuk suatu fungsi yang dapat
diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut juga fungsi kepekatan peluang
probability density function bagi .
Grimmett Stirzaker 1992
Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu
Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
adalah ∫
Jika integral di atas konvergen. Grimmett Stirzaker 1992
Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu
Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan
adalah nilai harapan dari , dengan fungsi kepekatan peluang
, maka simpangan baku standard deviation
dan ragam variance dari X dinotasikan dengan
dan VarX sama dengan √
dan ∫
Ghahramani 2005
Sebaran Normal
Misalkan diberikan
peubah acak
. Peubah acak
dikatakan menyebar normal dengan rata-rata
dan ragam jika
memiliki fungsi
kepekatan peluang
probability density function sebagai berikut: √
Sebaran normal yang memiliki nilai rata- rata 0, dan ragam 1 disebut sebaran normal
baku, Misalkan peubah acak menyebar
normal baku, maka memiliki fungsi
kepekatan peluang √
Grimmett Stirzaker 1992
Ruang State
Misalkan Ѕ adalah himpunan nilai dari
barisan peubah acak, maka S disebut ruang state
. Grimmett Stirzaker 1992
2.2 Proses Stokastik dan Proses Markov
Proses stokastik X={Xt ,t
T
} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh ke suatu
ruang state S. Ross 2003
Proses Markov
Misalkan merupakan barisan
peristiwa dari variabel acak yang nilainya diambil dari titik
, yang disebut ruang state. Misalkan
adalah variabel acak diskret yang diambil dari salah satu
nilai yang mungkin, dengan
| | bisa bernilai . Proses dikatakan rantai Markov jika memenuhi
persamaan berikut |
| untuk semua
dan untuk semua .
Grimmett Stirzaker 1992
2.3 Proses Wiener
Proses Wiener merupakan salah satu proses Markov dengan perubahan rata-rata nol
dan volatility satu per tahun. Disajikan secara formal, variabel
mengikuti proses Wiener jika memiliki dua sifat berikut:
Sifat 1. Perubahan selama jangka
waktu terkecil adalah
√ 2.1
dengan є memiliki sebaran normal baku ∅
0,1. Sifat 2. Nilai
untuk dua interval waktu yang berbeda, saling bebas.
Ini mengikuti dari sifat pertama yang sendiri memiliki sebaran normal dengan
Rata- rata ∆z = 0
Standar deviasi = √
Ragam =
Sifat 2 menunjukkan bahwa mengikuti
proses Markov. Perubahan nilai
selama waktu yang relatif lama,
, dapat dinyatakan dengan . Hal ini dapat dianggap
sebagai jumlah perubahan dalam interval
waktu pendek , dengan
maka, ∑
√ 2.2
Diketahui dengan
sebaran ∅ Kita tahu dari sifat kedua
bahwa saling bebas satu sama lain. Ini
mengikuti persamaan 2.2 yaitu menyebar normal, dengan
Rata- rata Standar deviasi
Ragam √
Hull 2006
2.4 Generalisasi Proses Wiener
Perubahan rata-rata per satuan waktu untuk proses stokastik dikenal sebagai drift
rate dan ragam per satuan waktu dikenal
sebagai volatility. Proses Wiener dasar, ,
yang telah dikembangkan sejauh ini memiliki drift rate
nol dan volatility 1. Drift rate nol berarti bahwa nilai yang diharapkan dari
pada setiap saat untuk waktu yang akan datang sama dengan nilai saat ini. Volatility 1
berarti bahwa perubahan ragam dalam
interval waktu dengan panjang bernilai .
Generalisasi proses Wiener untuk suatu variabel
dapat didefinisikan dalam sebagai
2.3 dengan
= perubahan variabel acak = konstanta drift rate
= perubahan waktu = konstanta volatility
= proses Wiener ~ ∅ 0,1 dengan
dan adalah konstanta. Untuk memahami persamaan 2.3. Istilah
menyiratkan bahwa memiliki tingkat
penyimpangan yang diharapkan sebesar per
unit waktu. Tanpa besaran , persamaan
menjadi , yang menyiratkan bahwa
. Jika diintegralkan dengan memperhatikan waktu, kita mendapatkan
dengan adalah nilai pada waktu 0. Dalam
jangka waktu
panjang , variabel
meningkat sebesar . Istilah di sisi kanan dari persamaan 2.3 dapat dianggap
sebagai penambahan variabel ke persamaan yang diikuti oleh
. Jumlah dari variabel adalah
kali proses Wiener. Proses Wiener
memiliki volatility 1. Oleh karena itu, kali
proses Wiener memiliki volatility . Dalam
interval jangka waktu pendek , maka
perubahan dalam nilai diberikan oleh
persamaan 2.1 dan 2.3 sebagai √
seperti sebelumnya, є memiliki sebaran
normal baku. Jadi memiliki sebaran
normal dengan Rata- rata
Standar deviasi √
Ragam serupa dengan argumen yang diberikan untuk
menunjukkan proses
Wiener bahwa
perubahan nilai dalam interval waktu
biasanya didistribusikan dengan Rata- rata perubahan di
Standar deviasi perubahan di √
Ragam perubahan di Dengan demikian, generalisasi proses
Wiener diberikan dalam persamaan 2.3 memiliki drift rate yang diharapkan yaitu,
drift rata-rata per unit waktu
dan volatility yaitu, ragam per unit waktu dari
. Hull 2006
2.5 Proses Itô
Kategori