Analisis untuk SOLUSI DAN ANALISIS MODEL

Gambar 12 Grafik hubungan A dan Q dengan 1 v = , 3 γ = , dan 1 G = . Gambar 12 menunjukkan bahwa besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama , A Q G yang bergantung pada shadow price Q merupakan fungsi naik dan cembung ke bawah. Hal ini berarti bahwa ketika shadow price meningkat maka biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama juga akan meningkat. Gambar 13 Grafik hubungan A dan G dengan 1 v = , 3 γ = , dan 2.64 Q = . Gambar 13 menunjukkan bahwa besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama , A Q G yang bergantung pada citra perusahaan G juga merupakan fungsi naik dan cembung ke bawah. Hal ini berarti bahwa ketika citra perusahaan meningkat maka biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama juga akan semakin meningkat. Pada pembahasan selanjutnya akan dibedakan untuk A dan A = .

i. Analisis untuk

A Persamaan 4.17, 4.24, 4.25, dan 4.27 disubstitusikan ke dalam persamaan 4.7 persamaan state menjadi G N A G η δ = − A N e G β γ − = − 1 1 ln 1 Q G v Q e G a β γ γ β γ β ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 . Q v a Q β β β γ − ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 4.29 Persamaan 4.17, 4.23, dan 4.27 disubstitusikan ke dalam persamaan 4.8 persamaan adjoin menjadi [ ] Q r A Q R G δ = + − r Q A Q R G δ = + − 1 ln 1 Q G v r Q e Q G γ γ γ α α ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ = + − 1 . v r Q G G α α γ − = + − 4.30 Gambar 14 Grafik hubungan Q dan G terhadap t . Gambar 14 diperoleh dengan cara menyelesaikan secara numerik persamaan- persamaan diferensial 4.29 dan 4.30, parameter-parameter yang digunakan adalah 0.9 β = , 3 a = , 0.5 α = , 0.03 r = , 1 v = , dan 3 γ = . Dalam Gambar 14 ditunjukkan dinamika shadow price Q dan citra sebuah perusahaan G terhadap waktu t selalu berosilasi. Berdasarkan Gambar 14 dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu maka shadow price maupun citra perusahaan akan meningkat setelah itu akan menurun kemudian akan kembali meningkat lagi. Isoklin Q = akan menghasilkan 1 v r Q G G α α γ − + − = . v G Q r G α α γ − ⇔ = 4.31 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Shadow Price HQL B ia ya ikl an un tu k pe la ng ga n la m a H A L 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Citra perusahaan HGL B ia ya ikl an un tu k pe la ngg an la m a H A L 20 40 60 80 100 120 140 2 4 6 8 10 12 14 waktu HtL C it ra P er us ah aan H G L da n S ha do w P ri ce H Q L : Q t : G t Isoklin G = akan menghasilkan 1 Q v a Q β β β γ − ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 . v a Q β β γ β − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⇔ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4.32 Dengan menyamakan persamaan 4.31 dan 4.32 akan diperoleh 1 v G v a r G α β β α γ γ β − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 v v a G r G β β α α γ γ β − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4.33 Persamaan 4.33 tidak dapat diselesaikan secara analitik kecuali untuk 0.5 α = , yang menghasilkan 1 v a v rG G β β α α γ β γ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v a v a r v G rv G v β β β β γ α γ β γ β − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + − + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4.34 Dengan menyelesaikan persamaan 4.34, diperoleh 2 2 2 2 1,2 2 2 1 2 2 a v a v G rv r v β β β β γ α β γ β γ − ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜ = − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ 3 4 2 2 2 4 4 4 v a v rv β β β γ α γ α γ β γ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎟ ± − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠ 4.35 [Penurunan 4.35 dapat dilihat pada Lampiran 3]. Dari persamaan 4.32 dan 4.35 selanjutnya akan dianalisis kestabilan titik tetap, titik tetap yang diperoleh adalah 1 1 : , T G Q 2 2 : , T G Q di mana 1 , v a Q β β γ β − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 a v a v G rv r v β β β β γ α β γ β γ − ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜ = − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ 3 4 2 2 2 4 4 4 , v a v rv β β β γ α γ α γ β γ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎟ − − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 a v a v G rv r v β β β β γ α β γ β γ − ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜ = − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ 3 4 2 2 2 4 4 4 . v a v rv β β β γ α γ α γ β γ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎟ + − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠ Persamaan state dan persamaan adjoin yang diperoleh pada daerah A dituliskan sebagai berikut 1 Q v G a Q β β β γ − ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 4.29 1 v Q r Q G G α α γ − = + − 4.30 Matriks Jacobi dari sistem 4.29 dan 4.30 diberikan pada 4.36. kestabilan sistem persamaan 4.29 dan 4.30 akan diperoleh dengan menganalisis nilai eigen dari matriks Jacobi pada titik tetapnya. 2 1 1 1 2 2 2 1 4.36 1 v Q a Q J v G r G β β β β α β β β γ α α γ − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 Pada : , T G Q 1 i J I λ − = 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 v Q a Q v G r G β β β β α β β λ β γ α α λ γ − − − − ⎡ ⎤ − + ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ = − − − − 20 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 v v r Q G a Q G β β β α β β β λ λ α α β γ γ − − − − ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ − − − + − − − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ sehingga diperoleh nilai eigennya, yaitu 2 1 1 4 2 p p um u λ = − − − 2 2 1 4 2 p p um u λ = − + − dengan nilai p , u , dan m dalam Lampiran 5. Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah disebutkan di awal, nilai eigen yang diperoleh merupakan nilai eigen kompleks dengan Re i λ sehingga titik tetap 1 T bersifat spiral takstabil. Untuk menganalisis nilai eigen dari matriks Jacobi pada titik tetap 2 2 : , T G Q , maka 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 i J I v Q a Q v G r G β β β β α λ β β λ β γ α α λ γ − − − − − = ⎡ ⎤ − + ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ = − − − − 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 v v r Q G a Q G β β β α β β β λ λ α α β γ γ − − − − ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ − − − + − − − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ sehingga diperoleh nilai eigennya, yaitu 2 1 1 4 2 s s cd c λ = − − − 2 2 1 4 2 s s cd c λ = − + − dengan nilai s , c , dan d dalam Lampiran 5. Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah disebutkan di awal, diperoleh 1 λ dan 2 λ sehingga titik tetap 2 T bersifat sadel. Selanjutnya akan dianalisis juga kestabilan titik tetap pada daerah A menggunakan determinan matriks Jacobi. Dengan mensubtitusikan persamaan 4.17, 4.23, 4.24, 4.25, dan 4.26 ke determinan matriks Jacobi 4.16 diperoleh 1 1 1 2 2 1 det . 1 v G v J Q a G Q α β β β α α β β γ γ β − − + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4.37 Apabila persamaan 4.32 disubstitusi ke persamaan 4.37, determinan matriks Jacobi menjadi 2 1 2 2 1 1 det . 1 v G J a v G α β β α α γ β β γ − ⎡ ⎤ + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4.38 [Penurunan 4.38 dapat dilihat pada Lampiran 6]. Berdasarkan persamaan 4.24, maka det J jika 1 v G α α α γ ⎡ ⎤ + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Hal ini berimplikasi bahwa titik kesetimbangan merupakan titik sadel jika 1 v G α α α γ − 1 . [1 ] v G α γ α α ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 4.39 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.39 ke persamaan 4.31, maka Q mencapai nilai maksimum untuk 1 [1 ] . [1 ] v Q r v α α α γ α γ α − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 4.40 Untuk titik tetap 1 1 : , T G Q determinan matriks Jacobi 4.38 menjadi 21 1 1 2 1 2 2 1 1 1 det . 1 v G J a v G α β β α α γ β β γ − ⎡ ⎤ + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Karena 1 1 [1 ] v G α γ α α ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ maka 1 det 0. J Dalam kasus ketidakstabilan det J , titik tetap dapat berupa spiral atau simpul. Simpul akan terjadi jika 2 4 det J τ − dan spiral akan terjadi jika 2 4 det J τ − , dengan trace τ = dari matriks Jacobi. G Q G Q τ ∂ ∂ = + ∂ ∂ 2 2 [ ] [ ] A G A Q A r A A G A Q r δ δ δ δ δ δ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − + + + − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = Karena 2 1 4 det r J maka titik tetap 1 1 : , T G Q bersifat spiral takstabil. Untuk titik tetap 2 2 : , T G Q determinan matriks Jacobi 4.38 menjadi 2 2 2 1 2 2 2 1 1 det . 1 v G J a v G α β β α α γ β β γ − ⎡ ⎤ + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Karena 1 2 [1 ] v G α γ α α ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ maka 2 det J , sehingga titik tetap 2 2 : , T G Q bersifat sadel. ii. Analisis untuk A = Dari persamaan 4.28 diketahui bahwa A = jika v Q G γ = . Dengan mensubstitusikan persamaan 4.28 ke persamaan 4.29, persamaan state menjadi 1 Q G G a β β β − ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , 4.41 dan persamaan adjoin 4.30 menjadi 1 1 . Q r Q G α α − = + − 4.42 Sehingga isoklin G = menjadi 1 Q G a β β β − ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 a Q G β β β − = 4.43 dan isoklin Q = menjadi 1 [ 1] r Q G α α − + − = 1 [ 1] G Q r α α − = + 4.44 Dengan menyamakan persamaan 4.43 dan 4.44 akan diperoleh 1 1 1 G a G r β α β α β − − = + 1 1 G r a β αβ α β − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ 4.45 Dari persamaan 4.43 dan 4.45 akan dianalisis kestabilan titik tetap : , T G Q . Matriks Jacobi berdasarkan persamaan state 4.41 dan persamaan adjoin 4.42 adalah 2 1 1 1 2 1 1 1 1 Q J a G r β β β β α β β β α α − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ − − + ⎣ ⎦ Kestabilan sistem persamaan 4.41 dan 4.42 akan diperoleh dengan menganalisis nilai eigen dari matriks Jacobi pada titik tetapnya. Untuk menganalisis nilai eigen dari matriks Jacobi pada titik tetap : , T G Q , maka i J I λ − = 2 1 1 1 2 1 1 1 1 Q a G r β β β β α β β λ β α α λ − − − − ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ = − ⎣ ⎦ − − + − 2 2 1 1 1 1 1 ] [ 1 ] 0. 1 r G Q a α β β β β λ λ α α β β β − − − − ⎡ − − + − − − − ⎣ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ − ⎣ ⎦ ⎦ Sehingga diperoleh nilai eigennya, yaitu 2 1 1 4 2 x x yz y λ = − − − 2 2 1 4 2 x x yz y λ = − + − dengan nilai , x , y dan z dalam Lampiran 7. 0.062 0.064 0.066 0.068 0.070 r - 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 G 2 3 4 5 6 Q Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah disebutkan di awal, diperoleh 1 λ dan 2 λ sehingga titik tetap T bersifat sadel. Selanjutnya akan dianalisis juga kestabilan titik tetap dengan menggunakan determinan matriks Jacobi untuk A = . Dengan mensubstitusikan A = ke persamaan 4.14, determinan matriks Jacobi akan menjadi det [ ] [ ] [ ] A A J r Q GR r G Q G δ δ δ δ δ ⎡ ⎤ ∂ ∂ = − + − + + + ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ N A N Q R Q G Q η δ η ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ 2 [ ] [ ] N R G r Q N η δ δ η = − + − 4.46 Berdasarkan asumsi 3.6, 3.7, dan 3.8 jelas bahwa det J .

4.5 Analisis Numerik Titik Tetap