Gambar 12
Grafik hubungan
A
dan
Q dengan
1 v
=
, 3
γ = , dan
1 G
=
. Gambar 12
menunjukkan bahwa besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama
, A Q G yang bergantung pada shadow price
Q merupakan fungsi naik dan cembung ke bawah. Hal ini berarti bahwa ketika shadow
price meningkat maka biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama juga akan meningkat.
Gambar 13
Grafik hubungan
A
dan
G dengan
1 v
=
, 3
γ = , dan 2.64
Q =
. Gambar 13
menunjukkan bahwa besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama
, A Q G yang bergantung pada citra perusahaan
G
juga merupakan fungsi naik dan cembung ke bawah. Hal ini berarti bahwa ketika citra
perusahaan meningkat maka biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama juga akan semakin
meningkat.
Pada pembahasan selanjutnya akan dibedakan untuk
A dan
A = .
i. Analisis untuk
A Persamaan 4.17, 4.24, 4.25, dan
4.27 disubstitusikan ke dalam persamaan 4.7 persamaan state menjadi
G N
A G η
δ =
−
A
N e
G
β γ
−
= −
1 1
ln 1
Q G v
Q e
G a
β γ
γ β
γ
β
⎡ ⎤
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
1
. Q
v a
Q
β β
β γ
−
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4.29 Persamaan 4.17, 4.23, dan 4.27
disubstitusikan ke dalam persamaan 4.8 persamaan adjoin menjadi
[ ]
Q r
A Q R G
δ = +
− r Q
A Q R G
δ
= +
−
1 ln
1 Q G
v
r Q e Q
G
γ γ
γ α
α
⎡ ⎤
− ⎢ ⎥
− ⎣
⎦
= +
−
1
. v
r Q G
G
α
α γ
−
= +
− 4.30
Gambar 14
Grafik hubungan
Q
dan
G
terhadap
t
.
Gambar 14 diperoleh dengan cara menyelesaikan secara numerik persamaan-
persamaan diferensial 4.29 dan 4.30, parameter-parameter yang digunakan adalah
0.9 β =
, 3
a = ,
0.5 α =
, 0.03
r =
, 1
v = ,
dan 3
γ = . Dalam Gambar 14 ditunjukkan dinamika shadow price Q dan citra sebuah
perusahaan
G
terhadap waktu t selalu berosilasi. Berdasarkan Gambar 14 dapat
dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu maka shadow price maupun citra perusahaan
akan meningkat setelah itu akan menurun kemudian akan kembali meningkat lagi.
Isoklin Q
= akan menghasilkan
1
v r Q
G G
α
α γ
−
+ −
=
. v
G Q
r G
α
α γ
− ⇔
=
4.31
0.0 0.5
1.0 1.5
2.0 2.5
3.0 3.5
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0
Shadow Price HQL
B ia
ya ikl
an un
tu k
pe la
ng ga
n la
m a
H
A
L
0.0 0.5
1.0 1.5
2.0 2.5
3.0 3.5
-0.2 0.0
0.2 0.4
0.6 0.8
1.0
Citra perusahaan HGL
B ia
ya ikl
an un
tu k
pe la
ngg an
la m
a
H
A
L
20 40
60 80
100 120
140 2
4 6
8 10
12 14
waktu HtL
C it
ra P
er us
ah aan
H
G
L
da n
S ha
do w
P ri
ce
H
Q
L
: Q t
: G t
Isoklin G
= akan menghasilkan
1
Q v
a Q
β β
β γ
−
⎡ ⎤
− =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1
. v
a Q
β β
γ β
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⇔ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4.32 Dengan menyamakan persamaan 4.31 dan
4.32 akan diperoleh
1
v G
v a
r G
α β
β
α γ
γ β
−
− ⎡ ⎤
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
v v
a G
r G
β β
α
α γ
γ β
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
4.33 Persamaan 4.33 tidak dapat diselesaikan
secara analitik kecuali untuk 0.5
α = , yang
menghasilkan
1
v a
v rG
G
β β
α
α γ
β γ
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− + =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 v
a v
a r v
G rv
G v
β β
β β
γ α γ
β γ
β
− −
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +
− +
= ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦
4.34 Dengan menyelesaikan persamaan 4.34,
diperoleh
2 2
2 2
1,2 2
2
1 2
2 a
v a
v G
rv r v
β β
β β
γ α β
γ β
γ
−
⎛ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎜
= −
− ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎜
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎝
3 4
2 2
2 4
4
4 v
a v
rv
β β
β
γ α γ α
γ β
γ ⎞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎟
± − +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠
4.35 [Penurunan 4.35 dapat dilihat pada
Lampiran 3]. Dari persamaan 4.32 dan 4.35
selanjutnya akan dianalisis kestabilan titik tetap, titik tetap yang diperoleh adalah
1 1
: ,
T G Q
2 2
: ,
T G Q
di mana
1
, v
a Q
β β
γ β
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
2 2
2 2
1 2
2
1 2
2 a
v a
v G
rv r v
β β
β β
γ α β
γ β
γ
−
⎛ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎜
= −
− ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎜
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎝
3 4
2 2
2 4
4
4 ,
v a
v rv
β β
β
γ α γ α
γ β
γ ⎞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎟
− − +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠
2 2
2 2
2 2
2
1 2
2 a
v a
v G
rv r v
β β
β β
γ α β
γ β
γ
−
⎛ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎜
= −
− ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎜
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎝
3 4
2 2
2 4
4
4 .
v a
v rv
β β
β
γ α γ α
γ β
γ ⎞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎟
+ − +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠
Persamaan state dan persamaan adjoin yang diperoleh pada daerah
A dituliskan
sebagai berikut
1
Q v
G a
Q
β β
β γ
−
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4.29
1
v Q
r Q G
G
α
α γ
−
= +
− 4.30
Matriks Jacobi dari sistem 4.29 dan 4.30 diberikan pada 4.36. kestabilan sistem
persamaan 4.29 dan 4.30 akan diperoleh dengan menganalisis nilai eigen dari matriks
Jacobi pada titik tetapnya.
2 1
1 1
2 2
2
1 4.36
1 v
Q a
Q J
v G
r G
β β
β β
α
β β
β γ
α α γ
− −
− −
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢
⎥ +
⎢ ⎥ ⎢
⎥ −
⎣ ⎦ = ⎢
⎥ ⎢
⎥ −
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 1
Pada :
, T
G Q
1 i
J I
λ −
=
2 1
1 1
2 2
1 2
1
1 1
v Q
a Q
v G
r G
β β
β β
α
β β
λ β
γ α α
λ γ
− −
− −
⎡ ⎤ −
+ ⎢ ⎥
− ⎣ ⎦
= −
− −
− 20
2 1
1 2
1 1
2 2
1
1 1
v v
r Q
G a
Q G
β β
β α
β
β β
λ λ
α α β
γ γ
− −
− −
⎛ ⎞ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎜ ⎟
− −
− +
− −
− =
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎜
⎟ −
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎝
⎠
sehingga diperoleh nilai eigennya, yaitu
2 1
1 4
2 p
p um
u
λ
= − −
−
2 2
1 4
2 p
p um
u
λ
= − +
−
dengan nilai
p
, u , dan m dalam Lampiran 5. Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah
disebutkan di awal, nilai eigen yang diperoleh merupakan nilai eigen kompleks dengan
Re
i
λ sehingga titik tetap
1
T bersifat spiral takstabil.
Untuk menganalisis nilai eigen dari matriks Jacobi pada titik tetap
2 2
: ,
T G Q , maka
2 2
1 1
1 2
2 2
2 2
1 1
i
J I
v Q
a Q
v G
r G
β β
β β
α
λ β
β λ
β γ
α α λ
γ
− −
− −
− =
⎡ ⎤ −
+ ⎢ ⎥
− ⎣ ⎦
= −
− −
−
2 1
1 2
1 2
2 2
2
1 1
v v
r Q
G a
Q G
β β
β α
β
β β
λ λ
α α β
γ γ
− −
− −
⎛ ⎞ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎜ ⎟
− −
− +
− −
− =
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎜
⎟ −
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎝
⎠
sehingga diperoleh nilai eigennya, yaitu
2 1
1 4
2 s
s cd
c
λ
= − −
−
2 2
1 4
2 s
s cd
c
λ
= − +
−
dengan nilai s , c , dan
d
dalam Lampiran 5. Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah
disebutkan di awal, diperoleh
1
λ dan
2
λ sehingga titik tetap
2
T bersifat sadel. Selanjutnya akan dianalisis juga kestabilan
titik tetap pada daerah A
menggunakan determinan matriks Jacobi. Dengan
mensubtitusikan persamaan 4.17, 4.23, 4.24, 4.25, dan 4.26 ke determinan
matriks Jacobi 4.16 diperoleh
1 1
1 2
2
1 det
. 1
v G
v J
Q a
G Q
α β
β β
α α β
β γ
γ β
− −
+ −
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢
⎥ =
− ⎢ ⎥ ⎢
⎥ −
⎣ ⎦ ⎣
⎦
4.37 Apabila persamaan 4.32 disubstitusi ke
persamaan 4.37, determinan matriks Jacobi menjadi
2 1 2
2
1 1
det .
1 v
G J
a v
G
α β
β
α α γ
β β
γ
−
⎡ ⎤ +
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦ =
− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4.38 [Penurunan 4.38 dapat dilihat pada
Lampiran 6]. Berdasarkan persamaan 4.24, maka
det J
jika
1 v
G
α
α α γ
⎡ ⎤ +
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦
. Hal ini berimplikasi bahwa titik kesetimbangan
merupakan titik sadel jika 1
v G
α
α α
γ −
1
. [1
] v
G
α
γ α α
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− ⎣
⎦
4.39 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.39 ke
persamaan 4.31, maka Q mencapai nilai maksimum untuk
1
[1 ]
. [1
] v
Q r
v
α
α α γ
α γ
α −
⎡ ⎤
= ⎢
⎥ −
⎣ ⎦
4.40 Untuk titik tetap
1 1
: ,
T G Q determinan
matriks Jacobi 4.38 menjadi
21
1 1
2 1 2
2 1
1 1
det .
1 v
G J
a v
G
α β
β
α α γ
β β
γ
−
⎡ ⎤ +
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦ =
− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Karena
1 1
[1 ]
v G
α
γ α α
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− ⎣
⎦
maka
1
det 0.
J Dalam kasus ketidakstabilan det
J , titik
tetap dapat berupa spiral atau simpul. Simpul akan terjadi jika
2
4 det J
τ
−
dan spiral akan terjadi jika
2
4 det J
τ
−
, dengan trace
τ = dari matriks Jacobi.
G Q
G Q
τ
∂ ∂
= +
∂ ∂
2 2
[ ] [ ]
A G
A Q
A r
A A G
A Q r
δ δ
δ δ
δ δ
⎡ ⎤ ⎡
⎤ = −
+ +
+ −
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
=
Karena
2 1
4 det r
J maka titik tetap
1 1
: ,
T G Q bersifat spiral takstabil.
Untuk titik tetap
2 2
: ,
T G Q determinan
matriks Jacobi 4.38 menjadi
2 2
2 1 2
2 2
1 1
det .
1 v
G J
a v
G
α β
β
α α γ
β β
γ
−
⎡ ⎤ +
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦ =
− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Karena
1 2
[1 ]
v G
α
γ α α
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− ⎣
⎦
maka
2
det J
, sehingga titik tetap
2 2
: ,
T G Q bersifat sadel.
ii. Analisis untuk
A =
Dari persamaan 4.28 diketahui bahwa A
= jika
v Q
G γ
= . Dengan
mensubstitusikan persamaan 4.28 ke persamaan 4.29, persamaan state menjadi
1
Q G
G a
β β
β
−
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
, 4.41
dan persamaan adjoin 4.30 menjadi
1
1 .
Q r
Q G
α
α
−
= + −
4.42 Sehingga isoklin
G =
menjadi
1
Q G
a
β β
β
−
⎡ ⎤
− = ⎢
⎥ ⎣
⎦
1
a Q
G
β β
β
−
=
4.43 dan isoklin
Q =
menjadi
1
[ 1]
r Q
G
α
α
−
+ −
=
1
[ 1]
G Q
r
α
α
−
= +
4.44 Dengan menyamakan persamaan 4.43 dan
4.44 akan diperoleh
1 1
1 G
a G
r
β α
β
α β
− −
= +
1
1 G
r a
β αβ
α β
−
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
+ ⎣
⎦ 4.45
Dari persamaan 4.43 dan 4.45 akan dianalisis kestabilan titik tetap
: , T
G Q . Matriks Jacobi berdasarkan persamaan state
4.41 dan persamaan adjoin 4.42 adalah
2 1
1 1
2
1 1
1 1
Q J
a G
r
β β
β β
α
β β
β α α
− −
− −
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢
⎥ −
⎢ ⎥ = ⎢
⎥ −
⎣ ⎦ ⎢
⎥ −
− +
⎣ ⎦
Kestabilan sistem persamaan 4.41 dan 4.42 akan diperoleh dengan menganalisis
nilai eigen dari matriks Jacobi pada titik tetapnya.
Untuk menganalisis nilai eigen dari matriks Jacobi pada titik tetap
: , T
G Q , maka
i
J I
λ −
=
2 1
1 1
2
1 1
1 1
Q a
G r
β β
β β
α
β β
λ β
α α λ
− −
− −
⎡ ⎤ − −
⎢ ⎥ =
− ⎣ ⎦
− −
+ −
2 2
1 1
1
1 1
] [ 1
] 0.
1 r
G Q
a
α β
β β
β
λ λ
α α β
β β
− −
− −
⎡ − − + −
− − −
⎣ ⎤
⎡ ⎤ ⎥ =
⎢ ⎥ ⎥
− ⎣ ⎦
⎦
Sehingga diperoleh nilai eigennya, yaitu
2 1
1 4
2 x
x yz
y λ =
− − −
2 2
1 4
2 x
x yz
y λ =
− + −
dengan nilai ,
x
, y
dan
z
dalam Lampiran 7.
0.062 0.064
0.066 0.068
0.070 r
-
0.5 0.5
1.0 1.5
2.0 G
2 3
4 5
6 Q
Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah disebutkan di awal, diperoleh
1
λ dan
2
λ sehingga titik tetap T bersifat sadel. Selanjutnya akan dianalisis juga
kestabilan titik tetap dengan menggunakan determinan matriks Jacobi untuk
A = .
Dengan mensubstitusikan A
= ke persamaan 4.14, determinan matriks Jacobi
akan menjadi
det [
] [
] [
] A
A J
r Q
GR r
G Q
G δ
δ δ δ
δ ⎡
⎤ ∂
∂ = −
+ − +
+ + ⎢
⎥ ∂
∂ ⎣
⎦
N A
N Q
R Q
G Q
η δ
η ∂
∂ ∂
− +
∂ ∂
∂
2
[ ] [
] N
R G r
Q N
η δ
δ η
= − +
−
4.46 Berdasarkan asumsi 3.6, 3.7, dan 3.8
jelas bahwa det J
.
4.5 Analisis Numerik Titik Tetap