BAB II LANDASAN TEORI
Beberapa landasan teori yang akan dibahas pada bab ini meliputi kemonotonan dan
kecekungan fungsi, kalkulus variasi dan kontrol optimum, konsep kestabilan titik tetap, serta
teorema amplop yang disarikan dari berbagai sumber pustaka.
2.1 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi Definisi 1 Kemonotonan Fungsi
Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang I terbuka, tertutup, atau tak satupun.
Dikatakan bahwa i.
f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan
1
x dan
2
x dalam I
1 2
1 2
. x
x f x
f x ⇒
ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap
pasang bilangan
1
x dan
2
x dalam I
1 2
1 2
. x
x f x
f x ⇒
iii. f monoton murni pada I jika ia naik
pada I atau turun pada I . [Purcell Varberg, 1999]
Definisi 2 Kecekungan Fungsi
Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka
, I
a b =
. Fungsi f dikatakan i.
Cekung ke atas jika f naik pada I .
ii. Cekung ke bawah jika
f turun pada I . [Purcell Varberg, 1999]
Teorema 1 Kemonotonan Fungsi
Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik-dalam
dari I . i.
Jika f x
untuk semua titik-dalam x dari I , maka f naik pada I .
ii. Jika
f x untuk semua titik-dalam
x dari I , maka f turun pada I . [Purcell Varberg, 1999]
Teorema 2 Kecekungan Fungsi Andaikan f terdeferensialkan dua kali pada
selang terbuka , a b .
i. Jika
f x
untuk semua x dalam ,
a b , maka f cekung ke atas pada ,
a b . ii.
Jika f
x untuk semua x dalam
, a b , maka f cekung ke bawah pada
, a b .
[Purcell Varberg, 1999]
2.2 Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum Kalkulus Variasi
Kalkulus variasi adalah cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan
pengoptimuman fungsional. Fungsional sendiri didefinisikan sebagai suatu aturan yang
mengaitkan setiap fungsi dengan suatu bilangan real. Fungsional yang umum dipakai dalam
kalkulus variasi adalah:
, , .
b a
J x f x x t dt
=
∫
2.1 Argumen dari fungsional merupakan sebuah
fungsi. Untuk memperoleh fungsional J x
yang maksimum, diperlukan nilai x t yang
memberikan nilai ekstrim pada fungsional .
J x Fungsi x t yang memberikan nilai
ekstrim, diperoleh dengan konsep increment. Increment atau kenaikan dari argumen
fungsional disebut variasi. Variasi dari fungsional
J x adalah J x
J x x
J x
δ
∆ =
+ −
. Diasumsikan x h
δ = sebarang fungsi, maka dengan menggunakan
perluasan deret Taylor diperoleh J x
h +
, ,
T
f x h x
h t dt =
+ +
∫
, ,
T T
x x
f x x t dt hf
hf dt =
+ +
∫ ∫
2 2
2
1 2
2
T xx
xx xx
h f hhf
h f dt
O h +
+ +
+
∫
2 2
J x J h
J h O h
δ δ
= +
+ +
sehingga J h
J x h J x
∆ =
+ −
2 2
J h J h
O h δ
δ =
+ +
dengan J h
δ
merupakan variasi pertama,
2
J h
δ merupakan variasi kedua, dan
2
O h →
untuk
h →
. Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu agar
J x maksimum, sedangkan variasi kedua berperan
sebagai syarat cukup. [Tu, 1993]
Persamaan Euler
Misalkan [ , ]
C a b adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisikan pada sebuah
interval tertutup [ , ] a b dan
[ , ]
i
C a b
adalah kelas dari semua fungsi yang terdefinisikan dan
mempunyai turunan ke
i
yang kontinu 1
i n
≤ ≤ . Jika
0, a
= ,
b T
=
dan
2 i
=
maka
2
[ , ] [0, ].
i
C a b C
T =
Sehingga bentuk fungsional menjadi
, ,
T
J x f x x t dt
=
∫
, 2.2
dengan titik ujung [0, 0] A
x dan [ , ]
B T x T adalah tetap di mana
2
, , [0, ]
f x x t C
T ∈
,
2
[0, ] x t
C T
∈
, dx
x dt
≡ dan x adalah fungsi
bernilai skalar. Masalah yang muncul adalah memilih fungsi
x t dalam
2
[0, ] C
T
yang memiliki titik awal di A dan titik akhir di B
yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional
J x . Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah
J x
δ
= . Misalkan
T
J x g t h t dt
δ
=
∫
, dengan
[0, ] g t
C T
∈ dan
h t sebarang fungsi yang memenuhi 0
h h T
= = .
[Tu, 1993]
Lema 1
Misalkan g t sebarang fungsi kontinu pada
[0, ] T dan
S
merupakan himpunan dari sebarang fungsi
h t yang kontinu dan terdiferensialkan pada [0, ]
T sehingga
h h T
= =
dengan
T
ditentukan. Jika
T
g t h t dt =
∫
untuk semua h t
S ∈ , maka
g t =
untuk semua [0, ]
t T
∈ .
Bukti: Andaikan
[0, ] t
T ∃ ∈
sehingga g t
≠ . Misalkan
g t . Karena
g t kontinu maka [ , ]
[0, ] a b
T ∃
⊂ , sehingga
g t berlaku
untuk semua [ , ]
t a b
∈ .
Berikutnya misalkan h t
t a b t
= − −
untuk [ , ]
t a b
∈ dan
h t = ,
[ , ] t
a b ∀ ∉
. Maka h t memenuhi syarat pada lema 1, yaitu
h h T
= = .
Dengan demikian
b a
g t h t dt ≠
∫
, yang berakibat
T
g t h t dt ≠
∫
, karena nilai g t h t
. Jadi haruslah 0 g t
= . [Tu,
1993]
Teorema 3
Misalkan
, ,
T
J x f x x t dt
=
∫
terdefinisi pada [0, ] T , dan memenuhi syarat
batas x
x =
dan
T
x T x
= . Syarat perlu agar
J x mempunyai nilai ekstrim adalah x t memenuhi persamaan berikut :
x x
d f
f dt
− =
.
Bukti:
Syarat perlu agar J x maksimum adalah
J x
δ
= , yaitu
[ , ,
, , ]
T x
x
J f
x x t h f
x x t h dt
δ
= +
=
∫
dengan
, , ,
, , .
x x
f x x t f
x f x x t
f x
∂ =
∂ ∂
= ∂
2.3 Fungsi
h t merupakan fungsi kontinu dan
terturunkan yang bersifat 0 h
h t = =
. Dengan menggunakan integral parsial maka :
[ ]
T T
T x
x x
d hf dt
hf f hdt
dt =
−
∫ ∫
[ ]
.
T x
d f hdt
dt = −
∫
Jadi persamaan 2.3 dapat dituliskan kembali dengan
3
[ ]
T x
x
d J
f f hdt
dt ∂ =
− =
∫
maka menurut Lema 1 diperoleh
x x
d f
f dt
− =
yang disebut dengan persamaan Euler. Persamaan
Euler merupakan bentuk persamaan diferensial orde dua. Solusinya
melibatkan dua konstanta sebarang. Konstanta- konstanta ini ditentukan secara khusus dengan
menggunakan syarat batas.
Syarat batas dengan T dan kedua titik ujung peubah
x t yang sudah ditetapkan merupakan pengantar ke syarat batas yang lebih umum.
Contoh syarat batas yang lebih umum adalah titik awal
[ 0, 0
] A t
x x
= =
dan titik [ , ]
B T x T sebagai titik akhir dengan T dan x T keduanya tidak ditentukan. Variasi
fungsional J x untuk syarat batas ini adalah
, ,
, ,
T T
T
J f t x
h x h dt
f t x x dt
δ +
∆ = +
+ −
∫ ∫
[ , ,
, , ]
T
f t x h x
h f t x x dt
= +
+ −
∫
, ,
.
T T
f t x h x
h dt
δ +
+ +
+
∫
2.4 Menurut [Tu, 1993], variasi fungsional ini
menghasilkan syarat perlu [
]
T x
x
d J x
f f dt
dt δ
= −
∫
[ ]
0 .
x x
t T
f x
xf
δ
=
+ −
=
2.5
Bukti: Agar persamaan 2.5 berlaku maka
persamaan Euler harus terpenuhi dan suku terakhir persamaan 2.5 harus memenuhi:
[ ]
0.
x x t T
f x
xf
δ
=
− =
2.6 Persamaan 2.6 disebut sebagai kondisi
transversalitas transversality condition. [Tu, 1993]
Kontrol Optimum
Teori kontrol optimum berkembang secara pesat pada akhir tahun 1950 oleh Pontryagin
1962 yang disebut dengan prinsip maksimum maximum principle.
Pada masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu. Saat waktu t , sistem berada
dalam keadaan atau kondisi state tertentu, yang dapat diungkapkan dengan peubah
keadaan state variable
1 2
, , ...,
n
x t x t
x t
, atau dalam bentuk vektor
n
x t ∈ℜ . Dengan
nilai t yang berbeda, vektor x t menempati
posisi yang berbeda di ruang
n
ℜ sehingga
dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang suatu kurva di
.
n
ℜ Dalam tulisan ini, citra goodwill
perusahaan adalah peubah keadaan state variable
x t yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada fungsi atau peubah
kontrol u t
yaitu periklanan yang mempengaruhi proses dalam hal ini biaya
pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru dan pelanggan lama.
Dinamika sistem dapat dinyatakan secara matematik melalui persamaan diferensial:
, , . x
f x t u t t =
2.7 Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu
t yaitu x t
x = ∈ℜ . Jika dipilih peubah
kontrol u t
∈ℜ yang terdefinisi untuk
t t
, maka diperoleh persamaan diferensial orde satu
dengan peubah taktentu
t
x
. Karena
x
diberikan, maka 2.7 mempunyai solusi tunggal.
Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap u yang dilambangkan dengan
.
u
x t
Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi
yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang
diinginkan, artinya untuk setiap kontrol
u t dan responnya state
x t dihubungkan dengan fungsi
[ , , ] ,
T t
J u f x t u t t dt
=
∫
2.8 dengan
f
fungsi yang diberikan. T tidak harus fixed ditentukan dan
x T mempunyai kondisi tertentu.
Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga
J
menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum.
Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan
suatu fungsional dengan kendala:
, , , x
f x t u t t =
sehingga dapat dilihat bahwa dengan mengganti peubah
x
dengan u pada fungsional
J
, maka
permasalahan kalkulus variasi sama dengan permasalahan kontrol optimum.
[Tu, 1993]
Syarat Perlu
Syarat perlu merupakan akibat logis suatu pernyataan. Syarat perlu dalam kontrol optimum
adalah prinsip maksimum Pontryagin. Prinsip Maksimum Pontryagin
Misalkan terdapat masalah memilih suatu vektor kontrol
1 2
[ ,
, ..., ]
r
u t u t u t
u t =
dari himpunan semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian. Kontrol optimum dipilih
untuk membawa sistem dinamik [ , , ],
x f x t u t t
= dari keadaan awal
]
[ ,
x t
ke keadaan akhir
[ , ] x T
T
sehingga memaksimumkan
[ , ] [ , , ]
T
J u S x T T
f x t u t t dt =
+
∫
dengan x t variable keadaan state variable
dan [ , ]
S x T T yang didefinisikan sebagai fungsi scrap.
[Tu, 1993]
Teorema 4 Pontryagin
Misalkan u t
∗
sebagai kontrol admissible yang membawa state awal
]
[ , x t
t
kepada target state terminal [ , ]
x T T , dengan x T
dan
T
secara umum tidak ditentukan. Misalkan x t
∗
merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan
u t
∗
. Supaya kontrol u t
∗
merupakan kontrol optimum maka perlu terdapat fungsi vektor
p t
∗
≠ dan konstanta p demikian sehingga
1. p t
∗
dan x t
∗
merupakan solusi dari sistem kanonik
[ ,
, , ],
H x t
x t u t p t t p
∗ ∗
∗ ∗
∂ =
∂ [
, ,
, ], H
p t x t u t p t t
x
∗ ∗
∗ ∗
∂ = −
∂ dengan fungsi Hamilton
H
diberikan oleh
[
[ , , , ] , , ]
. [ , , ] H x u p t
f x t u t t
p f x t u t t =
+
dengan 1
p ≡ .
2. [
, ,
, ] [ , , , ]
H x t u t p t t H x t u t p t t
∗ ∗
∗
≥ 3. Semua syarat batas terpenuhi.
Bukti : [Lihat lampiran 1] Catatan:
1. [
, ,
, ] [ , , , ]
H x t u t p t t H x t u t p t t
∗ ∗
∗
≥ disebut dengan prinsip maksimum
Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh
u
H = dan
uu
H . Jika
u U
∈
dan
U
himpunan tertutup, maka
u
H = tidak
memiliki arti, kecuali maksimum dari
H
diberikan oleh bagian dalam interior himpunan
U
. 2. Jika
H
fungsi monoton naik dalam peubah u dan
U
tertutup, maka kontrol optimum adalah
max
i
u untuk masalah
memaksimumkan dan
min
i
u untuk masalah
meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah
min
i
u untuk masalah memaksimumkan dan
max
i
u untuk masalah meminimumkan. Hal ini
juga berlaku apabila
H
adalah fungsi linear dalam
u . Sehingga peubah kontrol optimum
i
u adalah kontinu bagian dan loncat dari satu verteks ke verteks lainnya.
Hal ini merupakan kasus khusus dari kontrol bang-bang.
3. [
, ,
, ] [ , , , ]
H x t u t p t t H x t u t p t t
∗ ∗
∗
≥ juga mencakup syarat cukup.
4. Vektor p disebut juga vektor adjoin,
memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi
dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price nilai marginal dari
vektor atau peubah x , menunjukkan jumlah kenaikan atau penurunan untuk
setiap kenaikan atau penurunan dalam nilai
x pada waktu
t
yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum
J
sedangkan p mengindikasikan tingkat
kenaikan appresiasi untuk p
atau penurunan depresiasi untuk
p dalam
nilai dari tiap unit modal. 5.
dH H
dt t
∂ =
∂ 6.
x
p H
= − ,
u
H = ,
p
x H
=
memberikan syarat perlu untuk masalah yang
dibicarakan. 7. Syarat batas diberikan oleh persamaan
5
]
[ ]
[
t T t T
x t
t t t t
S p
x H S
t
δ δ
= =
= =
− +
+ =
2.9 Apabila fungsi scrab
S =
, maka persamaan 2.9 menjadi
t T t T
t t t t
p t x t
H t t
δ δ
= =
= =
+ =
2.10 Khususnya pada waktu awal
t dan x t
telah ditentukan, sedangkan
T
dan x T
belum ditentukan, maka syarat batas menjadi
p T x T
H T T
δ δ
− +
= 2.11 [Tu,
1993]
Current-Value Hamilton
Dalam penggunaan teori kontrol optimum pada masalah ekonomi, fungsi integrand
f
sering memuat faktor diskon .
rt
e
−
Dengan demikian, fungsi integrand
f
secara umum dapat dituliskan menjadi
.
, ,
, ,
rt
f t G u
V t G u e
−
=
Sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai
max , ,
T rt
W V t G u e
dt
−
= ∫ terhadap kendala
, ,
G f t G u
= ditambah
dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk
, , ,
, ,
, , .
rt
H t G u p V t G u e
p t f t G u
−
= +
Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan prinsip turunan fungsi Hamilton
terhadap
G
dan t , dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan
turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan
current-value Hamilton. Untuk menerapkan konsep current-value Hamilton, diperlukan
konsep current-value fungsi adjoin. Misalkan
q t menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan dengan
rt
q t p t e
=
, yang berimplikasi
rt
p t q t e
−
=
. Sehingga fungsi current-value
Hamilton yang dinotasikan dengan
c
H , dapat dituliskan menjadi
, ,
, ,
rt c
H He
V t G u q t f t G u
≡ =
+
Perhatikan bahwa
c
H , sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon.
Juga, perhatikan bahwa
rt c
H H e
−
≡
. Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin
terhadap
c
H harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan
H
juga akan memaksimumkan
c
H , maka max
, [0, ]
c u
H t
T ∀ ∈
Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah
H G t
p ∂
= ∂
. Karena
,
, ,
c
H H
f t G u p
q ∂
∂ =
= ∂
∂ maka persamaan state disesuaikan menjadi
.
c
H G t
q ∂
= ∂
Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah dalam
bentuk H
p t G
∂ = −
∂ . Pertama-tama,
transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru,
q t
, kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri,
rt rt
p t q t e
rq t e
− −
= −
Dengan memanfaatkan definisi
H
, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk
rt c
H H
e G
G
−
∂ ∂
− = −
∂ ∂
Dengan menyamakan kedua persamaan diatas, persamaan adjoin menjadi
.
c
H q t
rq t G
∂ = −
+ ∂
Selanjutnya akan diperiksa kondisi syarat batas. Untuk syarat batas
p T = , syarat
batas yang sesuai adalah
rT
q T e
−
= dan untuk syarat batas
[ ]
t T
H
=
= , syarat batas yang sesuai adalah
rt c
t T
H e
− =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
=
. [Tu,
1993]
Syarat Cukup
Syarat cukup merupakan syarat yang secara logis mengakibatkan suatu pernyataan. Syarat
cukup dalam kontrol optimum adalah syarat Legendre-Clebsch.
Syarat Legendre-Clebsch
Didefinisikan fungsi ekstra E sebagai berikut:
, , ,
, , ,
,
p
E x x p t f x x t
f x p t x
p f =
− −
−
dengan ,
p t x adalah fungsi kemiringan atau slope dari ekstremum yang melalui titik ,
t x . Jika
, , f x x t
diperluas dengan formula Taylor akan diperoleh bentuk:
2
, , , ,
, , 2
p xx
x p f x x t
f x p t x
p f f
t x q −
= +
− +
dengan 1
q x
p
θ θ
= + −
,
1. θ
Subtitusikan ke persamaan akan diperoleh bentuk sederhana dari fungsi ekstra, yaitu:
2
, , , , ,
2
xx
x p E x x p t
f t x q
− =
dengan 1
q x
p
θ θ
= + −
,
1. θ
Supaya x t mencapai minimum atau
maksimum, cukup dipenuhi syarat Legendre- Clebsch, yaitu
0 0 E
≥ ≤
yang berarti 0 0
xx
f ≥
≤ atau dalam bentuk yang lebih
umum, matriks [ ]
xx
f merupakan semi-definit
positif atau negatif. [Tu, 1993]
Syarat Batas dan Syarat Transversalitas
Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif
max [ ]
[ , ] [ , , ]
T u t
u
J u t S x T T
f x t u t t dt
∈
= +
∫
2.12 Terhadap kendala
, , , ,
n
x t f x t u t t
x t x
x t =
= ∈ ℜ
2.13 Maka syarat transversalitas atau syarat batas
diberikan oleh
]
[ ]
[
x t
t T t T
S p
x H S
t δ
δ
= =
− +
+ = 2.14
a. Masalah Unit Waktu Terbatas