Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi Definisi 1 Kemonotonan Fungsi Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum Kalkulus Variasi

BAB II LANDASAN TEORI

Beberapa landasan teori yang akan dibahas pada bab ini meliputi kemonotonan dan kecekungan fungsi, kalkulus variasi dan kontrol optimum, konsep kestabilan titik tetap, serta teorema amplop yang disarikan dari berbagai sumber pustaka.

2.1 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi Definisi 1 Kemonotonan Fungsi

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang I terbuka, tertutup, atau tak satupun. Dikatakan bahwa i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan 1 x dan 2 x dalam I 1 2 1 2 . x x f x f x ⇒ ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan 1 x dan 2 x dalam I 1 2 1 2 . x x f x f x ⇒ iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I . [Purcell Varberg, 1999] Definisi 2 Kecekungan Fungsi Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka , I a b = . Fungsi f dikatakan i. Cekung ke atas jika f naik pada I . ii. Cekung ke bawah jika f turun pada I . [Purcell Varberg, 1999] Teorema 1 Kemonotonan Fungsi Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik-dalam dari I . i. Jika f x untuk semua titik-dalam x dari I , maka f naik pada I . ii. Jika f x untuk semua titik-dalam x dari I , maka f turun pada I . [Purcell Varberg, 1999] Teorema 2 Kecekungan Fungsi Andaikan f terdeferensialkan dua kali pada selang terbuka , a b . i. Jika f x untuk semua x dalam , a b , maka f cekung ke atas pada , a b . ii. Jika f x untuk semua x dalam , a b , maka f cekung ke bawah pada , a b . [Purcell Varberg, 1999]

2.2 Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum Kalkulus Variasi

Kalkulus variasi adalah cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan pengoptimuman fungsional. Fungsional sendiri didefinisikan sebagai suatu aturan yang mengaitkan setiap fungsi dengan suatu bilangan real. Fungsional yang umum dipakai dalam kalkulus variasi adalah: , , . b a J x f x x t dt = ∫ 2.1 Argumen dari fungsional merupakan sebuah fungsi. Untuk memperoleh fungsional J x yang maksimum, diperlukan nilai x t yang memberikan nilai ekstrim pada fungsional . J x Fungsi x t yang memberikan nilai ekstrim, diperoleh dengan konsep increment. Increment atau kenaikan dari argumen fungsional disebut variasi. Variasi dari fungsional J x adalah J x J x x J x δ ∆ = + − . Diasumsikan x h δ = sebarang fungsi, maka dengan menggunakan perluasan deret Taylor diperoleh J x h + , , T f x h x h t dt = + + ∫ , , T T x x f x x t dt hf hf dt = + + ∫ ∫ 2 2 2 1 2 2 T xx xx xx h f hhf h f dt O h + + + + ∫ 2 2 J x J h J h O h δ δ = + + + sehingga J h J x h J x ∆ = + − 2 2 J h J h O h δ δ = + + dengan J h δ merupakan variasi pertama, 2 J h δ merupakan variasi kedua, dan 2 O h → untuk h → . Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu agar J x maksimum, sedangkan variasi kedua berperan sebagai syarat cukup. [Tu, 1993] Persamaan Euler Misalkan [ , ] C a b adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisikan pada sebuah interval tertutup [ , ] a b dan [ , ] i C a b adalah kelas dari semua fungsi yang terdefinisikan dan mempunyai turunan ke i yang kontinu 1 i n ≤ ≤ . Jika 0, a = , b T = dan 2 i = maka 2 [ , ] [0, ]. i C a b C T = Sehingga bentuk fungsional menjadi , , T J x f x x t dt = ∫ , 2.2 dengan titik ujung [0, 0] A x dan [ , ] B T x T adalah tetap di mana 2 , , [0, ] f x x t C T ∈ , 2 [0, ] x t C T ∈ , dx x dt ≡ dan x adalah fungsi bernilai skalar. Masalah yang muncul adalah memilih fungsi x t dalam 2 [0, ] C T yang memiliki titik awal di A dan titik akhir di B yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional J x . Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah J x δ = . Misalkan T J x g t h t dt δ = ∫ , dengan [0, ] g t C T ∈ dan h t sebarang fungsi yang memenuhi 0 h h T = = . [Tu, 1993] Lema 1 Misalkan g t sebarang fungsi kontinu pada [0, ] T dan S merupakan himpunan dari sebarang fungsi h t yang kontinu dan terdiferensialkan pada [0, ] T sehingga h h T = = dengan T ditentukan. Jika T g t h t dt = ∫ untuk semua h t S ∈ , maka g t = untuk semua [0, ] t T ∈ . Bukti: Andaikan [0, ] t T ∃ ∈ sehingga g t ≠ . Misalkan g t . Karena g t kontinu maka [ , ] [0, ] a b T ∃ ⊂ , sehingga g t berlaku untuk semua [ , ] t a b ∈ . Berikutnya misalkan h t t a b t = − − untuk [ , ] t a b ∈ dan h t = , [ , ] t a b ∀ ∉ . Maka h t memenuhi syarat pada lema 1, yaitu h h T = = . Dengan demikian b a g t h t dt ≠ ∫ , yang berakibat T g t h t dt ≠ ∫ , karena nilai g t h t . Jadi haruslah 0 g t = . [Tu, 1993] Teorema 3 Misalkan , , T J x f x x t dt = ∫ terdefinisi pada [0, ] T , dan memenuhi syarat batas x x = dan T x T x = . Syarat perlu agar J x mempunyai nilai ekstrim adalah x t memenuhi persamaan berikut : x x d f f dt − = . Bukti: Syarat perlu agar J x maksimum adalah J x δ = , yaitu [ , , , , ] T x x J f x x t h f x x t h dt δ = + = ∫ dengan , , , , , . x x f x x t f x f x x t f x ∂ = ∂ ∂ = ∂ 2.3 Fungsi h t merupakan fungsi kontinu dan terturunkan yang bersifat 0 h h t = = . Dengan menggunakan integral parsial maka : [ ] T T T x x x d hf dt hf f hdt dt = − ∫ ∫ [ ] . T x d f hdt dt = − ∫ Jadi persamaan 2.3 dapat dituliskan kembali dengan 3 [ ] T x x d J f f hdt dt ∂ = − = ∫ maka menurut Lema 1 diperoleh x x d f f dt − = yang disebut dengan persamaan Euler. Persamaan Euler merupakan bentuk persamaan diferensial orde dua. Solusinya melibatkan dua konstanta sebarang. Konstanta- konstanta ini ditentukan secara khusus dengan menggunakan syarat batas. Syarat batas dengan T dan kedua titik ujung peubah x t yang sudah ditetapkan merupakan pengantar ke syarat batas yang lebih umum. Contoh syarat batas yang lebih umum adalah titik awal [ 0, 0 ] A t x x = = dan titik [ , ] B T x T sebagai titik akhir dengan T dan x T keduanya tidak ditentukan. Variasi fungsional J x untuk syarat batas ini adalah , , , , T T T J f t x h x h dt f t x x dt δ + ∆ = + + − ∫ ∫ [ , , , , ] T f t x h x h f t x x dt = + + − ∫ , , . T T f t x h x h dt δ + + + + ∫ 2.4 Menurut [Tu, 1993], variasi fungsional ini menghasilkan syarat perlu [ ] T x x d J x f f dt dt δ = − ∫ [ ] 0 . x x t T f x xf δ = + − = 2.5 Bukti: Agar persamaan 2.5 berlaku maka persamaan Euler harus terpenuhi dan suku terakhir persamaan 2.5 harus memenuhi: [ ] 0. x x t T f x xf δ = − = 2.6 Persamaan 2.6 disebut sebagai kondisi transversalitas transversality condition. [Tu, 1993] Kontrol Optimum Teori kontrol optimum berkembang secara pesat pada akhir tahun 1950 oleh Pontryagin 1962 yang disebut dengan prinsip maksimum maximum principle. Pada masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu. Saat waktu t , sistem berada dalam keadaan atau kondisi state tertentu, yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan state variable 1 2 , , ..., n x t x t x t , atau dalam bentuk vektor n x t ∈ℜ . Dengan nilai t yang berbeda, vektor x t menempati posisi yang berbeda di ruang n ℜ sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang suatu kurva di . n ℜ Dalam tulisan ini, citra goodwill perusahaan adalah peubah keadaan state variable x t yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada fungsi atau peubah kontrol u t yaitu periklanan yang mempengaruhi proses dalam hal ini biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru dan pelanggan lama. Dinamika sistem dapat dinyatakan secara matematik melalui persamaan diferensial: , , . x f x t u t t = 2.7 Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu t yaitu x t x = ∈ℜ . Jika dipilih peubah kontrol u t ∈ℜ yang terdefinisi untuk t t , maka diperoleh persamaan diferensial orde satu dengan peubah taktentu t x . Karena x diberikan, maka 2.7 mempunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap u yang dilambangkan dengan . u x t Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol u t dan responnya state x t dihubungkan dengan fungsi [ , , ] , T t J u f x t u t t dt = ∫ 2.8 dengan f fungsi yang diberikan. T tidak harus fixed ditentukan dan x T mempunyai kondisi tertentu. Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga J menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan suatu fungsional dengan kendala: , , , x f x t u t t = sehingga dapat dilihat bahwa dengan mengganti peubah x dengan u pada fungsional J , maka permasalahan kalkulus variasi sama dengan permasalahan kontrol optimum. [Tu, 1993] Syarat Perlu Syarat perlu merupakan akibat logis suatu pernyataan. Syarat perlu dalam kontrol optimum adalah prinsip maksimum Pontryagin. Prinsip Maksimum Pontryagin Misalkan terdapat masalah memilih suatu vektor kontrol 1 2 [ , , ..., ] r u t u t u t u t = dari himpunan semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian. Kontrol optimum dipilih untuk membawa sistem dinamik [ , , ], x f x t u t t = dari keadaan awal ] [ , x t ke keadaan akhir [ , ] x T T sehingga memaksimumkan [ , ] [ , , ] T J u S x T T f x t u t t dt = + ∫ dengan x t variable keadaan state variable dan [ , ] S x T T yang didefinisikan sebagai fungsi scrap. [Tu, 1993] Teorema 4 Pontryagin Misalkan u t ∗ sebagai kontrol admissible yang membawa state awal ] [ , x t t kepada target state terminal [ , ] x T T , dengan x T dan T secara umum tidak ditentukan. Misalkan x t ∗ merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan u t ∗ . Supaya kontrol u t ∗ merupakan kontrol optimum maka perlu terdapat fungsi vektor p t ∗ ≠ dan konstanta p demikian sehingga 1. p t ∗ dan x t ∗ merupakan solusi dari sistem kanonik [ , , , ], H x t x t u t p t t p ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ = ∂ [ , , , ], H p t x t u t p t t x ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ = − ∂ dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh [ [ , , , ] , , ] . [ , , ] H x u p t f x t u t t p f x t u t t = + dengan 1 p ≡ . 2. [ , , , ] [ , , , ] H x t u t p t t H x t u t p t t ∗ ∗ ∗ ≥ 3. Semua syarat batas terpenuhi. Bukti : [Lihat lampiran 1] Catatan: 1. [ , , , ] [ , , , ] H x t u t p t t H x t u t p t t ∗ ∗ ∗ ≥ disebut dengan prinsip maksimum Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh u H = dan uu H . Jika u U ∈ dan U himpunan tertutup, maka u H = tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam interior himpunan U . 2. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah max i u untuk masalah memaksimumkan dan min i u untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah min i u untuk masalah memaksimumkan dan max i u untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u . Sehingga peubah kontrol optimum i u adalah kontinu bagian dan loncat dari satu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus khusus dari kontrol bang-bang. 3. [ , , , ] [ , , , ] H x t u t p t t H x t u t p t t ∗ ∗ ∗ ≥ juga mencakup syarat cukup. 4. Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price nilai marginal dari vektor atau peubah x , menunjukkan jumlah kenaikan atau penurunan untuk setiap kenaikan atau penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan p mengindikasikan tingkat kenaikan appresiasi untuk p atau penurunan depresiasi untuk p dalam nilai dari tiap unit modal. 5. dH H dt t ∂ = ∂ 6. x p H = − , u H = , p x H = memberikan syarat perlu untuk masalah yang dibicarakan. 7. Syarat batas diberikan oleh persamaan 5 ] [ ] [ t T t T x t t t t t S p x H S t δ δ = = = = − + + = 2.9 Apabila fungsi scrab S = , maka persamaan 2.9 menjadi t T t T t t t t p t x t H t t δ δ = = = = + = 2.10 Khususnya pada waktu awal t dan x t telah ditentukan, sedangkan T dan x T belum ditentukan, maka syarat batas menjadi p T x T H T T δ δ − + = 2.11 [Tu, 1993] Current-Value Hamilton Dalam penggunaan teori kontrol optimum pada masalah ekonomi, fungsi integrand f sering memuat faktor diskon . rt e − Dengan demikian, fungsi integrand f secara umum dapat dituliskan menjadi . , , , , rt f t G u V t G u e − = Sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai max , , T rt W V t G u e dt − = ∫ terhadap kendala , , G f t G u = ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk , , , , , , , . rt H t G u p V t G u e p t f t G u − = + Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan prinsip turunan fungsi Hamilton terhadap G dan t , dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan current-value Hamilton. Untuk menerapkan konsep current-value Hamilton, diperlukan konsep current-value fungsi adjoin. Misalkan q t menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan dengan rt q t p t e = , yang berimplikasi rt p t q t e − = . Sehingga fungsi current-value Hamilton yang dinotasikan dengan c H , dapat dituliskan menjadi , , , , rt c H He V t G u q t f t G u ≡ = + Perhatikan bahwa c H , sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa rt c H H e − ≡ . Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap c H harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimumkan c H , maka max , [0, ] c u H t T ∀ ∈ Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah H G t p ∂ = ∂ . Karena , , , c H H f t G u p q ∂ ∂ = = ∂ ∂ maka persamaan state disesuaikan menjadi . c H G t q ∂ = ∂ Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah dalam bentuk H p t G ∂ = − ∂ . Pertama-tama, transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, q t , kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri, rt rt p t q t e rq t e − − = − Dengan memanfaatkan definisi H , suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk rt c H H e G G − ∂ ∂ − = − ∂ ∂ Dengan menyamakan kedua persamaan diatas, persamaan adjoin menjadi . c H q t rq t G ∂ = − + ∂ Selanjutnya akan diperiksa kondisi syarat batas. Untuk syarat batas p T = , syarat batas yang sesuai adalah rT q T e − = dan untuk syarat batas [ ] t T H = = , syarat batas yang sesuai adalah rt c t T H e − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = . [Tu, 1993] Syarat Cukup Syarat cukup merupakan syarat yang secara logis mengakibatkan suatu pernyataan. Syarat cukup dalam kontrol optimum adalah syarat Legendre-Clebsch. Syarat Legendre-Clebsch Didefinisikan fungsi ekstra E sebagai berikut: , , , , , , , p E x x p t f x x t f x p t x p f = − − − dengan , p t x adalah fungsi kemiringan atau slope dari ekstremum yang melalui titik , t x . Jika , , f x x t diperluas dengan formula Taylor akan diperoleh bentuk: 2 , , , , , , 2 p xx x p f x x t f x p t x p f f t x q − = + − + dengan 1 q x p θ θ = + − , 1. θ Subtitusikan ke persamaan akan diperoleh bentuk sederhana dari fungsi ekstra, yaitu: 2 , , , , , 2 xx x p E x x p t f t x q − = dengan 1 q x p θ θ = + − , 1. θ Supaya x t mencapai minimum atau maksimum, cukup dipenuhi syarat Legendre- Clebsch, yaitu 0 0 E ≥ ≤ yang berarti 0 0 xx f ≥ ≤ atau dalam bentuk yang lebih umum, matriks [ ] xx f merupakan semi-definit positif atau negatif. [Tu, 1993] Syarat Batas dan Syarat Transversalitas Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif max [ ] [ , ] [ , , ] T u t u J u t S x T T f x t u t t dt ∈ = + ∫ 2.12 Terhadap kendala , , , , n x t f x t u t t x t x x t = = ∈ ℜ 2.13 Maka syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh ] [ ] [ x t t T t T S p x H S t δ δ = = − + + = 2.14

a. Masalah Unit Waktu Terbatas