Maka syarat batas menjadi ,
0, [ , ]
0.
t x
t T
p T R H T
R M x T T
=
= +
= =
2.21
b. Masalah Unit Waktu Tak Terbatas
Pada kasus dimana
x T
tak negatif [
0]
i
x T ≥
dengan
i
dan
T
besar dalam hal ini
T → ∞
, syarat batas yang harus dipenuhi adalah:
,
i i
x T p T
≥ dan
i i
p T x T =
dengan fungsi scrap didefinisikan dengan:
1
min , 0
n i
i
S x c
x ≡
∑
di mana
{
, 0,
i i
i
S c x
x x
∂ =
≥ ∂
sehingga syarat batas
i x
p T S
= disederhanakan menjadi:
0,
i i
p T x T
≥ ≥
dan
i i
p T x T =
Syarat batas tersebut dikenal dengan istilah syarat Arrow-Kurz. Walaupun syarat batas ini
sering digunakan untuk menyelesaikan masalah- masalah ekonomi, terdapat juga beberapa
kesulitan dalam penggunaannya.
Syarat Arrow-Kurz untuk waktu takhingga [
0] p
x ∞
∞ = ini dapat digunakan untuk
kasus tertentu dengan syarat batas p x
∂ ≥ . Untuk
t
yang berukuran besar akan berlaku: [
] p t x t
p t x t x t
∂ ≡
− ≥
[ ] [
] p t x t
p t x t ≡
− ≥
lim lim
x t
p t x t p t x t
→∞ →∞
− ≥
Sehingga syarat batas yang dapat digunakan:
lim
t
p t x t
→∞
=
lim
t
p t x t
→∞
[Tu, 1993]
2.3 Kestabilan Titik Tetap Sistem Dinamik
Sistem Dinamik SD adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem
Dinamik dinyatakan sebagai berikut :
dx x
f x dt
= =
;
1 2
[ , ,...,
]
T n
x x x
x =
dengan
f x
merupakan fungsi dari
x
. [Kreyszig, 1993]
Sistem Persamaan Diferensial Mandiri
Misalkan diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde 1 sebagai berikut:
, ,
dx x
f x y dt
dy y
g x y dt
= = = =
2.22 f dan g fungsi kontinu bernilai real dari x
dan y , dengan laju perubahan x dan y dinyatakan dengan fungsi x dan y sendiri serta
tidak berubah terhadap waktu, maka sistem 2.22 merupakan sistem persamaan diferensial
mandiri. [Verhulst, 1990]
Sistem Persamaan Diferensial Linear SPDL
Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai
x a t x g t
+ =
dengan a t dan
g t adalah fungsi dari waktu t . Bila
a t adalah suatu matriks berukuran n n
× dengan koefisien konstan dan g t
dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh bentuk SPDL sebagai berikut
, 0 dx
x Ax b x
x dt
= = +
= 2.23
[Farlow, 1994] Titik Tetap
Diberikan SPD dx
x f x
dt = =
, .
n
x ∈ ℜ Titik
x disebut titik tetap jika f x
= . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan.
[Kreyszig, 1993]
Titik Tetap Stabil
Misalkan x adalah titik tetap sebuah SPD
mandiri dan
x t
adalah kondisi yang memenuhi kondisi awal
x x
=
dengan x
x ≠ . Titik
x dikatakan titik tetap stabil jika
8
untuk sebarang radius
ε
, terdapat
r
sehingga jika posisi awal x memenuhi
| |
x x
r −
, maka solusi
x t
memenuhi |
| x t
x ε
− untuk
t
. [Verhulst, 1990]
Titik Tetap Tidak Stabil Misalkan
x adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan
x t
adalah solusi yang memenuhi kondisi awal
x x
=
dengan x
x ≠ . Titik
x dikatakan titik tetap tidak stabil jika untuk sebarang radius
ε
, terdapat
r
sehingga jika posisi awal
x
memenuhi |
| x
x r
− ,
maka solusi
x t
memenuhi |
| x t
x ε
− untuk paling sedikit satu
t
. [Verhulst, 1990]
Pelinearan Untuk suatu SPD taklinear, analisis
kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai
berikut ,
.
n
x f x x
= ∈ℜ
2.24 Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk
suatu titik tetap x , maka persamaan 2.24
dapat ditulis sebagai berikut .
x Ax
x
ϕ
= +
2.25 Persamaan tersebut merupakan SPD tak linear
dengan A adalah matriks Jacobi,
x x
A Df x
Df x
=
= =
1 1
1
1 n
n n
n
f f
x x
f f
x x
∂ ∂
⎡ ⎤
⎢ ⎥
∂ ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢
⎥ ∂
∂ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ∂
∂ ⎣
⎦ L
M O
M L
11 1
1 n
n nn
a a
a a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
L M
O M
L
dan x
ϕ
suku berorde tinggi yang bersifat lim
x
x ϕ
→
= . Selanjutnya Ax pada persamaan 2.25 disebut pelinearan dari sistem taklinear
persamaan 2.24 yang didapatkan dalam bentuk x
Ax =
2.26 [Tu, 1994]
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah matriks n n
× , maka suatu vektor taknol x di dalam
n
ℜ
disebut vektor eigen dari A , jika untuk suatu skalar
λ , yang disebut nilai eigen dari A berlaku
. Ax
x λ
= 2.27
Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
λ . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n n
× , maka persamaan 2.27 dapat dituliskan sebagai
berikut A
I x
λ
− =
2.28 dengan I matriks identitas. Persamaan 2.27
mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika det
A I
λ
− =
2.29 persamaan 2.29 disebut persamaan
karakteristik. [Anton, 1995]
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan terdapat SPDL x Ax
= dengan
a b
A c
d ⎡
⎤ = ⎢
⎥ ⎣
⎦
memiliki persamaan karakteristik det
A I
λ
− =
2
λ τλ δ
− + =
dengan tr A
a d
τ
= = + dan
det A ad
bc
δ
= =
−
maka diperoleh nilai eigen dari A adalah
2 1,2
1 4
. 2
λ τ
τ δ
= ±
− 2.30
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh pada
persamaan 2.30, sehingga terdapat tiga kasus yang bergantung pada nilai
2
4 τ
δ −
, yaitu
Kasus I
2
4 τ
δ −
Nilai eigen yang diperoleh real dan berbeda
1 2
λ λ
≠ dengan solusi yang dapat dituliskan
kembali sebagai berikut
1 2
1 1 2 2
t t
x t c v e
c v e
λ λ
= +
2.31 dengan
1
,
λ
2
λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A . Vektor
1
v dan
2
v adalah vektor- vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-
nilai eigen tersebut. Pada kasus ini kestabilan titik tetap
mempunyai tiga sifat, yaitu
9
i. Jika nilai eigen negatif
1
λ
dan
2
λ
dengan τ dan
δ , maka dari persamaan 2.31 diperoleh
lim
t
x t
→∞
= , sehingga titik tetapnya bersifat simpul stabil.
Gambar 1
Simpul stabil.
ii. Jika nilai eigen positif
1
λ dan
2
λ
dengan τ dan
δ , maka dari persamaan 2.31 diperoleh
lim
t
x t
→∞
= ∞ , sehingga titik tetapnya bersifat simpul takstabil.
Gambar 2
Simpul takstabil.
iii. Jika nilai eigen
1
λ
dan
2
λ
atau sebaliknya, dengan
τ dan δ maka
persamaan 2.31 diperoleh lim
t
x t
→∞
= untuk
1
λ
dan lim
t
x t
→∞
= ∞ untuk
2
λ
atau sebaliknya, x t akan menuju
nol sepanjang vektor
1
v dan menuju takhingga sepanjang vektor
2
v atau sebaliknya sehingga membentuk asimtot
pada bidang
1
v dan
2
v . Titik tetap ini adalah titik sadel.
Gambar 3
Titik sadel.
Kasus II
2
4 τ
δ −
= Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen
real ganda
1 2
λ λ λ
= =
dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut
1 1 2
1 2
t t
x t c v e
c tv v e
λ λ
= +
+ 2.32
Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai dua sifat, yaitu
i Jika nilai eigen negatif
1
λ
dan
2
λ
maka dari persamaan 2.32 diperoleh
lim
t
x t
→∞
= , sehingga titik tetapnya bersifat stabil.
ii Jika nilai eigen positif
1
λ
dan
2
λ
maka dari persamaan 2.32 diperoleh lim
t
x t
→∞
= ∞ , sehingga titik tetapnya bersifat takstabil.
Kasus III
2
4 τ
δ −
Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen kompleks. Misalkan nilai eigen yang diperoleh
adalah
1,2
i λ
α β
= ± . Sistem yang memiliki
nilai eigen tersebut dapat dilambangkan dengan
x
α β
β α
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− ⎣
⎦
atau dalam bentuk skalar x
x y
y x
y α
β β
α =
+ = −
+ 2.33
Dalam bentuk koordinat polar , r
θ
, cos
x r
θ
= dan
sin y
r
θ
= , sehingga
diperoleh
2 2
2
r x
y =
+ dan tan
y x
θ = . Selanjutnya dengan menurunkan
r
terhadap waktu t , diperoleh
2 2
2 rr
xx yy
= +
jika setiap ruas dikalikan
1 2
maka diperoleh rr
xx yy
= +
2.34
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0 -1.0
-0.5 0.0
0.5 1.0
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0 -1.0
-0.5 0.0
0.5 1.0
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0 -1.0
-0.5 0.0
0.5 1.0
10
dengan mensubtitusi persamaan 2.33 ke dalam persamaan 2.34, maka akan didapatkan
2 2
rr x
x y
y x
y rr
x x x y
y x y y
rr x x
y y rr
x y
α β
β α
α β
β α
α α
α
= +
+ − +
= +
− +
= +
= +
Jadi diperoleh solusi
t
r t r e
α
=
2.35 Jika tan
y x
θ = diturunkan terhadap t , maka akan menghasilkan
2 2
2 2
sec sec
xy yx
x x
xy yx
θ θ θ θ
− =
= −
2.36 Dengan mensubtitusi persamaan 2.33 dan
2 2
2
sec x
r
θ
=
pada persamaan 2.36, akan diperoleh
2 2
2 2
r x
x y
y x
y r
x y
θ β
α α
β θ
β
= − +
− +
= − +
2 2
r r
θ β
θ β
= − = −
Jadi diperoleh solusi t
t
θ β θ
= − + 2.37
Solusi di atas mempunyai tiga kasus yang bergantung pada nilai
α dan β seperti pada persamaan 2.35 dan 2.37, yaitu
i. α
Jika α , maka
r t pada persamaan 2.35 berkurang pada saat t bertambah.
Jika β maka
t
θ
pada persamaan 2.37 akan berkurang pada saat t
bertambah besar, sehinga arah gerak orbitnya akan bergerak searah jarum jam
menuju titik tetap. Jika β , maka arah
gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam menuju titik tetap. Dalam
hal ini titik tetapnya bersifat spiral stabil.
Gambar 4
Spiral stabil.
ii. α =
Jika α = , maka
r t pada persamaan 2.35 tidak berubah sepanjang waktu t .
Jika β maka
t
θ
pada persamaan 2.37 akan membesar dan jika
β maka
t
θ
pada persamaan 2.37 akan mengecil. Karena
r t tetap, maka gerak orbit membentuk suatu lingkaran dengan
titik tetapnya sebagai pusat. Titik tetap tersebut disebut center.
Gambar 5
Center.
iii. α
Jika α , maka
r t pada persamaan 2.35 akan semakin besar pada saat t
bertambah. Jika β maka
t
θ
pada persamaan 2.37 akan berkurang pada
saat t bertambah besar, sehingga arah gerak orbit akan bergerak searah jarum
jam menjauhi titik tetap. Jika β , maka
arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. Titik tetap yang
terjadi bersifat spiral takstabil.
Gambar 6
Spiral takstabil.
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0 -1.0
-0.5 0.0
0.5 1.0
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0 -1.0
-0.5 0.0
0.5 1.0
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0 -1.0
-0.5 0.0
0.5 1.0
[Strogatz, 1994]
Diagram Fase
Suatu persamaan diferensial x
f x =
tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif.
Jika hal ini terjadi maka diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram fase. Diagram
fase akan menggambarkan perubahan kecepatan
x
terhadap x lihat Gambar 7. Jika
x
, maka kurva berada diatas sumbu horizontal, yaitu x naik sepanjang
waktu yang ditujukan oleh arah panah dari kiri ke kanan. Jika
x
, maka kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu x menurun
sepanjang waktu. Pada sumbu horizontal,
x =
yaitu x tidak berubah, merupakan titik ekuilibrium atau titik tetap.
Jika
f x
yaitu
f x
adalah fungsi turun, maka ekuilibrium stabil. Jika
f x
yaitu
f x
adalah fungsi naik, maka ekuilibrium tidak stabil.
Gambar 7
Diagram fase.
[Tu, 1994]
2.4 Teorema Amplop
Kategori