, , ,
, , ,
,
p
E x x p t f x x t
f x p t x
p f =
− −
−
dengan ,
p t x adalah fungsi kemiringan atau slope dari ekstremum yang melalui titik ,
t x . Jika
, , f x x t
diperluas dengan formula Taylor akan diperoleh bentuk:
2
, , , ,
, , 2
p xx
x p f x x t
f x p t x
p f f
t x q −
= +
− +
dengan 1
q x
p
θ θ
= + −
,
1. θ
Subtitusikan ke persamaan akan diperoleh bentuk sederhana dari fungsi ekstra, yaitu:
2
, , , , ,
2
xx
x p E x x p t
f t x q
− =
dengan 1
q x
p
θ θ
= + −
,
1. θ
Supaya x t mencapai minimum atau
maksimum, cukup dipenuhi syarat Legendre- Clebsch, yaitu
0 0 E
≥ ≤
yang berarti 0 0
xx
f ≥
≤ atau dalam bentuk yang lebih
umum, matriks [ ]
xx
f merupakan semi-definit
positif atau negatif. [Tu, 1993]
Syarat Batas dan Syarat Transversalitas
Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif
max [ ]
[ , ] [ , , ]
T u t
u
J u t S x T T
f x t u t t dt
∈
= +
∫
2.12 Terhadap kendala
, , , ,
n
x t f x t u t t
x t x
x t =
= ∈ ℜ
2.13 Maka syarat transversalitas atau syarat batas
diberikan oleh
]
[ ]
[
x t
t T t T
S p
x H S
t δ
δ
= =
− +
+ = 2.14
a. Masalah Unit Waktu Terbatas
Syarat batas untuk masalah unit waktu terbatas secara umum terbagi menjadi dua yaitu
syarat batas untuk masalah waktu terminal akhir
T
tetap dan syarat batas untuk masalah waktu terminal
T
bebas.
i. Waktu Terminal T Tetap
Dengan waktu terminal
T
tetap, maka
T δ =
, dan persamaan 2.14 menjadi [
]
x x t T
S p
δ
=
− = 2.15
Terdapat 3 kasus untuk masalah ini yaitu :
Kasus 1 : State terminal akhir tetap,
T
x T x
= . Untuk kasus ini jelas bahwa
x T
δ
=
dan persamaan 2.14 tidak memberikan informasi apa-apa. Malah informasi
tersebut tidak diperlukan karena konstanta integrasi akan diberikan oleh
T
x T x
= dan oleh
x t x
= .
Kasus 2
: State terminal bebas. Untuk kasus ini, jelas bahwa
x T
δ
≠
sehingga diperoleh
x
p T S
= . Apabila
tanpa
[ , ]
S x T T
, yaitu
[ , ]
S x T T
=
, maka syarat batas adalah
p T =
.
Kasus 3 : State terminal berada pada
manifold
[ , ]
M x T T
=
. Apabila state terminal berada pada
manifold
[ , ]
M x T T
=
dengan
M
merupakan vektor, maka syarat batas menjadi
[ ]
x x t T
R p
δ
=
− = 2.16
dengan
[ , ]
[ , ]
[ , ]
R x T T
S x T T
M x T T
µ
≡ +
2.17 dengan merupakan pengali Lagrange. Jadi
syarat batas atau syarat transversalitas menjadi
x
p T R
= .
ii. Waktu Terminal T Bebas
Syarat batas menjadi
]
[ ]
[
x t
t T t T
R p
x H S
t δ
δ
= =
− +
+ =
2.18 Terdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu:
Kasus 1 : State terminal
T
x T x
= tetap
Jelas bahwa
x T
δ
=
, sehingga diperoleh
t t T
H T S
=
+ =
2.19 Apabila
tanpa fungsi
scrap, maka
0. H T
=
Kasus 2 : State terminal
x T
bebas, yaitu
x T
δ
≠
. Maka syarat batas menjadi [ , ]
x
p T S x T T
= dan
t t T
H T S
=
+ =
2.20 Apabila fungsi scrap tidak ada, maka
p T H T
= = .
Kasus 3 : State terminal bebas, tapi
memenuhi
[ , ]
M x T T
=
.
Maka syarat batas menjadi ,
0, [ , ]
0.
t x
t T
p T R H T
R M x T T
=
= +
= =
2.21
b. Masalah Unit Waktu Tak Terbatas
Pada kasus dimana
x T
tak negatif [
0]
i
x T ≥
dengan
i
dan
T
besar dalam hal ini
T → ∞
, syarat batas yang harus dipenuhi adalah:
,
i i
x T p T
≥ dan
i i
p T x T =
dengan fungsi scrap didefinisikan dengan:
1
min , 0
n i
i
S x c
x ≡
∑
di mana
{
, 0,
i i
i
S c x
x x
∂ =
≥ ∂
sehingga syarat batas
i x
p T S
= disederhanakan menjadi:
0,
i i
p T x T
≥ ≥
dan
i i
p T x T =
Syarat batas tersebut dikenal dengan istilah syarat Arrow-Kurz. Walaupun syarat batas ini
sering digunakan untuk menyelesaikan masalah- masalah ekonomi, terdapat juga beberapa
kesulitan dalam penggunaannya.
Syarat Arrow-Kurz untuk waktu takhingga [
0] p
x ∞
∞ = ini dapat digunakan untuk
kasus tertentu dengan syarat batas p x
∂ ≥ . Untuk
t
yang berukuran besar akan berlaku: [
] p t x t
p t x t x t
∂ ≡
− ≥
[ ] [
] p t x t
p t x t ≡
− ≥
lim lim
x t
p t x t p t x t
→∞ →∞
− ≥
Sehingga syarat batas yang dapat digunakan:
lim
t
p t x t
→∞
=
lim
t
p t x t
→∞
[Tu, 1993]
2.3 Kestabilan Titik Tetap Sistem Dinamik
