[Strogatz, 1994]
Diagram Fase
Suatu persamaan diferensial x
f x =
tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif.
Jika hal ini terjadi maka diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram fase. Diagram
fase akan menggambarkan perubahan kecepatan
x
terhadap x lihat Gambar 7. Jika
x
, maka kurva berada diatas sumbu horizontal, yaitu x naik sepanjang
waktu yang ditujukan oleh arah panah dari kiri ke kanan. Jika
x
, maka kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu x menurun
sepanjang waktu. Pada sumbu horizontal,
x =
yaitu x tidak berubah, merupakan titik ekuilibrium atau titik tetap.
Jika
f x
yaitu
f x
adalah fungsi turun, maka ekuilibrium stabil. Jika
f x
yaitu
f x
adalah fungsi naik, maka ekuilibrium tidak stabil.
Gambar 7
Diagram fase.
[Tu, 1994]
2.4 Teorema Amplop
Envelope Theorem dalil amplop adalah suatu dalil yang digunakan untuk memecahkan
permasalahan maksimisasi di dalam ekonomi mikro.
Suatu masalah maksimisasi sembarang di mana fungsi objektif f
bergantung pada beberapa parameter a :
max ,
x
M a f x a
= di mana fungsi
M a
merupakan nilai maksimum dari fungsi objektif f sebagai suatu
fungsi dari parameter a . Anggap x a adalah
nilai dari x yang yang dibatasi oleh parameter a , sehingga
, M a
f x a a =
. Dalil amplop mengatakan bagaimana
M a
berubah ketika parameter a berubah,yaitu :
,
x x a
dM a f x a
da a
=
∂ =
∂
dengan turunan
M
terhadap a ditentukan oleh turunan parsial dari ,
f x a terhadap a , dengan nilai x tetap, kemudian mengevaluasi pilihan
optimal x . Batas vertikal di sebelah kanan dari
turunan parsial menandakan bahwa akan dievaluasi pada
x x a
=
. [Nicholson, 1991]
BAB III MODEL UMUM PERIKLANAN
3.1 Model Umum
Masalah pokok yang harus diperhatikan pada kegiatan pemasaran adalah periklanan.
Dalam kegiatannya, ketika sebuah perusahaan membuat iklan maka yang diharapkan adalah
bagaimana memaksimumkan keuntungan yang diperoleh lewat daya beli masyarakat dengan
memperhatikan kendala-kendala yang ada. Untuk itu diperlukan suatu model matematik
yang dapat membantu perusahaan dalam membuat sebuah kebijakan untuk
memaksimumkan keuntungan. Model yang digunakan adalah model periklanan dinamik
dynamic advertising models. Model periklanan dinamik dimodelkan oleh Sethi 1977a yang
lima belas tahun kemudian diperbaharui oleh Feichtinger, Hartl, dan Sethi 1994. Model
periklanan dinamik merupakan aplikasi dari prinsip maksimum Pontryagin dalam bidang
ekonomi dan manajemen. Masalah utama dalam model ini adalah bagaimana menentukan biaya
iklan optimum agar perusahaan dapat memperoleh keuntungan yang maksimum
dengan mempertimbangkan citra dan harga sebagai kendala.
Dua model dari periklanan dinamik adalah model periklanan kapital advertising capital
model dan model respons penjualan iklan sales-advertising response model. Model
periklanan kapital, dibahas oleh Nerlove dan
Arrow 1962, merupakan model yang memandang iklan sebagai sebuah investasi pada
citra goodwill perusahaan, sedangkan model respons penjualan iklan, dibahas oleh Vidale
dan Wolfe 1957, merupakan model yang menekankan hubungan antara iklan dan
perubahan volume penjualan.
Karya tulis ini akan membahas model periklanan kapital yang dikembangkan dengan
dua jenis iklan yaitu iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama dan iklan yang ditujukan untuk
pelanggan baru. Iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama bertujuan untuk mencegah
pelanggan tersebut melupakan produknya dan berpindah ke merek lain, sedangkan iklan yang
ditujukan untuk pelanggan baru bertujuan untuk menyediakan informasi lebih banyak tentang
garis besar sebuah produk sehingga dapat meyakinkan pelanggan baru agar
mengkonsumsi produknya.
Variabel yang digunakan meliputi G , Q , π ,
R G , ,
C A N , N Q ,
, A Q G , a , v ,
N
η
, dan A
δ
. G adalah goodwill atau citra yang dimiliki oleh sebuah perusahaan. Q
adalah shadow price atau perkiraan harga dari suatu produk yang akan diiklankan. Keuntungan
π merupakan selisih dari total pendapatan suatu perusahaan yang bergantung pada citra
R G dan total pengeluaran perusahaan dalam membuat sebuah iklan ,
C A N , dengan ,
, C A N
aN Q vA G Q
= +
di mana N Q
adalah biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru yang bergantung pada
shadow price
Q
. ,
A Q G adalah biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk
pelanggan lama yang bergantung pada shadow price Q dan citra perusahaan G . Serta
a
dan v adalah variabel yang menunjukkan
banyaknya produk yang diiklankan. Keuntungan π dapat ditulis sebagai :
. R G
aN vA
π = −
− 3.1
Dengan memperhatikan permasalahan ini sebagai permasalahan kontrol optimum yang
kontinu sepanjang waktu, maka waktu t yang dipilih ada pada selang [0,
∞ dengan kendala tingkat perubahan citra perusahaan
G
sama dengan ukuran keefektifan sebuah iklan dalam
menarik pelanggan baru N
η
dikurangi dengan penyusutan citra perusahaan G karena
penurunan pelanggan lama A
δ
. Pada karya tulis ini yang akan diperhatikan
adalah nilai sekarang atau present value dari suatu arus kas yang terus-menerus dalam hal ini
pendapatan yang bergantung pada citra sebuah perusahaan, maka present value dari
keuntungan perusahaan adalah
rt
e
π
−
, di mana
r
adalah tingkat suku bunga. Bentuk masalah memaksimumkan
keuntungan perusahaan menjadi:
,
max [
]
rt N A
e R G
aN vA dt
∞ −
− −
∫
3.2 dengan kendala:
, G
N A G
η δ
= −
3.3
0, A
≥
3.4
0. N
≥
3.5
3.2 Asumsi Berdasarkan formulasi masalah itu diberikan
