sehingga determinan matriks Jacobi bisa bernilai positif maupun negatif. Hal ini mengakibatkan
kesetimbangan stabil dan kesetimbangan takstabil dapat terjadi.
4.3 Analisis Laju Penurunan Pelanggan Lama
A
δ
Laju penurunan pelanggan lama adalah fungsi turun dan cekung ke atas. Oleh karena itu
diasumsikan laju penurunan pelanggan lama sebagai fungsi eksponensial dan fungsi pangkat.
i. Fungsi
A
δ
adalah Fungsi Eksponensial
Misalkan
A
A e
γ
δ
−
= dengan
0. γ 4.17
Sehingga apabila diturunkan akan menghasilkan
,
A
A e
γ
δ γ
−
= −
dan
2
.
A
A e
γ
δ γ
−
=
Proposisi 2
Pada kasus di mana
A
A e
γ
δ
−
= dengan
γ , sebuah titik tetap merupakan titik sadel det
J jika fungsi Hamilton
adalah cekung ke bawah di G . Sebaliknya, jika titik tetap tidak stabil det
J maka
fungsi Hamilton merupakan fungsi cekung ke atas.
Bukti: Berdasarkan persamaan 4.17, diperoleh
2 2
2
[ ] [
]
A A
A
e e
e
γ γ
γ
δ γ
δ δ
γ
− −
−
− =
= =
. 4.18 Substitusi persamaan 4.18 ke turunan
kedua fungsi Hamilton pada Proposisi 1, sehingga turunan keduanya menjadi
2 2
c
H Q
R G G
G δ
∂ =
+ ∂
. Fungsi Hamilton akan cekung ke bawah di
, G
jika Q
R G G
δ +
. Dengan mensubstitusikan persamaan 4.18
ke determinan Jacobi 4.16, diperoleh det
2 G R
J r
r Q
δ δ
δ δ
δ = −
+ +
+ +
2 2
[ ] [ ]
R G
Q
δ η η
η η
− −
2 2
2
[ ] [ ]
G R R
Q G
Q
δ η η
δ δ
η η
= +
− −
2
[ ] .
Q G
R G
Q Q
δ δ
η η
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= +
− ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
4.19 Berdasarkan asumsi 3.6, 3.7, dan 3.8
jelas bahwa
2
[ ] G
Q Q
δ η
η
⎡ ⎤
− ⎢
⎥ ⎣
⎦
. Maka terbukti bahwa det
J jika
Q R G
G δ
+ , begitu pula sebaliknya,
det J
jika Q
R G G
δ +
.
ii. Fungsi
A
δ
adalah fungsi pangkat
Misalkan
1
A A
γ
δ
−
= + dengan
0. γ 4.20
Sehingga apabila diturunkan akan menghasilkan
1
1 ,
A A
γ
δ γ
− −
= − +
dan
2
1 1
.
A A
γ
δ γ
γ
− −
= +
+
Proposisi 3
Pada kasus di mana
[1 ]
A A
γ
δ
−
= + dengan
γ , sebuah titik tetap merupakan titik sadel det
J jika fungsi Hamilton
adalah cekung ke bawah di G . Sebaliknya, jika titik tetap tidak stabil det
J maka
fungsi Hamilton merupakan fungsi cekung ke atas.
Bukti: Berdasarkan persamaan 4.20, diperoleh
2 1 2
2
[ ] [
[1 ]
] 1
[1 ][1
] A
A
γ γ
δ γ
γ δ δ
γ γ
γ
− − − −
− +
= =
+ +
+
4.21 Substitusi persamaan 4.21 ke turunan
kedua fungsi Hamilton pada Proposisi 1, sehingga turunan keduanya menjadi
2 2
[ 1]
c
H Q
R G G
G
γ δ γ
∂ =
+ +
∂
. Fungsi Hamilton akan cekung ke bawah di
, G
jika [
1] Q
R G G
γ δ γ
+ +
. Dengan mensubstitusikan persamaan 4.21
ke determinan Jacobi 4.16, diperoleh
det [
] [
2 ] 1
G R J
r r
Q
γ δ
δ δ
δ γ
⎡ ⎤
= − + +
+ +
⎢ ⎥
+ ⎣
⎦
2 2
[ ] [ ]
1 R
G Q
γ δ η η
γ η
η
− −
+
2
[ ] 1
[ 1]
Q G
R G
Q Q
γ δ δ γ
η γ
γ η
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= +
− ⎢
⎥ ⎢
⎥ +
+ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
1 1
r
δ δ
γ γ
⎡ ⎤
− +
⎢ ⎥
+ +
⎣ ⎦
4.22 [Penurunan 4.22 dapat dilihat pada
Lampiran 2]. Berdasarkan asumsi 3.6, 3.7, dan 3.8
jelas bahwa
2
[ ] [
1] G
Q
δ γ η
γ λη
⎡ ⎤
− ⎢
⎥ +
⎣ ⎦
. Maka terbukti bahwa det
J jika
[ 1]
Q R G
G γ δ
γ +
+ .
4.4 Analisis Model Periklanan Misalkan
A
A e
γ
δ
−
= dengan
γ , 4.17 R G
G
α
= dengan 0
1 α
, 4.23 dan
N N
β
η =
dengan 0 1
β . 4.24
Kondisi prinsip maksimum Pontryagin dapat diselesaikan sebagai berikut
Dari persamaan 4.5 untuk kontrol periklanan yang ditujukan bagi pelanggan baru,
N N Q
= ,
, ,
,
c
H A N G Q
N ∂
= ∂
0. a Q
N
η
− + =
4.5 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.24 ke
persamaan 4.5, diperoleh
1
a Q N
β
β
−
− + =
1 1
. Q
N a
β
β
−
⎡ ⎤
⇔ = ⎢
⎥ ⎣
⎦ 4.25
Gambar 11
Grafik hubungan
N
dan
Q dengan
3 a
= dan
0.9 β =
.
Gambar 11 menunjukkan bahwa besarnya
biaya pembuatan iklan untuk pelanggan baru N Q yang bergantung pada shadow price Q
akan selalu bernilai positif. Hal ini berarti bahwa ketika shadow price meningkat maka
biaya pembuatan iklan untuk pelanggan baru juga akan meningkat.
Dari persamaan 4.2 untuk kontrol periklanan yang ditujukan bagi pelanggan lama,
, A
A Q G =
, ,
, ,
c
H A N G Q
A ∂
= ∂
0. v Q
A G
δ
− − =
4.2 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.17 ke
persamaan 4.2, diperoleh
A
v Q e G
γ
γ
−
− + =
A
v e
Q G
γ
γ
−
⇔ =
4.26 1
ln .
Q G A
v γ
γ ⇔ =
4.27 Maka besarnya biaya pembuatan iklan untuk
pelanggan lama akan selalu bernilai positif atau paling tidak sama dengan nol, ,
A G Q ≥ ,
jika ln
Q G v
γ ≥
1 Q G
v γ
≥ .
v Q
G γ
≥ 4.28
0.0 0.5
1.0 1.5
2.0 2.5
3.0 3.5
0.0 0.1
0.2 0.3
0.4 0.5
0.6
Shadow Price HQL
B ia
ya ikl
an un
tu k
pe la
ngga n
ba ru
H
N
L
18
Gambar 12
Grafik hubungan
A
dan
Q dengan
1 v
=
, 3
γ = , dan
1 G
=
. Gambar 12
menunjukkan bahwa besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama
, A Q G yang bergantung pada shadow price
Q merupakan fungsi naik dan cembung ke bawah. Hal ini berarti bahwa ketika shadow
price meningkat maka biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama juga akan meningkat.
Gambar 13
Grafik hubungan
A
dan
G dengan
1 v
=
, 3
γ = , dan 2.64
Q =
. Gambar 13
menunjukkan bahwa besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama
, A Q G yang bergantung pada citra perusahaan
G
juga merupakan fungsi naik dan cembung ke bawah. Hal ini berarti bahwa ketika citra
perusahaan meningkat maka biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama juga akan semakin
meningkat.
Pada pembahasan selanjutnya akan dibedakan untuk
A dan
A = .
i. Analisis untuk
