2. foreign � = foreign = USA
�
0 = 1
�
1, =
�
1, =
�
= 1 +
�
. Gunakan
kembali gagasan
replikasi portofolio dan konsep tidak ada peluang
arbitrase dalam rumus
umum harga menggunakan binomial satu langkah. Ambil
� dalam IDR dan
�
1
dalam USD. Sehingga pada waktu
= 0, portofolio mempunyai nilai dalam IDR
0 = � +
�
1
0 . Pada waktu
= 1, portofolio ini akan menjadi dalam IDR
1 = � +
�
1 �
1 kemudian pilih
� dan
�
1
sehingga 1 = �
+ �
1 �
1 . Persamaan di atas sama seperti dua
persamaan berikut ini:
1, = � +
�
1 �
1, 1, = �
+ �
1 �
1, dan jika
1, ≠ 1, , maka diperoleh solusi untuk
� dan
�
1
adalah: �
1
= 1
�
1, − 1, 1, − 1,
� =
1 1, 1, − 1, 1,
1, − 1, sehingga diperoleh
0 = 1
� 1, + 1 − � 1, dengan
� =
�
0 − 1, 1, − 1,
1 − � =
1, −
�
1, − 1, .
Akibatnya, untuk
� 1 model exchange rate
harus memenuhi 1,
�
0 1, seperti yang telah diasumsikan bahwa
1, 1, .
4.3 Forward Exchange Rate Contract
Model exchange rate ini dapat juga digunakan untuk forward contract disebut
forward exchange rate contract. Seperti
halnya forward contract, forward exchange rate contract
terdapat long contract dan short contract
, tergantung investor ingin membeli atau menjual. Jika investor
memilih untuk mengambil long forward exchange rate contract
maka investor mempunyai kewajiban untuk membeli uang
sebanyak F USD dengan exchange rates yang telah ditentukan yaitu sebesar K pada
waktu T, tidak memperhatikan besarnya exchange rate
pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal sehingga hasil yang
diperoleh pada waktu T adalah [ −
�]. Rumus untuk forward exchange rate contract
dirumuskan berdasarkan teorema berikut.
Teorema 4.3 Misalkan nilai exchange rate X pada waktu
t
= 0 adalah X0 dan pada waktu t = T adalah XT, dengan nilai bunga domestic
dan bunga foreign
�
. Pada waktu t = 0,
nilai forward exchange rate contract adalah nol, sehingga forward rate K dirumuskan
� =
�
0 . K
disebut T-forward exchange rate.
Bukti Pembuktian rumus dapat menggunakan
model dependent dan model independent.
Model dependent
Menggunakan persamaan awal yaitu: =
1 � 1, + 1 − � 1,
persamaan di atas akan menjadi:
0 = 1
� ∙ 1, − ∙ � + 1 − � ∙ 1, − ∙ � =
1 � 1, + 1 − � 1, ∙ −
� ∙
di mana
� 1, + 1 − � 1, =
�
0 − 1, 1, 1, − 1,
+ 1, −
�
0 1, 1, − 1,
=
�
sehingga persamaan sebelumnya menjadi 0 =
1
�
0 ∙ − �
∙
0 =
�
− �
∙ dan diperoleh
�
− �
= 0. � =
�
0 . ∎
Model independent
Pertama, misalkan �
�
di mana K adalah T-forward rate. Pada waktu = 0, pinjam
�
IDR, simpan 1
�
USD mempunyai nilai yang sama dengan
�
IDR di bank Amerika. Masukkan
T-forward contract
untuk menjual 1 USD untuk K IDR pada waktu T.
Posisi yang diperoleh adalah
�
− 1
�
∙ 0 + 0 = 0 IDR. Pada
waktu = ,
kembalikan pinjaman, ambil 1 USD di bank, gunakan
forward contract untuk mengubah menjadi
K IDR. Posisi yang diperoleh adalah
−
�
∙ +
� 0 IDR sehingga diperoleh profit pada waktu =
dengan tidak ada pengeluaran pada waktu = 0. Ini merupakan suatu peluang
arbitrase yang berlawanan dengan aksioma dasar yaitu no arbitrage axiom.
Kedua, misalkan
�
�
di mana K adalah T-forward rate. Argumen yang sama digunakan. Pada waktu
= 0, pinjam 1
�
USD, ubah menjadi IDR dan investasikan di bank Indonesia.
Masukkan T-forward
contract untuk
membeli 1 USD untuk K IDR pada waktu T. Posisi yang diperoleh adalah
−
�
+ 1
�
∙ 0 + 0 = 0 IDR.
Pada waktu = , ambil uang di bank, gunakan forward contract untuk membeli 1
USD untuk K IDR, kembalikan pinjaman. Posisi yang diperoleh adalah
�
∙ − � 0 IDR.
Sekali lagi, diperoleh profit pada waktu = tanpa ada pengeluaran pada waktu
= 0. Sehingga merupakan suatu peluang arbitrase yang berlawanan dengan aksioma
dasar. ∎
Sekarang akan
digunakan model
binomial multiperiode. Hal yang tidak berbeda jauh dengan forward conract dalam
multi periode. Pada state n,j untuk exchange
rate dilambangkan
Xn,j. , = 1 + , adalah nilai pada
waktu = + 1 jika investasikan 1 IDR di
bank pada = .
�
, = 1 +
�
, adalah nilai pada waktu
= + 1 jika
investasikan 1 USD di bank pada = .
Didefinisikan , =
+ 1, + 1 ,
, = + 1,
,
� , = ,
�
, − ,
, − , .
Sekali lagi dibutuhkan
� , 1 untuk semua
, untuk menghindari peluang arbitrase.
Di tulis � = �0,0 untuk menegaskan
fakta bahwa � disetujui pada waktu = 0.
Long forward exchange rate contract pada
�, bernilai �, − �0,0. Dengan � 0, � adalah nilai pada waktu = 0 jika
pada waktu t = N terdapat 1 IDR dan �
�
0, � adalah nilai pada waktu = 0 jika
pada waktu t = N terdapat 1 USD maka nilai di atas pada waktu = 0 adalah
0,0 �
�
0, � − � 0,0 � 0, �.
Nilai pada waktu = 0 yaitu pada 0,0
haruslah 0, sehingga � 0,0 =
�
�
0, � � 0, �
0. 4.3 Dengan nilai
� 0,1 = 1
, dan �
�
0,1 = 1
�
persamaan 4.3 terpenuhi untuk model binomial satu langkah.
Nilai pada , dari long forward contract
yang dimulai pada waktu = 0
sampai waktu = � adalah
, = , − �
�
0, � � 0, �
�
�
� − � � −
. di mana
� � − adalah nilai pada waktu
= dengan keadaan jika pada =
+ setelah periode = terdapat 1 IDR dan
�
�
� − adalah nilai pada waktu
= dengan keadaan jika pada =
+ setelah periode = terdapat 1 USD. Secara umum, jika
� , adalah nilai forward exchange rate contract dari
pada waktu = � yang dimulai pada waktu
= 0 � , =
�
�
� − � � −
, sehingga jika =
�, maka � �, = �, .
Berdasarkan model binomial multiperiode diketahui bahwa
�
�
, ≡ �
�
� − �
�
, ≡ �
�
� − maka
� , = �
�
, � ,
, . Dalam tugas akhir ini nilai forward
exchange rate contract yang akan dicari
adalah nilai forward exchange rate contract pada waktu t = 0. Persamaan untuk forward
exchange rate contract dengan waktu ke-n
diberikan berdasarkan teorema berikut.
Teorema 4.4 Misalkan nilai exchange rate X dengan nilai
pada waktu = 0 adalah X0,0 terkadang ditulis X0 dan pada waktu = adalah
X
T. Misalkan bunga domestic dan
bunga foreign
�
. Pada waktu = 0, nilai
forward exchange rate contract adalah nol,
sehingga forward rate n-step K adalah � 0,0 = 0,0
1 … − 1
� �
1 …
�
− 1 dengan asumsi
, = , − 1 =
= , 0 =
�
, =
�
, − 1 = =
�
, 0 =
�
. 4.4
Bukti: Lampiran 10
V APLIKASI MODEL BINOMIAL FORWARD CONTRACT
DAN EXCHANGE RATE FORWARD CONTRACT
PADA TRANSAKSI LUAR NEGERI PT BINA PERTIWI
Pada bab ini akan dibahas aplikasi model binomial forward contract dan forward
exchange rate contract pada transaksi luar
negeri PT Bina Pertiwi periode Januari- September 2012.