III MODEL BINOMIAL UNTUK CONTINGENT CLAIM
Dalam tugas akhir ini akan dibahas model binomial untuk menentukan harga contingent
claim yang dijelaskan oleh Van der Hoek
Elliott 2006. Model ini dapat dikerjakan dengan mudah karena berisi sedikit parameter
dan struktur setiap node dalam tree diasumsikan sederhana.
3.1 Model Binomial satu langkah
Model binomial sederhana satu langkah dapat digunakan untuk menentukan harga
untuk contingent claim hari ini. Dalam model ini terdapat dua waktu, untuk memudahkan
akan disebut = 0 dan = 1. Waktu pada
= 0 menunjukkan waktu sekarang, dan waktu
pada = 1 menunjukkan
waktu mendatang. Dilihat dari
= 0, terdapat dua keadaan di saat = 1 yaitu upstate dan
downstate .
Tradeable asset dapat diartikan bahwa
aset dapat dibeli atau dijual berapapun banyaknya dan kapanpun permintaannya.
Diasumsikan untuk setiap aset bahwa harga membeli dan menjual adalah sama pada waktu
yang sama.
Dalam model yang digunakan terdapat dua tradeable asset
, yaitu: 1.
Aset berisiko 2.
Aset tidak berisiko.
Aset berisiko
Pada waktu = 0, aset berisiko S
mempunyai nilai yang diketahui 0 0.
Pada = 1, aset berisiko memiliki dua
kemungkinan nilai yang berbeda karena nilainya tidak pasti atau berisiko, yang
dilambangkan 1,
dan 1, .
Diasumsikan bahwa 1, 1, . Contoh
aset berisiko adalah saham, logam mulia, valuta asing.
Gambar 3.1 Binomial tree satu langkah. Aset tidak berisiko
Pada waktu = 0, aset tidak berisiko B
mempunyai nilai 0 = 1. Pada waktu =
1, aset tidak berisiko mempunyai nilai yang sama di kedua keadaan pada
= 1 karena tidak berisiko, sehingga ditulis
1, = 1, = = 1 + . Biasanya
1 dan 0, di mana
adalah bunga bank. Biasanya diasumsikan bahwa
1, 0 1, . 3.1
Contoh aset tidak berisiko adalah obligasi dan deposito.
Relative pricing
Misalkan 1 adalah portofolio yang
akan dibayar pada waktu = 1. Pada model, 1 dapat mempunyai dua nilai yaitu
1, dan 1, . Akan ditentukan 0, harga X pada waktu = 0. Nilai 1 tidak
pasti karena 1 adalah fungsi dari 1
yang tidak pasti, sehingga X adalah aset yang nilainya tergantung nilai S, X merupakan
derivative atau contingent claim.
Diasumsikan bahwa dengan memiliki model S, dapat ditentukan 0 menggunakan
relative pricing.
Terdapat 2 tahap dalam relative pricing 1.
Tentukan � dan
�
1
sehingga 1 = �
1 + �
1
1 . 3.2 Interpretasi sebagai berikut:
Didefinisikan bahwa �
mewakili banyaknya aset tidak berisiko pada
= 0 dan �
1
mewakili banyaknya aset berisiko pada = 0. Pada
= 1, tingkat kepemilikan tidak berubah, tetapi underlying assets mengubah
nilai menjadi �
1 + �
1
1. Kedua sisi adalah suatu besaran yang acak dan
persamaan 3.2 berarti 1, = �
+ �
1
1, 3.3 1, = �
+ �
1
1, . 3.4 Pemecahan 3.3 dan 3.4 memberikan:
�
1
= 1, − 1,
1, − 1, 3.5
dan �
= 1, − �
1
1,
= 1, −
1, − 1,
1, − 1, 1,
= 1, 1, − 1, 1,
1, − 1, 3.6
2.
Menggunakan one price theorem , yang
merupakan akibat dari no arbitrage axiom
harus diperoleh 0 = �
+ �
1
0 . 3.7 Dengan mensubtitusikan nilai
� dan
�
1
persamaan 3.5 dan 3.6, maka nilai pada persamaan 3.7 akan menjadi sebagai
berikut
0 = � +
�
1
0 = 1, 1, − 1, 1,
1, − 1, +
1, − 1, 1, − 1,
= 1, 0 − 1, + 1, 1, − 0
1, − 1, =
1 � 1, + 1 − � 1,
di mana � =
0 − 1, 1, − 1,
0 3.8 1
− � = 1, − 0
1, − 1, sehingga
0 = 1
� 1, + 1 − � 1, . 3.9
�isk neutral probability Untuk semua nilai 0
1, didefinisikan 1 sebagai berikut:
1 = 1, + 1 − 1, , 3.10
di mana adalah peluang dilihat pada = 0 akan terjadi upsate pada = 1. Misalkan
adalah tradeable asset di mana nilai pada = 0 adalah 0 dan nilai pada = 1 adalah
1, atau 1, tergantung apakah terjadi upstate
atau downstate. Berdasarkan rumus umum harga dalam model binomial satu
langkah 0 =
1 � 1, + 1 − � 1,
= 1
�
1 . 3.11 Didefinisikan return untuk aset X
= 1 − 0
, 3.12
di mana dapat ditulis =
1, − 0 =
1, − 0 .
Lema 1
. Untuk semua 0 ,
1, berlaku −
= −
1, − 1, .
3.13
�
= = − 1. 3.14 Bukti: Lampiran 1
Akibat 1
− =
− � 1, − 1,
. 3.15
− =
− 1 1, − 1,
. 3.16
− =
1, − 1, .
3.17 Bukti: Lampiran 2
Definisi 22 Diberikan 0
1 dan , adalah dua
tradeable asset . Nilai kedua aset tersebut pada
waktu = 0 adalah
0 dan 0. Pada
waktu = 1 pada keadaan atau nilai
kedua aset tersebut adalah 1, , 1,
atau 1, , 1, .
Kemudian didefinisikan
,
sebagai
,
= ,
Dari persamaan 1.1 diperoleh
,
=
�
−
�
− 3.18 =
− 3.19
Lema 2
,
= 1 −
1, −
1, 1,
− 1,
. 3.20
Bukti: Lampiran 3 Akibat 2
Ragam dari adalah �
2
≡
,
= 1 −
1, −
1,
2
. 3.21
Asumsikan bahwa . Dengan
asumsi ini diperoleh lema berikut. Lema 3
Diberikan 0 1, maka
− = − �
1 − �
.
3.22 Bukti: Lampiran 4
Persamaan 3.22 menjelaskan tentang return yang diharapkan yang berasal dari aset
berdasarkan volatilitas ragam. Dikatakan bahwa aset tersebut dikatakan berisiko jika
nilai volatilitasnya � besar. Berdasarkan
persamaan 3.22 jika nilai volatilitasnya adalah nol, maka return yang diharapkan
hanya bunga bebas risiko, tetapi ketika volatilitasnya tidak sama dengan nol akan
diperoleh return yang lebih besar. Hasil ini sesuai dengan kenyataan bahwa jika ingin
mendapatkan return yang tinggi maka harus menanggung lebih banyak risiko. Akan tetapi,
terdapat satu situasi di mana hasil tersebut tidak berjalan, yaitu ketika
= �. Pada
keadaan ini return yang diharapkan akan selalu bernilai apapun risiko yang diperoleh.
Jika investor secara subjektif berpikir peluang besar terjadi pada waktu = 1 sama
dengan
�, maka investor tersebut tidak peka terhadap risiko sehingga investor tersebut
termasuk risk-neutral. 3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein CRR
Model CRR
adalah model
untuk menentukan rumus umum harga contingent
claim di mana harga aset di masa mendatang
T akan naik atau turun dengan konstan yaitu sebesar
atau pada setiap step waktu.
Untuk menentukan rumus umum harga contingent claim
dengan binomial satu langkah menggunakan model CRR, notasi-
notasi yang dipakai adalah: 0 = 0
1, = , dengan peluang 1, = , dengan peluang 1 −
.
j
1 j
j
1 j
2
j
t
1 t
Gambar 3.2 Binomial tree satu langkah dalam
model CRR. diperoleh
� = 0 − 1,
1, − 1, =
− −
3.23 1
− � = 1, − 0
1, − 1, =
− −
3.24 sehingga rumus umum harga untuk contingent
claim dalam model binomial satu langkah
menggunakan model CRR adalah 0 =
1 −
− 1, +
− −
1, . 3.25
[Van der Hoek Elliott 2006] Return
untuk aset dalam model binomial satu langkah, dapat ditulis
1 = − 1 − 1
dengan peluang dengan peluang 1
− .
3.26 Bukti: Lampiran 5
3.3 Model Binomial Multiperiode
