j
1 j
j
1 j
2
j
t
1 t
Gambar 3.2 Binomial tree satu langkah dalam
model CRR. diperoleh
� = 0 − 1,
1, − 1, =
− −
3.23 1
− � = 1, − 0
1, − 1, =
− −
3.24 sehingga rumus umum harga untuk contingent
claim dalam model binomial satu langkah
menggunakan model CRR adalah 0 =
1 −
− 1, +
− −
1, . 3.25
[Van der Hoek Elliott 2006] Return
untuk aset dalam model binomial satu langkah, dapat ditulis
1 = − 1 − 1
dengan peluang dengan peluang 1
− .
3.26 Bukti: Lampiran 5
3.3 Model Binomial Multiperiode
3.3.1 Binomial tree dua langkah
Dalam model binomial dua langkah terdapat 3 keadaan pada = 1.
Gambar 3.3 Binomial tree dua langkah.
Pada = 0 yaitu node 0,0 harga aset
bernilai 0,0 = 0.
Pada = 1, harga aset akan bernilai
1, di mana dapat ditulis 1,1 dengan peluang dan
1, di mana dapat di tulis
1,0 dengan peluang 1
− .
Pada = 2, harga aset akan menjadi 3 keadaan
yaitu 2, , = 2,2 ,
2, , = 2,1 , dan
2, , = 2,0 dengan peluang masing-masing
adalah
2
, 2 1 − , dan 1 −
2
. Model binomial dua langkah dapat
dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi
– notasi yang digunakan adalah: 0,0 = 0
1,1 = 1,0 =
2,2 =
2
2,1 = 2,0 =
2
0 . Gambar model binomial dua langkah
menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.4 di mana nilai 0 adalah 1 untuk
memudahkan perhitungan.
Gambar 3.4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR.
Return 2 untuk aset , dapat ditulis
2 = − 1 − 1
dengan peluang dengan peluang 1
− .
3.27 Bukti: Lampiran 6
Return ini sama dengan return yang
diperoleh pada model binomial satu langkah karena return dihitung berdasarkan pada harga
aset sebelumnya.
j=2 j=1
j=0
3.3.2 Binomial tree tiga langkah
Dalam model binomial tiga langkah terdapat 4 keadaan pada = 1 .
Gambar 3.5 Binomial tree tiga langkah.
Pada = 0 yaitu node 0,0 harga aset
bernilai 0,0 = 0.
Pada = 1, harga aset akan bernilai
1, di mana dapat ditulis 1,1 dengan peluang dan
1, di mana dapat di tulis
1,0 dengan peluang 1
− .
Pada = 2, harga aset akan menjadi 3 keadaan
yaitu 2, , = 2,2 ,
[ 2, , = 2, , = 2,1 ],
dan 2, , = 2,0
dengan peluang
masing-masing adalah
2
, 2 1 − ,
dan 1 −
2
.
Pada = 3, harga aset akan menjadi 4 keadaan
yaitu 3, , , = 3,3 ,
3, , , = 3, , , = 3, , , = 3,2 , 3, , , =
3, , , = 3, , , = 3,1 , dan 3, , , = 3,0 dengan peluang
masing-masing adalah
2
, 3
2
1 − , 3 1 −
2
dan 1 −
3
. Model binomial tiga langkah dapat
dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi
– notasi yang digunakan adalah: 0,0 = 0
1,1 = 1,0 =
2,2 =
2
2,1 = 2,0 =
2
3,3 =
3
3,2 =
2
3,1 =
2
3,0 =
3
0 . Gambar model binomial tiga langkah
menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.6 di mana nilai 0 adalah 1 untuk
memudahkan perhitungan.
Gambar 3.6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR.
Return 3 untuk aset , dapat ditulis
3 = − 1 − 1
dengan peluang dengan peluang 1
− .
3.28 Bukti: Lampiran 7
Return ini sama dengan return yang
diperoleh pada model binomial satu langkah dan model binomial dua langkah karena
return dihitung berdasarkan pada harga aset
sebelumnya. 3.3.3 Model binomial
n-langkah
Setiap node dalam tree ditulis , dimana k melambangkan langkah
= 0, 1, 2, 3,
… . dan penulisan j dalam node melambangkan keadaan
= 0, 1, 2, 3, … , .
Pada langkah ke k terdapat + 1 keadaan.
Jika berada pada node , , maka node yang mungkin adalah salah satu dari + 1, + 1
atau + 1, .
Gambar 3.7 Binomial tree n-langkah.
j=1 j=0
j=2 j=3
1 t
t
1 t
t
peluang peluang
peluang peluang
Untuk setiap keadaan, peluang
masing –masing keadaan sama dengan
1 −
−
. Model
binomial n
-langkah dapat
dijelaskan menggunakan model CRR. Dalam n-step tree
untuk harga aset setiap keadaan atau jalur yang melewati tree di mana
perubahan harga secara tepat j naik ke atas dan n-j turun ke bawah menghasilkan nilai
aset 0
−
pada waktu n. Untuk setiap keadaan, peluang masing–masing
keadaan sama dengan 1
−
−
, sehingga dapat ditulis
, = 0
−
dengan peluang 1 −
−
untuk setiap = 0, 1, 2, … , . Nilai aset
pada waktu adalah variabel acak diskret dengan + 1 nilai aset yang berbeda.
Distribusi nilai dapat dilihat dalam
gambar 3.8 untuk = 10, = 0.5, 0 = 1,
= 1.1, dan = 0.9.
Gambar 3.8 distribusi nilai dari 10 .
Nilai dari yang merupakan pergerakan nilai ke atas adalah variabel acak yang
menyebar binomial. Hal yang sama juga berlaku untuk nilai dari
− yang merupakan pergerakan nilai ke bawah. Kemudian dapat
dikatakan bahwa proses perubahan harga aset mengikuti binomial tree. Dalam n-langkah,
binomial dilakukan dalam semua keadaan. Setiap jalur dalam n-langkah bergerak naik
dan turun dan setiap step memiliki 2 elemen nilai.
Return untuk aset dapat ditulis
= − 1 − 1
dengan peluang dengan peluang 1
− .
3.29 Bukti: Lampiran 8
Return ini sama dengan return yang
diperoleh pada model binomial satu langkah dan model binomial dua langkah karena
return dihitung berdasarkan pada harga aset
sebelumnya.
S10 S10
S10 S10
imbal hasil imbal hasil
harga harga
F
IV APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM CONTRACT
Pada bagian ini akan dibahas aplikasi model binomial dalam menentukan harga
contingent claim yaitu harga forward
contract dan forward exchange rate
contract .
4.1 Forward Contract
