Definisi 12 Kovarian Kovarian dari dua peubah acak X dan Y,
ditulis , , didefinisikan sebagai
berikut , = − � − �
di mana � dan � adalah nilai harapan dari X
dan Y. [Ross 2009]
Persamaan , dapat diuraikan menjadi
, = − �
− � +
� � =
− � − � + � � =
− � � − � � + � � =
− . 1.1
2.2 Matematika keuangan Definisi 13 Aset berisiko
Aset berisiko adalah aset di mana nilai di masa yang akan datang tidak dapat diprediksi.
[Capinski Zastawniak 2003]
Definisi 14 Aset tidak berisiko Aset tidak berisiko adalah aset di mana nilai
di masa mendatang sudah ditentukan. Aset tidak berisiko
dapat diartikan sebagai
banyaknya aset yang disimpan di bank. [Capinski Zastawniak 2003]
Definisi 15 Obligasi Obligasi adalah sertifikat atau surat berharga
yang berisi kontrak antara investor sebagai pemberi dana dengan penerbitnya sebagai
peminjam dana. Penerbit obligasi mempunyai kewajiban
kepada pemegangnya
untuk membayar bunga secara regular sesuai jadwal
yang telah ditetapkan serta melunasi kembali pokok pinjaman pada saat jatuh tempo.
[Tandelilin. 2010] Definisi 16
Underlying assets
Underlying asset adalah aset yang dijadikan
sebagai objek atau dasar transaksi. Aset yang dijadikan sebagai underlying dapat berupa
barang berwujud maupun tidak berwujud, seperti tanah, bangunan, berbagai jenis proyek
pembangunan, serta aset non fisik lainnya seperti jasa. Yang termasuk underlying assets
antara lain adalah komoditas minyak, gas, emas, saham, mata uang, obligasi.
[Van der Hoek Elliott 2006]
Definisi 17 Produk derivatif Produk derivatif adalah investasi keuangan
atau kontrak di mana harganya tergantung pada underlying assets.
[Van der Hoek Elliott 2006] Definisi 18
Contingent claim
Contingent Claim adalah sekuritas yang
memberikan return yang tergantung pada nilai aset lain seperti harga komoditas, harga saham
dan obligasi, atau nilai indeks pasar. [Bodie et al. 2002]
Definisi 19 Short sell
Short sell adalah menjual aset yang bukan
miliknya, investor meminjam aset dari pialang dan kemudian investor tersebut menjualnya.
Di waktu tertentu di masa mendatang, investor tersebut akan mengembalikan dalam jumlah
lembar yang sama.
[Tandelilin 2010]
Definisi 20 Peluang arbitrase Peluang arbitrase adalah peluang di mana
sebuah aset atau portofolio aset yang nilainya hari ini adalah nol dan nilainya di semua
kemungkinan keadaan waktu di masa depan tidak pernah negatif. Lebih mudah dikatakan
bahwa peluang arbitrase adalah peluang untuk memulai hari ini dengan nol yang pada
akhirnya mendapatkan keuntungan di waktu yang akan datang.
[Van der Hoek Elliott 2006] Sebagai contoh diambil dari Capinski
Zastawniak 2003,
kemungkinan mendapatkan keuntungan bebas risiko tanpa
investasi awal dapat muncul ketika partisipan pasar membuat kesalahan. Misalkan dealer A
di New York menawarkan untuk membeli British pounds
pada tingkat dA = 1.62 dollar ke pound saat dealer B di London menjualnya
pada tingkat dB = 1.60 dollar ke pound. Jika terdapat kasus demikian, investor tanpa modal
awal dapat memiliki keuntungan dengan memperjualbelikan dA
− dB = 0.02 dollarpound. Solusi yang harus dilakukan
adalah secara cepat mengharuskan dealer untuk menyesuaikan exchange rate sehingga
kemungkinan keuntungan dapat hilang.
Misalkan adalah peubah acak yang
menunjukkan nilai aset atau portofolio pada waktu t maka
0 adalah nilai aset hari ini. ,
� adalah nilai pada waktu T masa yang akan datang ketika keadaan di dunia
adalah �, maka peluang arbitrase bagi
beberapa aset keuangan W sedemikian rupa sehingga
∀� ∈ Ω, 0, � = 0 ∀� ∈ Ω, , � 0
∃� ∈ Ω, , � 0. [Van der Hoek Elliott 2006]
Aksioma dasar yang digunakan adalah sebagai berikut.
Aksioma 1 No arbitrage axiom
Jika nilai awal portofolio adalah nol, yaitu W
0 = 0, maka W1 = 0 dengan peluang 1, berarti bahwa tidak ada investor yang pasti
mendapatkan uang tanpa risiko dan tanpa modal awal.
[Capinski Zastawniak 2003] Menurut Capinski Zastawniak 2003,
jika portofolio melanggar aksioma ini, dapat dikatakan bahwa peluang arbitrase bisa
terjadi. Pengecualian arbitrase dalam model matematika cukup mendekati kenyataan dan
menjadi asumsi yang sangat penting dan menguntungkan, sehingga argumentasi
berdasarkan no arbitrage axiom merupakan dasar dari financial mathematics.
Konsekuensi dari aksioma ini adalah sebagai berikut.
Teorema 1 Law of One Price.
Misalkan terdapat dua aset A dan B dengan harga pada waktu = 0,
� 0, �
0. Seandainya ada waktu 0 sehingga
harga A dan B sama di semua keadaan di dunia:
� = � maka
� = �
. [Van der Hoek Elliott 2006]
Bukti Misalkan
� �
. Bentuklah
portofolio berikut pada waktu = 0, dimulai dengan 0.
Meminjam dan menjual A, berarti �
. Membeli B, berarti
−� Sehingga
� − �
0, yang bisa dipegang atau diinvestasikan. Catatan strategi
ini memerlukan tidak adanya investasi awal. Pada waktu T, maka
Membeli dan mengembalikan A , berarti −� .
Menjual B , berarti � .
Karena � = � , maka hasil yang
diperoleh adalah
0. Tetapi,
masih mempunyai hasil yang positif sebesar
� − �
, sehingga telah menunjukkan adanya peluang arbitrase. Kontradiksi dengan
aksioma dasar, sehingga haruslah �
= �
. Untuk pembuktian �
� argumen yang sama dapat digunakan.
Pada pembuktian ini diasumsikan tidak ada biaya transaksi dalam melaksanakan
perdagangan, dan aset yang terlibat dapat dibeli dan dijual setiap saat.
∎
2.3 Jenis-jenis
Contract Definisi 21
Forward contact
Forward contract adalah perjanjian di mana
investor diwajibkan untuk menjual atau membeli sebuah aset pada waktu yang telah
ditentukan di waktu yang akan datang, disebut delivery time
, dengan harga yang telah disepakati yang disebut forward price.
[Van der Hoek Elliott 2006] Menurut Capinski Zastawniak 2003,
dalam forward contract, investor yang setuju untuk untuk menjual suatu aset disebut
mengambil short forward position dan investor yang setuju untuk untuk membeli
suatu aset disebut mengambil long forward position
.
Definisi 22 Exchange rate
Exchange rates adalah nilai suatu mata
uang dalam bentuk mata uang lain. [ Fabozzi Modigliani 2002]
III MODEL BINOMIAL UNTUK CONTINGENT CLAIM
Dalam tugas akhir ini akan dibahas model binomial untuk menentukan harga contingent
claim yang dijelaskan oleh Van der Hoek
Elliott 2006. Model ini dapat dikerjakan dengan mudah karena berisi sedikit parameter
dan struktur setiap node dalam tree diasumsikan sederhana.
3.1 Model Binomial satu langkah
