imbal hasil imbal hasil
harga harga
F
IV APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM CONTRACT
Pada bagian ini akan dibahas aplikasi model binomial dalam menentukan harga
contingent claim yaitu harga forward
contract dan forward exchange rate
contract .
4.1 Forward Contract
Forward contract
adalah sebuah
perjanjian untuk membeli atau menjual aset S di masa mendatang T untuk harga yang
telah disepakati F. Tidak ada pembayaran yang dilakukan di awal pada saat
= 0 dan harga F disebut forward price. Lebih
jauh, long
forward contract
adalah kesepakatan yang mengikat untuk membeli,
sementara short forward contract adalah kesepakatan yang mengikat untuk menjual.
Kata “mengikat” membedakan kontrak ini dengan option contract.
Misalkan 0 adalah harga underlying asset
hari ini dan adalah harga
underlying asset pada waktu T dan F adalah
harga yang disepakati. Imbal hasil dari long forward contract
adalah – membeli
dengan harga F dan menjual dengan harga S
T. Hasil ini mungkin positif, negatif atau nol tergantung pada keadaan pada waktu T.
Tidak ada pembayaran di awal yaitu pada saat
= 0, sehingga nilai sekarang dari forward contract
adalah nol diasumsikan bahwa tidak ada biaya transaksi. Diagram
imbal hasil dari long forward contract ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Imbal hasil dari long forward contract.
Imbal hasil untuk long forward contract akan bernilai negatif apabila nilai F lebih
besar dibandingkan ST, bernilai nol apabila nilai F sama dengan ST, dan bernilai
positif apabila
nilai F
lebih kecil
dibandingkan dengan ST. Hasil dari short forward contract adalah
− Menjual dengan harga F dan membeli dengan harga ST. Hasil ini dapat
bernilai positif, negatif atau nol tergantung pada keadaan pada waktu T. Tidak ada
pembayaran di awal dan tidak ada biaya transaksi.
Diagram ditunjukkan
pada Gambar 4.2
Gambar 4.2 Imbal hasil dari short forward contract.
Imbal hasil untuk short forward contract akan bernilai negatif apabila nilai F lebih
besar dibandingkan ST, bernilai nol apabila nilai F sama dengan ST, dan bernilai
positif apabila
nilai F
lebih kecil
dibandingkan dengan ST. Aplikasi model binomial dalam forward
contract dalam tugas akhir ini adalah untuk
menentukan nilai forward contract F. Model Binomial satu langkah
Dalam model binomial satu langkah, terdapat dua waktu yaitu = 0 dan = .
Akan dicoba dirumuskan forward contract menggunakan model binomial satu langkah.
Nilai long forward contract pada waktu
= adalah = − .
Nilai di atas akan menjadi , = , −
, = , − dan nilai F disetujui pada waktu
= 0, sehingga F dapat ditulis F0 atau F0,0.
Nilai F dalam model binomial satu langkah dirumuskan berdasarkan teorema berikut
ST-F
ST F-ST
ST F
Teorema 4.1 Misalkan terdapat sebuah aset S dengan
harga pada waktu t = 0 adalah S0 ≥ 0 dan
harga pada waktu T adalah ST. Dengan tidak ada pembayaran di awal maka nilai
forward contract
berdasarkan model
binomial satu langkah pada waktu t = 0 adalah
= 0 .
Bukti: Model
dependent
Berdasarkan one-step binomial asset pricing model
. Misalkan pada waktu T, sama dengan
, atau , . Pada
waktu = 0 nilai forward contract adalah nol, sehingga berdasarkan persamaan 3.9
diperoleh
0 = 1
� , − + 1 − � , − 0 =
1 � , + 1 − � , −
0 = 0 −
= 0 . ∎
Model independent
Asumsikan bahwa − 0 0.
Pada waktu = 0, pinjam 0 dalam
bentuk tunai, beli satu aset, lakukan short forward contract
untuk menjual aset dengan harga F pada waktu T, maka diperoleh biaya
bersih sebesar 0 pada waktu = 0. Pada waktu akhir T, jual aset dengan harga F dan
membayar kembali pinjaman dengan bunga yaitu
0 . Posisi bersih adalah −
0 0, yang jelas merupakan suatu keuntungan.
Jadi, dengan
tidak ada
pengeluaran bersih
di = 0,
bisa menghasilkan keuntungan yang positif pada
waktu T. Ini adalah sebuah arbitrase, yang melanggar aksioma dasar kita.
Asumsikan sekarang
0 − 0 argumen yang sama bekerja. Pada waktu
= 0, short sell satu aset, menginvestasikan jumlah tersebut 0 di bank sehingga dapat
meningkat karena
memperoleh bunga
sebesar R, lakukan long forward contract untuk membeli aset pada waktu t dengan
harga F dan diperoleh biaya bersih sebesar 0 pada waktu = 0. Pada waktu akhir T,
beli
aset dengan
harga F
dan mengembalikannya. Pembelian aset didanai
dari investasi 0 . posisi bersih adalah 0 − 0, yang jelas merupakan suatu
keuntungan. Jadi,
dengan tidak
ada pengeluaran
bersih di
= 0, bisa
menghasilkan keuntungan yang positif pada saat T. Ini adalah sebuah arbitrase yang
melanggar aksioma dasar. ∎
Model binomial dua langkah
Dijelsakan sebelumnya bahwa F0,0 ditulis untuk menegaskan bahwa F disetujui
pada waktu t=0, nilai long forward contract pada waktu t=2 adalah sebagai berikut
2,2 = 2,2 − 0,0 2,1 = 2,1 − 0,0
2,0 = 2,0 − 0,0 Nilai F0,0 dapat dihitung sebagai berikut
1,0 = 1
1,0 � 2,1 − 1 − � 2,0
= 1
1,0 [
� 2,1 − 0,0 − 1 − � 2,0 − 0,0 ] =
1 1,0 �
2,1 − 1 − � 2,0 − 0,0
1,0 =
1,0 − 0,0
1,0 .
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1 − � 2,1
= 1
1,1 [
� 2,2 − 0,0 − 1 − � 2,1 − 0,0 ] =
1 1,1 �
2,2 − 1 − � 2,1 − 0,0
1,1 =
1,1 − 0,0
1,1 .
0,0 = 1
0,0 � 1,1 − 1 − � 1,0
= 1
0,0 � 1,1 −
0,0 1,1
− 1 − � 1,0 − 0,0
1,0 =
1 0,0
� 1,1 − 1 − � 1,0 − � 0,0
0,0 1,1 − 1 − �
0,0 0,0 1,0
. Diasumsikan
1,1 = 1,0 = 1, maka 0,0 =
1 0,0 �
1,1 − 1 − � 1,0 − 0,0
0,0 1 =
0,0 − 0,0
0,0 1 .
Diketahui bahwa nilai forward contract pada waktu t = 0 adalah nol, maka
0 = 0,0 −
0,0 0,0 1
0,0 = 0,0
0,0 1 0,0 = 0,0 0,0 1
dengan � 0,2 =
1 0,0 1
Maka nilai F0,0 dapat ditulis sebagai berikut
0,0 = 0,0
� 0,2 .
Nilai X pada 1,0 dan 1,1 dari long forward contra
ct yang dimulai pada waktu t
= 0 sampai waktu t = 2 adalah 1,0 = 1,0 −
0,0 1,0
1,1 = 1,1 − 0,0
1,1 1,0 = 1 =
1 �
1
1 1,1 = 1 =
1 �
1 1
1 di mana
�
1
1 nilai IDR pada waktu = 1 dengan keadaan 0 jika pada = 2 terdapat
1 IDR dan �
1 1
1 nilai IDR pada waktu = 1 dengan keadaan 1 jika pada
= 2 terdapat 1 IDR. Maka nilai X1,0 dan X1,1
akan menjadi 1,0 = 1,0 −
0,0 � 0,2 �
1
1 1,1 = 1,1 −
0,0 � 0,2 �
1 1
1 . Dapat dihitung F1,1 yaitu nilai forward
contract dari S pada waktu t = 1 yang
dimulai pada waktu t = 0. Nilai F1,1 dipengaruhi nilai S2,2 dan S2,1, maka
nilai forward contract pada 1,1 dapat dihitung sebagai berikut
2,2 = 2,2 − 1,1 2,1 = 2,1 − 1,1 .
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1 − � 2,1
= 1
1,1 [
� 2,2 − 1,1 − 1 − � 2,1 − 1,1 ] =
1 1,1 �
2,2 − 1 − � 2,1 − 1,1
1,1
1,1 = 1,1 − 1,1
1,1 .
Dengan nilai 1,1 = 0, maka
1,1 = 1,1 1,1 = 1,1
�
1 1
1 .
Selain itu nilai F1,0 juga dapat dihitung. Nilai F1,0 dipengaruhi nilai S2,0 dan S2,1 sehingga perhitungan F1,0 adalah sebagai berikut
2,1 = 2,1 − 1,0 2,0 = 2,0 − 1,0 .
1,0 = 1
1,0 � 2,1 − 1 − � 2,0
= 1
1,0 [
� 2,1 − 1,0 − 1 − � 2,0 − 1,0 ] =
1 1,0 �
2,1 − 1 − � 2,0 − 1,0
1,0 =
1,0 − 1,0
1,0 .
Dengan nilai 1,0 = 0, Maka
1,0 = 1,0 1,0 = 1,0
�
1
1 .
Model binomial tiga langkah
Perhitungan untuk menentukan nilai F
0,0 pada long forward contract dalam model binomial tiga langkah adalah sebagai
berikut. Nilai long forward contract pada
= 3 adalah
3,3 = 3,3 − 0,0 3,2 = 3,2 − 0,0
3,1 = 3,1 − 0,0 3,0 = 3,0 − 0,0
2,0 = 1
2,0 � 3,1 − 1 − � 3,0
= 1
2,0 [
� 3,1 − 0,0 − 1 − � 3,0 − 0,0 ] =
1 2,0 �
3,1 − 1 − � 3,0 − 0,0
2,0 =
2,0 − 0,0
2,0 .
2,1 = 1
2,1 � 3,2 − 1 − � 3,1
= 1
2,1 [
� 3,2 − 0,0 − 1 − � 3,1 − 0,0 ] =
1 2,1 �
3,2 − 1 − � 3,1 − 0,0
2,1 =
2,1 − 0,0
2,1 .
2,2 = 1
2,2 � 3,3 − 1 − � 3,2
= 1
2,2 [
� 3,3 − 0,0 − 1 − � 3,2 − 0,0 ]
= 1
2,2 � 3,3 − 1 − � 3,2 −
0,0 2,2
= 2,2 −
0,0 2,2
. 1,0 =
1 1,0 �
2,1 − 1 − � 2,0 =
1 1,0 �
2,1 − 0,0
2,1 − 1 − � 2,0 −
0,0 2,0
= 1
1,0 � 2,1 − 1 − � 2,0 − �
0,0 1,0 2,1
− 1 − � 0,0
1,0 2,0 .
Diasumsikan 2,2 = 2,1 = 2,0 = 2
maka 1,0 =
1 1,0
� 2,1 − 1 − � 2,0 − 0,0
1,0 2 =
1,0 − 0,0
1,0 2 .
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1 − � 2,1
= 1
1,1 � 2,2 −
0,0 2,2
− 1 − � 2,1 − 0,0
2,1 =
1 1,1
� 2,2 − 1 − � 2,1 − � 0,0
1,1 2,2 − 1 − �
0,0 1,1 2,1
. Diasumsikan
2,2 = 2,1 = 2,0 = 2 maka
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1 − � 2,1 −
0,0 1,1 2
= 1,1 −
0,0 1,1 2
. 0,0 =
1 0,0 �
1,1 − 1 − � 1,0 =
1 0,0 �
1,1 − 0,0
1,1 2 − 1 − � 1,0 −
0,0 1,0 2
= 1
0,0 � 1,1 − 1 − � 1,0 − �
0,0 0,0
1,1 2 − 1
− � 0,0
0,0 1,0 2 .
Diasumsikan 1,1 = 1,0 = 1
maka 0,0 =
1 0,0 �
1,1 − 1 − � 1,0 − 0,0
0,0 1 2 =
0,0 − 0,0
0,0 1 2 .
Diketahui bahwa nilai forward contract pada waktu t = 0 adalah nol, maka
0 = 0,0 −
0,0 0,0 1 2
0,0 = 0,0
0,0 1 2 0,0 = 0,0 0,0 1 2
dapat ditulis 0,0 =
0,0 � 0,3
dengan � 0,3 =
1 0,0 1 2
. Dengan nilai
2,0 = 2 = 1
�
2
1 ,
2,1 = 2 = 1
�
1 2
1 ,
2,2 = 2 = 1
�
2 2
1 Di mana
�
2
1 adalah nilai IDR pada waktu
= 2 dengan keadaan 0 jika pada = 3 terdapat 1 IDR,
�
1 2
1 adalah nilai IDR pada waktu
= 2 dengan keadaan 1 jika pada = 3 terdapat 1 IDR dan
�
2 2
1 adalah nilai IDR pada waktu = 2 dengan
keadaan 2 jika pada = 3 terdapat 1 IDR maka nilai
2,0 = 2,0 − 0,0
2,0 akan menjadi
2,0 = 2,0 − 0,0
� 0,3 �
2
1 nilai
2,1 = 2,1 − 0,0
2,1 akan menjadi
2,1 = 2,1 − 0,0
� 0,3 �
1 2
1 nilai
2,2 = 2,2 − 0,0
2,2 akan menjadi
2,2 = 2,2 − 0,0
� 0,3 �
2 2
1 . Dengan nilai
1,1 2 = 1 2 = 1
�
1 1
2 ,
1,0 2 = 1 2 = 1
�
1
2 nilai
1,0 = 1,0 − 0,0
1,0 2 akan menjadi
1,0 = 1,0 − 0,0
� 0,3 �
1
2 nilai
1,1 = 1,1 − 0,0
1,1 2 akan menjadi
1,1 = 1,1 − 0,0
� 0,3 �
1 1
2 . Nilai forward contract pada setiap node
dalam model binomial tiga langkah dapat dihitung. Nilai forward contract pada node
2,0 dipengaruhi nilai S pada 3,1 dan 3,0, maka nilai forward contract pada 2,0
dapat dihitung sebagai berikut
3,1 = 3,1 − 2,0 3,0 = 3,0 − 2,0
2,0 = 1
2,0 � 3,1 − 1 − � 3,0
= 1
2,0 [
� 3,1 − 2,0 − 1 − � 3,0 − 2,0 ] =
1 2,0 �
3,1 − 1 − � 3,0 − 2,0
2,0 =
2,0 − 2,0
2,0 .
Dengan nilai 2,0 = 0, maka
2,0 = 2,0 2,0 = 2,0
�
2
1 .
Nilai forward contract pada node 2,1 dipengaruhi nilai S pada 3,1 dan 3,2, maka nilai forward contract
pada 2,1 adalah 3,1 = 3,1 − 2,1
3,2 = 3,2 − 2,1
2,1 = 1
2,1 � 3,2 − 1 − � 3,1
= 1
2,1 [
� 3,2 − 2,1 − 1 − � 3,1 − 2,1 ] =
1 2,1 �
3,2 − 1 − � 3,1 − 2,1
2,1 =
2,1 − 2,1
2,1 .
Dengan nilai 2,1 = 0, maka
2,1 = 2,1 2,1 = 2,1
�
1 2
1 .
Nilai forward contract pada node 2,2 dipengaruhi nilai S pada 3,3 dan 3,2, Maka nilai forward contract
pada 2,2 adalah 3,3 = 3,3 − 2,2
3,2 = 3,2 − 2,2 2,2 =
1 2,2 �
3,3 − 1 − � 3,2 =
1 2,2
[ � 3,3 − 2,2 − 1 − � 3,2 − 2,2 ]
= 1
2,2 � 3,3 − 1 − � 3,2 −
2,2 2,2
= 2,2 −
2,2 2,2
. Dengan nilai
2,2 = 0, maka 2,2 = 2,2 2,2 =
2,2 �
2 2
1 .
Perhitungan nilai forward contract pada node 1,0 adalah sebagai berikut 3,2 = 3,2 − 1,0
3,1 = 3,1 − 1,0 3,0 = 3,0 − 1,0 .
2,0 = 1
2,0 � 3,1 − 1 − � 3,0
= 1
2,0 [
� 3,1 − 1,0 − 1 − � 3,0 − 1,0 ] =
1 2,0 �
3,1 − 1 − � 3,0 − 1,0
2,0 =
2,0 − 1,0
2,0 .
2,1 = 1
2,1 � 3,2 − 1 − � 3,1
= 1
2,1 [
� 3,2 − 1,0 − 1 − � 3,1 − 1,0 ] =
1 2,1 �
3,2 − 1 − � 3,1 − 1,0
2,1 =
2,1 − 1,0
2,1 .
1,0 = 1
1,0 � 2,1 − 1 − � 2,0
= 1
1,0 � 2,1 −
1,0 2,1
− 1 − � 2,0 − 1,0
2,0 =
1 1,0
� 2,1 − 1 − � 2,0 − � 1,0
1,0 2,1 − 1 − �
1,0 1,0 2,0
= 1,0 −
1,0 1,0 2
. Dengan nilai
1,0 = 0, maka 1,0 = 1,0 1,0 2 =
1,0 �
1
2 .
Perhitungan nilai forward contract pada node 1,1 adalah sebagai berikut 3,2 = 3,2 − 1,1
3,1 = 3,1 − 1,1 3,3 = 3,3 − 1,1 .
2,1 = 1
2,1 � 3,2 − 1 − � 3,1
= 1
2,1 [
� 3,2 − 1,1 − 1 − � 3,1 − 1,1 ] =
1 2,1 �
3,2 − 1 − � 3,1 − 1,1
2,1 =
2,1 − 1,1
2,1 .
2,2 = 1
2,2 � 3,3 − 1 − � 3,2
= 1
2,2 [
� 3,3 − 1,1 − 1 − � 3,2 − 1,1 ] =
1 2,2 �
3,3 − 1 − � 3,2 − 1,1
2,2 =
2,2 − 1,1
2,2 .
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1 − � 2,1
= 1
1,1 � 2,2 −
1,1 2,2
− 1 − � 2,1 − 1,1
2,1 =
1 1,1
� 2,2 − 1 − � 2,1 − � 1,1
1,1 2,2 − 1 − �
1,1 1,1 2,1
= 1,1 −
1,1 1,0 2
. Dengan nilai
1,1 = 0, maka 1,1 = 1,1 1,0 2 =
1,1 �
1
2 .
Model binomial N-langkah
Sekarang akan
digunakan model
binomial multiperiode. Pada node ,
harga aset
dilambangkan , .
Didefinisikan �
adalah nilai IDR pada waktu
= dengan keadaan jika pada =
+ setelah periode = terdapat 1 IDR dan
, = 1 + , adalah nilai IDR pada waktu =
+ 1 jika investasikan 1 IDR di bank pada = . Didefinisikan:
, = + 1, + 1
, , =
+ 1, ,
� , = , − ,
, − , .
Untuk menghindari arbitrase, dibutuhkan � , 1 untuk semua , .
Ditulis = 0,0 untuk menegaskan
fakta bahwa disetujui pada waktu = 0. Long forward contract
pada �, bernilai
�, − 0,0. Dengan �0, � adalah nilai IDR pada waktu t = 0 jika pada waktu t
= N terdapat 1 IDR maka nilai di atas pada waktu
= 0 adalah
0,0 − 0,0 �0, �. Nilai pada waktu = 0 yaitu pada
0,0 haruslah 0, sehingga 0,0 =
0,0 � 0, �
. 4.1 Nilai untuk P0,1 adalah 1
sehingga persamaan 4.1 terpenuhi untuk model
binomial satu langkah. Nilai pada , dari long forward contract yang dimulai
pada waktu = 0 sampai waktu
= �
adalah , = , −
0,0 � 0, �
� � − . Secara umum, jika
, adalah nilai forward contract
dari pada waktu = �
yang dimulai pada waktu = 0, maka , =
, � � −
jika = �, diperoleh
�, = �, . Berdasarkan model binomial multiperiode
diketahui bahwa � , =
, , − + 1, + 1, + 1 − + 1,
� , ≡ � � − � ,
, � + 1, + 1
+ 1
− � , , �
+ 1, maka
, = ,
� , .
Dalam tugas akhir ini nilai forward contract
yang akan dicari adalah nilai forward contract
pada waktu t = 0 sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.
Teorema 4.2 Misalkan terdapat sebuah aset S dengan
harga pada waktu t = 0 adalah S
0,0 ≥ 0 dan harga pada waktu T adalah ST. Dengan
tidak ada pembayaran di awal maka nilai forward contract
model binomial n-langkah pada waktu t = 0 adalah
0,0 = 0,0 0 1 … − 1 dengan asumsi
, = , − 1 = = , 0 = . 4.2
Bukti: Lampiran 9 4.2
Exchange Rates
Misalkan adalah exchange rate. Dalam tugas akhir ini yang akan dibahas adalah
nilai tukar USD terhadap IDR, walaupun dapat digunakan contoh nilai tukar yang
lainnya.
Dilambangkan adalah nilai 1 USD dapat ditukarkan dengan IDR pada waktu t.
Dengan menggunakan rumus umum harga binomial satu langkah. Dimisalkan pada
waktu = 1,
mempunyai dua
kemungkinan, 1, dan 1, di mana
1, 1, . Terdapat dua suku bunga, yaitu:
1. domestic = domestic = Indonesia
0 = 1 1, = 1, =
= 1 +
2. foreign � = foreign = USA
�
0 = 1
�
1, =
�
1, =
�
= 1 +
�
. Gunakan
kembali gagasan
replikasi portofolio dan konsep tidak ada peluang
arbitrase dalam rumus
umum harga menggunakan binomial satu langkah. Ambil
� dalam IDR dan
�
1
dalam USD. Sehingga pada waktu
= 0, portofolio mempunyai nilai dalam IDR
0 = � +
�
1
0 . Pada waktu
= 1, portofolio ini akan menjadi dalam IDR
1 = � +
�
1 �
1 kemudian pilih
� dan
�
1
sehingga 1 = �
+ �
1 �
1 . Persamaan di atas sama seperti dua
persamaan berikut ini:
1, = � +
�
1 �
1, 1, = �
+ �
1 �
1, dan jika
1, ≠ 1, , maka diperoleh solusi untuk
� dan
�
1
adalah: �
1
= 1
�
1, − 1, 1, − 1,
� =
1 1, 1, − 1, 1,
1, − 1, sehingga diperoleh
0 = 1
� 1, + 1 − � 1, dengan
� =
�
0 − 1, 1, − 1,
1 − � =
1, −
�
1, − 1, .
Akibatnya, untuk
� 1 model exchange rate
harus memenuhi 1,
�
0 1, seperti yang telah diasumsikan bahwa
1, 1, .
4.3 Forward Exchange Rate Contract
