51 4. Untuk
semua
0,
∞ dan
U, ada
∗
sehingga
,
∗
=
Φ dan
,
∗
= sup
[
,
] .
Bukti: lihat Elliott Hinz 2002
5.2 Optimasi Portofolio Point and Figure
Misalnya diberikan kuantitas seperti persamaan 3.2 dan 3.3. Misalnya pasangan proses stokastik
{ ,
}
adalah model hidden Markov, dengan ruang state
adalah
= { ,
, …, }
. Proses
{ : 1
}
mengambil nilai
{ , }
. Misalnya state yang bersesuaian dengan bernilai u adalah
= 1, 0
dan bernilai d adalah
= 0, 1
. Proposisi 2 berikut ini menunjukkan bahwa dengan menggunakan fungsi utilitas logaritmik, optimasi portofolio PF dapat
dinyatakan secara eksplisit.
Proposisi 2. Elliott Hinz 2002
Misalnya
0,
∞
.
1. Jika
= ln ,
∀
0,
maka
,
∗
= 1 ,
∗
=
∑
, 1
− − −
1
di mana
= =
| =
, = 1,2, …,
= 1,2, = 0,1, …,
−
1.
2. Jika
= ,
∀ dan
0,1
, maka
,
∗
= 1
1 ,
∗
=
∀
= 0,1, …,
−
1,
di mana proses
{ : 0
}
adapted- yang ditentukan oleh
1 1
= 1 +
−
1 .
Bukti : lihat Lampiran 2
52 Selanjutnya dalam penelitian ini dikaji optimasi portofolio point and figure
dengan fungsi utilitas logaritmik. Salah satu cara menyatakan suatu portofolio dalam bentuk yang sederhana adalah dengan portofolio relatif relative portfolio.
Portofolio relatif menjelaskan bahwa bagian dari kekayaan diinvestasikan dalam bentuk aset berisiko. Proses Elliott Hinz 2002
∗
=
∗
,
∗
=
∗
,
∗
, = 0,1, …,
5.3 menyatakan portofolio relatif sesaat setelah waktu
di mana
∗
adalah jumlah saham yang ditahan selama interval waktu
[ ,
,
,
∗
adalah kekayaan pada waktu
, dan adalah harga saham pada waktu . Berdasarkan pembuktian
Proposisi 2, diketahui bahwa
,
∗
= +
∗
−
= 1
untuk semua
= 1,2, …, .
Berdasarkan Proposisi 2 juga diperoleh
∗
=
∑
, 1
− − −
1 .
Akibatnya
∗
=
∗
,
∗
=
∑
, 1
− − −
1 1
=
∑
, 1
− − −
1 1
= 1
, 1
− − −
1 =
, 1
− − −
1 .
Jadi
∗
= ,
1
− − −
1
∀
= 0,1, …,
−
1.
5.4
53
200 400
600 800
1000 2000
4000 6000
8000
Kekayaan pada waktu
,
∗
adalah penjumlahan kekayaan pada waktu
,
∗
dengan hasil kali jumlah saham yang ditahan
∗
dengan selisih harga saham
− . Akibatnya diperoleh persamaan
,
∗
=
,
∗
+
∗
−
=
,
∗
+
∗
−
×
,
∗
,
∗
=
,
∗
+
∗
,
∗
×
,
∗
−
=
,
∗
+
∗
× 1
−
=
,
∗
+ 1
∗
−
.
Jadi diperoleh relasi rekursif untuk proses kekayaan
,
∗
=
,
∗
+ 1
∗
−
,
,
∗
= .
5.5
5.3 Data Input Harga Saham Bumi Resources Tbk
Data input yang digunakan merupakan harga saham harian close-to-close Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011 sebanyak 993
buah dengan sebaran datanya sebagai berikut.
Gambar 4 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011.
Waktu Pengamatan per Hari 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011 H
ar ga
S aha
m R
upi ah
54
200 400
600 800
1000 2000
4000 6000
8000
Berdasarkan keadaan pasar global, saham diperdagangkan dalam waktu kontinu, maka data harian harga saham diinterpolasi menggunakan interpolasi
orde satu linear dan diperoleh suatu fungsi secara numerik yang menyatakan hubungan waktu dengan harga saham. Selanjutnya dengan menggunakan ide
pokok dari diagram point and figure dilakukan proses diskretisasi waktu perdagangan saham yang menghasilkan harga saham tidak seimbang naik atau
turun. Dengan menggunakan persamaan 3.1, harga saham pada awal pengamatan
= 910,
=
1.045, dan
=
0.955 diperoleh sampel waktu dan sampel harga saham sebanyak 455 buah. Sebaran dari sampel harga saham
tersebut seperti Gambar 5 berikut.
Gambar 5 Grafik sampel harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011.
5.4 Aplikasi Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Hidden Markov pada Saham Bumi Resources Tbk
Diagram point and figure dari harga saham menampilkan keadaan harga tidak seimbang, yaitu ketika harga naik up atau turun down. Ide pokok dari
diagram point and figure tersebut menjadi dasar untuk melakukan proses sampling waktu perdagangan saham. Setiap sampel waktu menghasilkan sampel
harga saham. Hasil proses sampling waktu tersebut menghasilkan barisan observasi
{ ,
, …, }
yang mengambil nilai {d, u} di mana d menyatakan harga saham turun dan u harga saham naik. Untuk menjelaskan perilaku urutan
proses observasi naik atau turunnya harga saham Bumi Resources Tbk, dibangun
H ar
ga R
upi ah
Waktu Pengamatan
55 suatu model stokastik yang akan menghasilkan barisan dugaan
, , …,
yang paling baik sehingga persentase
=
maksimum. Diasumsikan bahwa barisan
{ ,
, …, }
dibangkitkan oleh proses pengamatan yang hanya dipengaruhi oleh proses penyebab kejadian yang
membentuk rantai Markov homogen dan tidak diamati secara langsung. Faktor- faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan urutan proses observasi
diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov
{ }.
Pada setiap state, urutan proses observasi dibangkitkan oleh peubah acak
yang menyebar dengan sebaran tertentu pada ruang peluang
Ω
,
ℱ
, .
Jadi pasangan
{ ,
}
merupakan model Hidden Markov diskret Elliott et al. 1995. Data yang diamati akan dimodelkan dalam model Hidden Markov diskret
sebanyak T = 455. Dalam komputasi, harga saham naik up atau turun down diubah menjadi u = 1 dan d = 2. Input barisan observasi terdapat pada hasil
komputasi sampling waktu dan sampling harga Saham Bumi Resources Tbk seperti pada Lampiran 3.
Banyaknya penyebab kejadian N adalah input yang ditentukan dan dipilih nilai N = 2, 3, …,10. Selanjutnya dibangkitkan matriks peluang transisi
×
=
yang memenuhi syarat dan
∑
= 1,
∀
= 1,2, …, .
Vektor
= ,
, …,
merupakan distribusi nilai awal yang juga dibangkitkan secara acak dan memenuhi syarat
=
dan
∑
= 1.
Proses observasi
mempunyai ruang state
= { , }
di mana
= 1, 0
dan
= 0, 1
. Ruang state dari penyebab kejadian adalah
= { ,
, …, }
dengan
= 0, …,0,1,0, …,0
adalah vektor satuan di ℝ , di mana hanya
elemen ke-i yang bernilai 1 dan lainnya 0. Matriks peluang transisi
×
=
dengan dan
∑
= 1,
∀
= 1,2, …,
juga dibangkitkan secara acak yang dihubungkan oleh distribusi peluang bersyarat
= =
= ,
= 1, 2 dan
= 1,2, …, .
Matriks peluang transisi yang dibangkitkan secara acak dicatat dengan SeedRandom. Untuk setiap nilai N, dipilih matriks peluang
transisi yang menghasilkan persentase ketepatan dugaan barisan observasi yang maksimum. Persentase ketepatan dugaan barisan observasi adalah persentase
56
86.15 83.52
89.89 93.63
87.47 86.15
82.86 82.42
80.44
20 40
60 80
100
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
P er
se n
ta se
Banyaknya Penyebab Kejadian N
banyaknya
=
pada barisan observasi
{ ,
, …, }.
Untuk menentukan dugaan barisan observasi digunakan fungsi RandomChoice.
Berdasarkan algoritme pemrograman pada bagian 4.5 dibuat program Komputasi Aljabar Matematika menggunakan software Mathematica versi 8.0
dengan hasil komputasi ditunjukkan pada Tabel 2. Tabel 2 Hasil komputasi pendugaan barisan observasi
N Jumlah Ketepatan Dugaan
Persentase Ketepatan Dugaan MAPE
u u u d d u d d
u d
Barisan Observasi
2 241
4 59
151 98
72 86.15
7.36 3
225 20
55 155
92 74
83.52 10.44
4 234
11 35
175 96
83 89.89
6.26 5
241 4
25 185
98 88
93.63 3.63
6 229
16 41
169 93
80 87.47
8.02 7
199 46
17 193
81 92
86.15 11.98
8 217
28 50
160 89
76 82.86
11.65 9
220 25
55 155
90 74
82.42 11.54
10 227
18 71
139 93
66 80.44
11.76
Keterangan : u d artinya
=
dan
=
Berdasarkan Tabel 2 dapat diperoleh grafik ketepatan dugaan barisan observasi sebagai berikut.
Gambar 6 Grafik ketepatan dugaan barisan observasi.
57
7.36 10.44
6.26 3.63
8.02 11.98
11.65 11.54
11.76
0.00 2.00
4.00 6.00
8.00 10.00
12.00 14.00
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
P er
se n
ta se
Banyaknya Penyebab Kejadian N
Berdasarkan Tabel 2 diperoleh nilai Mean Absolute Percentage Error MAPE sebagai berikut.
Gambar 7 Grafik Mean Absolute Percentage Error MAPE. Berdasarkan hasil tersebut, model hidden Markov yang paling baik
menjelaskan perilaku urutan proses observasi terjadi pada banyaknya penyebab kejadian N = 5. Dari hasil komputasi untuk N = 5 diperoleh ketepatan dugaan
barisan observasi sebesar 93.63 dan MAPE 3.63, matriks peluang transisi
=
1.03 × 10
−57
1.72 × 10
−57
9.99 × 10
−60
7.25 × 10
−58
1.33 × 10
−57
3.51 × 10
−48
1.
2.23 × 10
−13
5.31 × 10
−49
1.
1.76 × 10
−13
8.09 × 10
−47
1.
5.65 × 10
−13
2.67 × 10
−46
1.
1.59 × 10
−12
8.56 × 10
−47
1.
2.88 × 10
−13
9.25 × 10
−58
4.11 × 10
−58
1.01 × 10
−59
6.19 × 10
−57
5.19 × 10
−57
,
= 0.1855
0.4678 0.9687
0.9609 0.0988
0.8145 0.5321
0.0312 0.0390
0.9011 .
Selain itu diperoleh juga nilai harapan dari rantai Markov
= { :
ℕ
}
, yaitu
[ ] = =
6.25 × 10
−8
, 1. ,
6.25 × 10
−8
, 6.25 × 10
−8
, 6.46 × 10
−8
.
58
200 400
600 800
1000 2000
4000 6000
8000
Adapun jumlah ketepatan dugaan barisan observasi sebagai berikut. Tabel 3 Jumlah ketepatan dugaan barisan observasi
Observasi Dugaan
up Down
up 241
4 down
25 185
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan 4.18, persamaan 5.4, persamaan 5.5, nilai
= 910, sebaran state penyebab kejadian
= 0.113555, 0.223327,
0.260343, 0.254544,
0.148231 ,
nilai endowment awal
= 1,
dan matriks peluang transisi C tersebut di atas dilakukan komputasi untuk menentukan proses kekayaan pada waktu ke
. Hasil komputasi seperti pada Lampiran 3. Harga saham dan sampel harga saham Bumi Resources Tbk
periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011 ditunjukkan oleh Gambar 8.
Gambar 8 Grafik harga saham dan sampel harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011.
Harga saham Sampel harga saham
Waktu Pengamatan H
ar ga
R upi
ah
59
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ..
. .
. .
. .
. ..
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ..
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ..
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ..
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ..
. .
.. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ..
. .
. .
. .
.. .
. ...
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.. ....
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ...
. .
. .
. .
. .
. .
.. .
..
200 400
600 800
1000 1.0
1.5 2.0
2.5 3.0
Waktu Pengamatan per Hari
2 Januari 2007 s.d . 31 Januari 2011 K
ek ay
aa n
Proses kekayaan dari portofolio yang optimal dengan fungsi utilitas logaritmik dari Saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari
2011 ditunjukkan oleh Tabel 4 dan Gambar 9 berikut. Tabel 4 Proses kekayaan portofolio PF logaritmik saham Bumi Resources Tbk
k
1
∗
−
,
∗
1 12.59
950.95 1.00000
6.09031 0.04500
1.27406 2
14.09 993.74
0.90164 5.89674
0.04500 1.51332
3 16.46
1 038.46 0.76088
4.97345 0.04500
1.68361 4
20.17 1 085.19
0.62357 4.81281
0.04500 1.81866
5 27.67
1 036.36 0.50991
4.83836 -0.04500
1.70764 6
30.86 1 082.99
0.60231 5.92010
0.04500 1.86810
7 32.04
1 131.73 0.57042
6.68759 0.04500
2.03976 8
33.63 1 182.66
0.49381 5.12243
0.04500 2.15359
9 43.79
1 235.88 0.40567
4.79561 0.04500
2.24113 …
… …
… …
… …
451 969.98
3 048.70 4.49207
× 10
5.90956 0.04500
2.83840 452
973.49 3 185.89
4.25305
× 10
6.68921 0.04500
2.83840 453
977.82 3 042.52
3.68211
× 10
5.12321 -0.04500
2.83840 454
991.80 2 905.61
4.33927
× 10
5.97214 -0.04500
2.83840 455
992.67 2 774.86
4.55628
× 10
6.31857 -0.04500
2.83840
Gambar 9 Grafik kekayaan portofolio PF logaritmik saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011.
BAB VI SIMPULAN DAN SARAN
6.1 Simpulan
Berdasarkan kajian optimasi portofolio point and figure menggunakan model hidden Markov dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Model Hidden Markov diskret Elliott et al. 1995 cukup baik untuk menjelaskan perilaku barisan observasi berupa naik atau turunnya harga
saham Bumi Resources Tbk. 2. Ketepatan dugaan barisan observasi bergantung pada nilai awal parameter
model. Hasil yang diperoleh untuk banyaknya penyebab kejadian N = 5 sudah cukup baik untuk menjelaskan perilaku barisan observasi, karena dengan
penambahan banyaknya kejadian tidak terlalu berpengaruh secara signifikan. Hasil komputasi terbaik pada penelitian ini adalah diperoleh dugaan barisan
observasi dengan persentase ketepatan dugaan 93.63 dan Mean Absolute Percentage Error MAPE adalah 3.63.
3. Hasil komputasi menunjukkan bahwa pendugaan parameter model hidden Markov yang dikombinasikan dengan metode martingale untuk portofolio
point and figure logaritmik dapat mengoptimalkan kekayaan dalam waktu acak
perdagangan saham.
6.2 Saran
Komputasi dalam penelitian ini menggunakan Mathematica 8.0 dengan pemrograman berbasis struktural sehingga memerlukan waktu komputasi yang
lama. Disarankan untuk penelitian lanjutan pemrogramannya berbasis fungsional sehingga waktu komputasi menjadi lebih cepat. Disarankan pula menyusun suatu
pemrograman yang menghasilkan ketepatan dugaan barisan observasi yang baik tetapi tidak bergantung pada nilai awal parameter. Fungsi utilitas yang dikaji
untuk optimasi portofolio adalah fungsi logaritmik, selanjutnya dapat dikaji fungsi utilitas lainnya. Penelitian lanjutan dapat dikembangkan untuk optimasi portofolio
PF pada beberapa saham dan melakukan prediksi pergerakan harga saham.
