BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 Percobaan Acak Ross 2000
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat
ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.
Definisi 2.1.2 Ruang Contoh dan Kejadian Ghahramani 2005
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan
Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.
Definisi 2.1.3 Medan- Ghahramani 2005 Medan- -field adalah suatu himpunan
ℱ yang anggotanya himpunan bagian
dari
Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut.
1. ∅ ℱ;
2. Jika
, , …
ℱ
,
maka ⋃ ℱ
;
3. Jika ℱ maka
ℱ, dengan menyatakan komplemen dari himpunan A.
Definisi 2.1.4 Ukuran Peluang Ghahramani 2005
Suatu ukuran peluang P pada Ω
,
ℱ adalah suatu fungsi
∶ ℱ →
[ 0,1]
yang memenuhi syarat-syarat berikut.
1. ∅
= 0
dan Ω
= 1
; 2. Jika
, , …
ℱ adalah himpunan-himpunan yang saling lepas, yaitu
=
∅, untuk setiap
,
dengan ≠ , maka
1 1
i i
i i
P A
P A
. Pasangan
Ω
,
ℱ
,
disebut ruang peluang probability space.
6
Definisi 2.1.5 Kejadian Saling Bebas Grimmet Stirzaker 2001
Misalnya Ω
,
ℱ
,
adalah ruang peluang dan
,
ℱ. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
=
. Secara umum, misalnya I adalah himpunan indeks, himpunan kejadian
{ :
}
disebut saling bebas jika
i i
i J i J
P A
P A
untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.
Definisi 2.1.6 Peluang Bersyarat Grimmet Stirzaker 2001
Misalnya Ω
,
ℱ
,
adalah ruang peluang dan
,
ℱ. Jika maka
peluang kejadian A dengan syarat diketahui kejadian adalah │
= .
Teorema 2.1.7 Teorema Bayes Hogg Craig 2005
Misalnya Ω
,
ℱ
,
adalah ruang peluang dan ℱ
, = 1,2, … .
Misalnya kejadian C terjadi hanya dengan salah satu kejadian
maka peluang bersyarat dari setelah diketahui C adalah
1
| |
|
j j
j j
k i
i i
P C C
P C P C C P C C
P C P C P C C
.
Definisi 2.1.8 Peubah Acak Grimmet Stirzaker 2001
Misalnya Ω
,
ℱ
,
adalah ruang peluang. Peubah acak random variable X merupakan fungsi
∶ Ω → ℝ di mana
{
Ω ∶
}
ℱ untuk setiap ℝ. Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah
acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
Definisi 2.1.9 Peubah Acak Diskret Ghahramani 2005
Misalnya
Ω adalah ruang contoh, ℱ adalah medan- dari Ω dan S adalah
himpunan berhingga. Suatu fungsi ∶ Ω → disebut peubah acak diskret jika
memenuhi sifat untuk setiap ⊆ berlaku
{
Ω ∶
X }
ℱ
.
7
Definisi 2.1.10 Fungsi Kerapatan Peluang Grimmet Stirzaker 2001
Misalnya Ω
,
ℱ
,
adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang probability mass function dari peubah acak diskret X adalah fungsi
∶ ℝ →
[ 0,1]
yang didefinisikan oleh
= =
untuk setiap ℝ.
Definisi 2.1.11 Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret Grimmet Stirzaker 2001
Misalnya Ω
,
ℱ
,
adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi
,
:
ℝ →
[ 0,1]
yang didefiniskan oleh
,
, = =
, =
untuk setiap
,
ℝ.
Definisi 2.1.12 Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat Ross 2000
Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X jika diberikan
=
dengan
=
untuk setiap y adalah
|
| = =
, =
= .
Definisi 2.1.13 Bebas Stokastik Identik Hogg Craig 2005
Misalnya
, , …,
adalah barisan peubah acak yang memiliki fungsi kerapatan yang sama, yaitu
sehingga
= =
=
dan fungsi kerapatan bersamanya adalah
… .
Peubah acak
, , …,
disebut bebas stokastik identik.
Definisi 2.1.14 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Ghahramani 2005
Misalnya X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang
= =
, maka nilai harapan dari peubah acak X adalah
[ ] = .
8
Definisi 2.1.15 Fungsi Indikator Cassela Berger 1990
Misalnya A adalah suatu kejadian pada ruang peluang Ω
,
ℱ
,
. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi
∶ Ω →
{0,1}
yang didefinisikan oleh 1, jika
0, jika
A
A I
A
.
Definisi 2.1.16 Kontinu Absolut Billingsley 1995
Jika P dan adalah dua ukuran peluang pada Ω
,
ℱ . Ukuran peluang dikatakan
kontinu absolut ke ukuran peluang jika untuk setiap
ℱ
, = 0
mengakibatkan
= 0
, dinotasikan
≪ . Jika ≪ dan ≪ maka
kedua ukuran dikatakan ekivalen dan dinotasikan
≡ .
Teorema 2.1.17 Radon-Nikodym Billingsley 1995
Jika P dan adalah dua ukuran peluang pada Ω
,
ℱ sedemikian sehingga
≪ , maka terdapat peubah acak tak negatif
Λ sehingga
=
Λ untuk semua ℱ
, dinotasikan dengan
ℱ
=
Λ
.
2.2 Rantai Markov Definisi 2.2.1 Ruang State Grimmet Stirzaker 2001
Kategori