22
2025 2125
2225 2325
2425 2525
2625 2725
2825 2925
3025
Diagram point and figure dari harga saham tersebut ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut.
Keterangan:
X
menyatakan harga saham naik dan
O
harga saham turun
Gambar 3 Diagram point and figure harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010.
Berdasarkan prosedur konstruksi diagram PF tersebut, maka harga saham yang kecil dan tidak signifikan, yaitu yang berada dalam interval
− ∆
, +
∆ dapat dihilangkan dalam diagram PF. Analis teknikal menyebut
diagram PF sebagai filter yang hanya menampilkan informasi terpenting dari harga saham. Hal tersebut sesuai dengan kenyataan, walaupun saham
diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi investor hanya memperjualbelikannya pada waktu diskret, yaitu waktu ketika harga saham naik atau turun.
Portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Investor yang mengikuti portofolio PF akan
memperjualbelikan saham hanya pada waktu
{ :
ℕ
}
. Setiap waktu keputusan investor hanya berdasarkan pengamatan
, , …,
.
Sehingga optimasi portofolio PF adalah masalah pemilihan portofolio diskret.
3.2 Portofolio Point and Figure
Misalnya
{ :
0}
adalah harga aset bebas risiko dan
{ :
0}
adalah harga aset berisiko saham yang mempunyai dinamika Korn 1997:
= ,
0 = 1, =
[ +
] , 0,
∞
. H
ar ga
S aha
m R
upi ah
X X
O X
O X
X O
O X O
O O
O O
O X
X X
23 di mana
{ : 0}
adalah tingkat bunga aset bebas risiko,
{ : 0}
rataan tingkat return, dan
{ : 0}
volatilitas. Ketiganya adalah proses stokastik yang terukur dan adapted dalam ruang peluang
Ω
,
ℱ
,
dengan filtrasi lengkap
{ :
0}
adalah kontinu kanan dan
{ ,
: 0}
adalah gerak Brown. Misalnya
. , . ,
. , dan .
adalah terbatas,
.
adalah deterministik, dan
. 0
hampir pasti ∀
0.
Misalnya ℱ adalah filtrasi
lengkap yang dihasilkan oleh
{ :
0}.
ℱ menunjukkan informasi dari pengamatan atas harga saham sampai waktu t. Asumsikan
ℱ adalah satu-satunya informasi yang tersedia untuk investor pada waktu t. Berikut ini adalah beberapa
definisi terkait portoflio PF.
Definisi 3.2.1 Portofolio Elliott Hinz 2002
Suatu portofolio Θ
.
adalah pasangan Θ
. ,
Θ
.
dari
{
ℱ
: 0}
yang prosesnya terukur dan adapted dengan
Θ ∞ hampir pasti i = 0, 1
∀ . Dalam hal ini,
Θ menunjukkan jumlah unit aset ke-i i = 0,1 yang
dimiliki pada waktu t.
Definisi 3.2.2 Proses Kekayaan Korn 1997
Proses kekayaan investor yang bersesuaian dengan Θ
.
pada waktu t adalah
=
Θ
,
∀
0.
Definisi 3.2.3 Portofolio Self-Financed Korn 1997
Portofolio Θ
.
disebut self-financed pada waktu t, jika berlaku
= 0 +
Θ , ∀
t 0.
Self-financed adalah strategi perdagangan ketika pembelian terhadap sejumlah aset hanya didanai dari hasil penjualan aset portofolio.
Seorang investor dalam melakukan investasi akan memerhatikan tingkat kepuasan. Tingkat kepuasan tersebut tergantung dari tingkat return dan risiko
yang ditimbulkan dari proses investasi tersebut. Dalam ilmu ekonomi, tingkat kepuasaan diukur dengan fungsi utilitas. Fungsi utilitas mengukur tingkat
kekayaan investor di akhir periode perencanaan investasi.
24
Definisi 3.2.4 Fungsi Utilitas Korn 1997
Suatu fungsi
: 0,
∞ → ℝ dan
0,
∞ disebut fungsi utilitas jika fungsi
tersebut merupakan strictly concave, fungsi naik, dan merupakan fungsi turun
dengan
lim
→
= +
∞ dan
lim
→
= 0.
Selanjutnya definisikan ≔
min U, 0 ,
yaitu adalah bagian negatif dari
.
Optimasi portofolio adalah menentukan strategi perdagangan yang memaksimumkan
return pada
tingkat risiko
yang dapat
diterima. Memaksimumkan return dapat dipandang sebagai memaksimumkan fungsi
objektif dengan suatu kendala tertentu. Dalam penelitian ini, fungsi objektif investor berupa memaksimumkan nilai harapan utilitas dari kekayaan selama
horison waktu T periode perencanaan investasi. Fungsi objektif tersebut dapat dituliskan sebagai
sup
dengan kendala kekayaan yang dimiliki investor selama horison waktu adalah tak negatif.
Periode perencanaan investasi tersebut berupa waktu T yang kontinu sehingga saham harus diperdagangkan secara kontinu. Hal ini tidak mungkin
terjadi secara nyata dalam pasar dunia karena akan melibatkan biaya transaksi yang tinggi. Oleh karena itu, diperlukan sampling waktu yang menjadi ide pokok
dalam diagram PF. Sebelum membahas sampling waktu, terlebih dahulu didefinisikan proses harga didiskon.
Definisi 3.2.5 Proses Harga Didiskon Elliott Hinz 2002
Proses harga didiskon didefinisikan sebagai
= ,
∀ di mana
1
adalah faktor diskon.
Misalnya
1
, definisikan secara rekursif barisan hampir pasti berhingga pada
{
ℱ
: 0}
yang merupakan stopping time
{ :
ℕ
}
sebagai berikut.
25 ∶
= 0
, ∶
=
inf
: [ .
, .
] .
3.1 Definisikan proses waktu acak diskret oleh sampling
∶
= ,
∶
= ,
∶
= ,
∀ ℕ
.
3.
2
Diketahui bahwa proses ∶
ℕ memenuhi persamaan rekursif
= .
3.
3
di mana
{ :
1}
adalah proses stokastik yang mengambil nilai pada {d, u} dengan
= 1,
∀
1.
Berdasarkan definisi proses sampling waktu tersebut, kenaikan atau penurunan sampel harga dalam diagram PF tidak konstan sebesar
∆
.
Hal ini disebabkan perubahan selang kepercayaan dari
[
− ∆
, +
∆
]
menjadi
[ . ,
. ]
. Meskipun demikian, proses sampling waktu tersebut tetap memenuhi karakteristik diagram PF seperti yang diuraikan sebelumnya.
Berdasarkan proses sampling waktu tersebut selanjutnya akan didefinisikan portofolio PF sebagai berikut.
Definisi 3.2.6 Portoflio PF Elliott Hinz 2002
Suatu portofolio self-financed Θ
.
disebut portofolio PF jika ∀ berlaku
Θ ∶
=
Θ
[ ,
]
+
Θ
, ]
, = 0, 1
3.
4
di mana
{
Θ ∶ ℕ
}
dan
{
Θ ∶ ℕ
}
adalah adapted- dengan ∶
= :
:
ℕ
= :
:
ℕ , adalah fungsi
indikator pada himpunan A, dan
, , …,
adalah medan- lengkap yang
dibangkitkan oleh
, , …, .
Selanjutnya, jika Θ
.
adalah self-financed, maka kekayaan
.
memenuhi −
=
Θ
S
−
S ,
∀
k
ℕ
.
3.5
BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV
4.1 State dan Proses Observasi
Semua proses didefinisikan pada ruang peluang Ω
,
ℱ
,
. Misalnya
= { :
ℕ
}
adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen dan diasumsikan tidak diamati secara langsung, sedangkan
= { :
ℕ
}
adalah proses observasinya. Pasangan proses stokastik
{ ,
}
merupakan model Hidden Markov. Ruang state dari X adalah
= { ,
, …, }
dengan
= 0, …,0,1,0, …,0
adalah vektor satuan di ℝ , di mana hanya
elemen ke-i yang bernilai 1 dan lainnya 0.
Misalnya
{
ℱ
:
ℕ
}
adalah medan- lengkap yang dibangkitkan oleh
{ ,
, …, }
,
{ :
ℕ
}
adalah medan- lengkap yang dibangkitkan oleh
{ ,
, …, }
, dan
{ :
ℕ
}
adalah medan- lengkap yang dibangkitkan oleh
{ ,
, …, }
dan
{ ,
, …, }
. Karena X merupakan rantai Markov homogen, maka berdasarkan sifat rantai Markov diperoleh
=
│ℱ
= =
│
, , …,
= =
│
.
Lema 4.1.1 Elliott et al. 1995
, =
= .
Bukti:
Karena
, =
1, untuk
= 0,
untuk
≠ , maka
, =
, =
= =
. ■
Jika
= =
, maka vektor
= ,
, …,
merupakan nilai harapan dari X, yaitu
= [ ]
dan untuk X yang ergodic memenuhi
=
dan ∑
.
28
Lema 4.1.2 Elliott et al. 1995
Misalnya
= =
│
=
merupakan peluang transisi dan
=
×
adalah matriks peluang transisi yang memenuhi ∑
= 1
untuk semua
= 1,2, …, ,
maka │ℱ
=
│
= .
Bukti:
Misalnya
=
maka │
= =
=
│
=
= =
+ +
+ =
, , …,
= =
.
■ Jadi
│ℱ
=
│
, , …,
=
│
=
. 4.1
Didefinisikan ≔
−
,
dengan │
=
, maka │ℱ
=
│
, , …,
=
│
=
− │
=
│ −
│
=
│ −
│
=
−
= 0.
4.2 Sehingga dapat diperoleh suatu persamaan state
= +
. 4.3
Proses state X tidak diamati secara langsung namun terdapat proses observasi
= ,
,
ℕ di mana
{ }
adalah barisan peubah acak yang menyebar normal dengan nilai harapan nol dan ragam satu N0,1
yang bersifat bebas stokastik identik. Ruang state dari Y adalah
29
= { ,
, …, }
dengan
= 0, …,0,1,0, …,0
adalah vektor satuan di ℝ ,
di mana hanya elemen ke-j yang bernilai 1 dan lainnya 0. Lema 4.1.3 Elliott et al. 1995
Misalnya
=
×
adalah matriks
peluang transisi,
di mana
= =
│
=
dan memenuhi ∑
= 1
dan
1 ,
1 ,
maka │
=
│
= .
Bukti:
Misalnya
=
maka │
= =
=
│
=
= =
+ +
+ =
, , …,
= =
.
■ Jadi
│
=
│
=
. 4.4
Didefinisikan ≔
−
,
dengan │
= ,
maka │
=
− │
=
│ −
│
=
│ −
│
=
│ −
│
=
−
= 0.
Sehingga dapat diperoleh suatu persamaan observasi
= +
. 4.5
30
Notasi 4.1.4
Misalnya
= ,
dan
= ,
, …, ,
ℕ dengan ∑
= 1.
Misalnya
= |
. Untuk
= ,
maka
= |
= [
, |
= ]
= ,
= |
= =
= |
= =
= ,
= ,
+ ,
+ +
, +
+ ,
= ,
= ,
.
Misalnya
= ,
, …,
, maka
= [
| ] =
[ |
] = .
Lema 4.1.5 Elliott et al. 1995
=
diag
+
diag − diag
− −
dan ≔
[ |
ℱ
] = diag
−
diag ;
≔
[ |
] = diag
−
diag .
di mana diagz merupakan matriks diagonal yang unsur diagonalnya adalah vektor z dan unsur lainnya adalah nol.
Bukti: lihat Elliott et al. 1995
31 Berdasarkan pembahasan sebelumnya, maka diperoleh model hidden
Markov diskret Elliott et al. 1995 dalam ukuran peluang P dengan persamaan
di mana
, ,
=
×
dan =
×
merupakan matriks peluang transisi yang memenuhi
∑
= 1
dan
0,
dan ∑
= 1
dan
0.
dan memenuhi:
[ |
ℱ
] = 0, [
| ] = 0
; ≔
[ |
ℱ
] = diag
−
diag ;
≔
[ |
] = diag
−
diag .
4.2 Perubahan Ukuran
