38 Berdasarkan Lema 4.2.7, maka di bawah ukuran peluang P berlaku
[
−
| ] =
[ |
]
−
[ |
] =
−
[ |
] =
−
= 0.
Misalnya
=
− , maka
[ |
] = 0.
Jadi proses observasi dapat ditulis
= +
.
4.3 Pendugaan Rekursif
Untuk menduga parameter model hidden Markov, maka dibentuk suatu pendugaan rekursif dari state, banyaknya lompatan, lamanya waktu kejadian, dan
proses observasi. Dari Pasal 4.2 diperoleh bahwa di bawah ukuran peluang pada Ω
,
⋁ berlaku
= +
,
di mana pada
,
memenuhi
[ |
] = 0
dan
{ }
adalah bebas stokastik identik dengan
= =
, serta
dan saling bebas di bawah P dan .
Lema 4.3.1 Elliott et al. 1995
[ |
] = 0.
Bukti:
Dengan menggunakan Teorema 2.2.27 dan Lema 4.2.5 diperoleh
[ |
] = [ [
| ,
] | ]
= [ [
| ] |
] =
[ 0| ]
= 0.
■ Definisikan
= [
Λ
, |
]
untuk
1
ℕ
,
ℕ
.
4.14 Karena
, = 1, 1
,
maka berlaku
= [
Λ
, |
]
39
= [
Λ
, |
]
=
Λ
[ ,
| ]
= [
Λ
| ] .
4.15
Lema 4.3.2 Elliott et al. 1995
Untuk
= ,
, …,
maka
[
Λ
| ] ,
= ,
.
Bukti:
[
Λ
| ] ,
=
Λ
= |
,
=
Λ
= |
,
=
Λ
= |
= ,
=
Λ
, |
= =
, .
■
Notasi 4.3.3
Misalnya
{
∶ ℕ
}
merupakan barisan peubah acak bernilai skalar yang terintegralkan, notasikan
∶
= [
Λ
| ] .
4.16 Dengan menggunakan Lema 4.2.2 dan persamaan 4.16, maka
[ |
] = [
Λ
| ]
[
Λ
| ]
= 1
.
4.17 Sebagai nilai awal, diambil
= [
] .
Misalnya
1 = 1,1, …,1
ℝ , maka
40
, 1 = ,
= 1.
Akibatnya
, 1 = , 1
= .
4.18 Jika
= 1
, maka berdasarkan persamaan 4.15, 4.16, dan 4.18 diperoleh
1 = , 1 =
[
Λ
| ] =
4.19 Jika
1
pada persamaan 4.17 diketahui, maka faktor penormalan dapat dicari dengan menjumlahkan semua komponen
.
Notasi 4.3.4
Jika proses
{ :
ℕ
}
adapted- , notasikan
,
= [
Λ
| ] .
4.20
Notasi 4.3.5
Untuk penyederhanaan dinotasikan bahwa
=
4.21
Teorema 4.3.6 Elliott et al. 1995
Misalnya proses
{
∶ ℕ
}
bernilai skalar dan adapted- serta memenuhi
= +
, +
,
= +
, +
, +
+ ,
+ ,
= +
+ ,
+ ,
, 1,
di mana
=
−
, , ,
adalah proses predictable terhadap dan bernilai skalar,
merupakan vektor berdimensi N, dan merupakan vektor berdimensi M. Jika
1
dengan
= =
, , …,
adalah kolom ke-j dari matriks
=
dan
= =
, , …,
adalah kolom ke-j dari matriks
= ,
maka
41
,
=
,
+
,
+ ,
, +
diag −
Λ
, |
.
Bukti: lihat Jamal 2008
4.3.1 Pendugaan untuk State
Ambil
= =
= =
= 1, =
= = 0,
dengan menggunakan Teorema 4.3.6 dan Lema 4.3.1 maka penduga untuk state
didefinisikan sebagai
,
1 =
,
1 +
,
0 + 0, ,
+
diag −
Λ
, 0|
= ,
= ,
.
Jadi
,
1 = =
=
∑
, .
4.22
4.3.2 Pendugaan Banyaknya Lompatan
Banyaknya lompatan dari state ke state
sampai waktu ke-k didefinisikan sebagai
= ,
, .
Dengan menggunakan
= +
, maka menurut Jamal 2008 diperoleh
= +
, +
, ,
.
Ambil
= ,
= 0, =
, ,
= ,
, = 0,
maka dengan Teorema 4.3.6 dan Lema 4.3.1 diperoleh Jamal 2008
,
=
,
, +
,
.
4.2
3
42
4.3.3 Pendugaan Lamanya Waktu Kejadian
Misalnya menyatakan banyaknya kejadian di mana rantai Markov X
berada pada state
,1 ,
sampai waktu ke-k, maka didefinisikan
= ,
= ,
+ ,
= +
,
. Ambil
= ,
= 0, =
, ,
= = 0
, maka penduga untuk lamanya waktu kejadian adalah Jamal 2008
,
=
,
, +
, .
4.2
4
4.3.4 Pendugaan untuk Proses Observasi
Banyaknya kejadian bahwa berada pada state
, 1 ,
dan berada pada state
, 1 ,
sampai waktu ke-k didefinisikan oleh
= ,
,
dengan
1 , 1
.
Berdasarkan definisi tersebut, maka diperoleh
= ,
,
= ,
, +
, ,
=
+ ,
, =
+ ,
, .
Ambil
= ,
= 0, =
= 0, =
,
dan dengan menggunakan Teorema 4.3.6 dan Lema 4.3.1, maka penduga untuk proses
observasi diperoleh Jamal 2008
,
=
,
, +
, ,
. 4.2
5
43
4.4 Pendugaan Parameter
