14
Teorema 2.2.27 Sifat-Sifat Nilai Harapan Bersyarat Shreve 2004
Misalnya Ω
,
ℱ
,
adalah ruang peluang, adalah submedan- dari
ℱ, X, Y dan XY adalah peubah acak yang terintegralkan pada
Ω
,
ℱ
,
, dan adalah
konstanta, maka berlaku: 1.
│
= [ ]
;
2. Jika X terukur-
, maka │
= [ ] ;
3.
+
│
=
│
+
│ ; 4. Jika
, maka │
;
5.
Jika Y terukur- , maka
│
=
│ .
Definisi 2.2.28 Martingale Williams 1991
Misalnya
= {
∶ ℕ
}
adalah proses stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang
Ω
,
ℱ
,
, dan
{
ℱ ∶ ℕ
}
adalah filtasi dari ℱ. Proses stokastik X
disebut proses martingale jika berlaku: 1.
adalah adapted terhadap
{
ℱ ∶ ℕ
}
; 2.
[ | |]
∞
,
∀
;
3.
[ |
ℱ
] = ,
a.s
ℕ
.
Teorema 2.2.29 Representasi Martingale Williams 1991
Jika
{
∶ ℕ
}
adalah proses martingale yang terdefinisi pada ruang peluang Ω
,
ℱ
,
, dan
{
ℱ
:
ℕ
}
adalah filtasi dari ℱ, maka terdapat secara tunggal
proses
= { :
ℕ
}
yang predictable dengan
[ | |]
∞ dan proses martingale
= { :
ℕ
}
sehingga berlaku
= +
−
.
Definisi 2.2.30 Stopping Time Williams 1991
Misalnya Ω
,
ℱ
,
adalah ruang peluang dengan
{
ℱ
:
ℕ
}
adalah filtrasi dari ℱ. Suatu fungsi ∶ Ω → ℕ
{
∞
}
disebut stopping time dari proses stokastik
{
∶ ℕ
}
jika
{ } = {
Ω ∶
}
ℱ
,
∀ ∞
.
15
Definisi 2.2.31 Gerak Brown Karatzas Shreve 1987
Proses stokastik
{
∶ ℕ
}
yang adapted terhadap filtrasi
{
ℱ ∶ ℕ
}
disebut gerak Brown berdimensi satu jika berlaku:
1.
= 0;
2. untuk , peubah acak
− adalah saling bebas; 3. untuk
, berlaku −
~ 0,
−
.
2.3 Barisan Bilangan Real, Kekontinuan, dan Fungsi Concave Definisi 2.3.1 Medan Borel Hogg Craig 2005
Medan Borel adalah medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk
−∞
, ]
dengan ℝ, dinotasikan
ℝ .
Definisi 2.3.2 Barisan Bartle 1976
Suatu barisan
= { }
dari bilangan real adalah suatu fungsi dari ℕ himpunan
bilangan bulat positif ke ℝ himpunan bilangan real.
Definisi 2.3.3 Konvergen Hampir Pasti Grimmet Stirzaker 2001
Misalnya
, , …
adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω
,
ℱ
,
. Suatu barisan peubah acak
, , …
dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X, dinotasikan
.
untuk → ∞, jika ∀ berlaku
lim
→
|
−
| = 1.
Dengan kata lain, konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang sama dengan 1.
Definisi 2.3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Bartle 1976
Misalnya ⊂ ℝ,
ℝ disebut batas atas dari S jika
,
∀ , dan
ℝ disebut batas bawah dari S jika
,
∀
.
Himpunan S terbatas di atas jika memiliki batas atas, dan terbatas di bawah jika memiliki batas bawah. Jika
himpunan S memiliki batas atas dan batas bawah, maka himpunan S disebut terbatas.
16
Definisi 2.3.5 Supremum dan Infimum Bartle 1976
1. Suatu bilangan ℝ disebut supremum batas atas terkecil dari ⊂ ℝ jika
berlaku: a.
,
∀
;
b. jika
,
∀ , maka
.
2. Suatu bilangan ℝ disebut infimum batas bawah terbesar dari ⊂ ℝ jika
berlaku: a.
,
∀
;
b. jika
,
∀ , maka
.
Definisi 2.3.6 Himpunan Konveks Royden 1988
Misalnya ⊂ ℝ adalah himpunan vektor. K disebut himpunan konveks jika
untuk semua
,
maka
+ 1
− untuk
1.
Selanjutnya,
{
∶
= + 1
−
}
disebut segmen garis yang menghubungkan dan . K adalah himpunan konveks jika untuk setiap
,
di K, maka segmen garis yang menghubungkan dan juga terletak di K.
.
Definisi 2.3.7 Fungsi Concave Royden 1988
Misalnya f adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan konveks K. Fungsi f disebut fungsi concave jika untuk semua
,
dan
1
berlaku
+ 1
−
+ 1
−
.
Sedangkan jika untuk semua
,
dengan ≠ dan
1
berlaku
+ 1
−
+ 1
− maka f disebut strictly concave.
Definisi 2.3.8 Kekontinuan Purcell Varberg 1999
Suatu fungsi f disebut kontinu pada bilangan c jika berlaku
lim .
x c
f x f c
Fungsi f disebut kontinu kanan pada bilangan c jika berlaku
lim ,
x c
f x f c
sedangkan fungsi f disebut kontinu kiri pada bilangan c jika berlaku
lim .
x c
f x f c
Fungsi f disebut kontinu pada interval I jika f kontinu pada
17 bilangan c untuk semua
.
Himpunan fungsi-fungsi yang kontinu pada interval I dinotasikan sebagai
.
Definisi 2.3.9 Fungsi Naik dan Fungsi Turun Purcell Varberg 1999
Misalnya
,
ℝ. 1. Fungsi f dikatakan fungsi naik, jika
maka
.
2. Fungsi f dikatakan fungsi turun, jika maka
.
2.4 Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam Definisi 2.4.1 Ruang Vektor Anton 1997
