31 Berdasarkan pembahasan sebelumnya, maka diperoleh model hidden
Markov diskret Elliott et al. 1995 dalam ukuran peluang P dengan persamaan
di mana
, ,
=
×
dan =
×
merupakan matriks peluang transisi yang memenuhi
∑
= 1
dan
0,
dan ∑
= 1
dan
0.
dan memenuhi:
[ |
ℱ
] = 0, [
| ] = 0
; ≔
[ |
ℱ
] = diag
−
diag ;
≔
[ |
] = diag
−
diag .
4.2 Perubahan Ukuran
Perubahan ukuran peluang dilakukan dengan mengubah ukuran peluang menjadi ukuran peluang baru. Dari ukuran peluang baru tersebut akan
diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym.
Di bawah ukuran peluang P pada Ω
,
⋁
,
di mana ⋁
adalah medan- yang dibangkitkan oleh medan-
{ :
ℕ
}
berlaku: 1.
= {
∶ ℕ
}
merupakan rantai Markov yang homogen dan memenuhi
= +
dan
[ |
ℱ
] = 0;
2.
= {
∶ ℕ
}
merupakan proses
observasi yang
memenuhi
= +
,
[ |
] = 0
, dan adalah peubah acak yang
bergantung pada
.
Akan dikonstruksi ukuran peluang baru pada Ω
,
⋁ yang kontinu
absolut terhadap ukuran peluang asal P, sehingga di bawah berlaku:
= +
= +
,
ℕ 4.6
32 1.
= {
∶ ℕ
}
merupakan rantai Markov yang homogen dengan ruang state
= { ,
, …, }
dan memenuhi
= +
dan
[ |
ℱ
] = 0;
2.
= {
∶ ℕ
}
merupakan barisan peubah acak diskret dengan ruang state
= { , , …,
}
yang bersifat bebas stokastik identik dan menyebar seragam dengan
= =
, 1
; 3.
dan saling bebas.
Misalnya ukuran peluang baru pada
Ω
,
⋁ yang dibatasi oleh
turunan Radon-Nikodym
=
Λ
.
Definisikan λ
= 1
, ,
4.8 di mana
0, 0, 1
,
ℕ
.
Definisikan Λ
=
λ
.
4.9
Karena
= ,
= 1,
= 0,
≠
,
maka λ adalah fungsi tak linear dari
sehingga dapat ditulis
= =
.
4.10
Lema 4.2.1 Elliott et al. 1995
Dengan menggunakan definisi di atas, maka
[ |
] = 1.
Bukti:
[ |
] = 1
= 1
1 = 1|
4.7
33
= 1
1 .
= 1.
■
Teorema 4.2.1 Teorema Bersyarat Bayes Elliott et al. 1995
Misalnya Ω
,
ℱ
,
merupakan ruang peluang dan submedan- dari
ℱ
.
Misalnya ukuran peluang lain yang kontinu absolut terhadap P dengan turunan Radon-
Nikodym
=
Λ. Jika adalah sebarang peubah acak yang terintegralkan dan
terukur-
ℱ, maka
[ | ] = [
Λ |
] [
Λ
| ] .
Bukti: lihat Elliott et al. 1995 Lema 4.2.2 Elliott et al. 1995
Jika
{ :
ℕ
}
adalah barisan peubah acak yang terintegralkan dan adapted-
, maka
| =
Λ |
[
Λ
| ]
.
Bukti: lihat Elliott et al. 1995 Lema 4.2.3 Elliott et al. 1995
Di bawah ukuran peluang ,
{
∶ ℕ
}
merupakan barisan peubah acak yang bebas stokastik identik yang menyebar seragam dengan peluang
1 M
untuk setiap
, 1 .
Bukti:
Dengan menggunakan nilai harapan di bawah ukuran peluang , Lema 4.2.1, dan Lema 4.2.2 maka
= 1| =
, |
=
Λ
, |
[
Λ
| ]
=
Λ
, |
[
Λ
| ]
=
Λ
, |
Λ
[ |
] , kar ena
Λ
ter ukur -
34
= ,
| [
| ]
= ,
| =
1 ,
|
= 1
, |
= 1
| =
1 .
= 1
= = 1
■
Lema 4.2.4 Elliott et al. 1995
Di bawah ukuran peluang berlaku
[ |
] =
.
Bukti:
Dengan menggunakan Notasi 4.1.4, Lema 4.2.1, Lema 4.2.2 , dan Lema 4.2.3 diperoleh
[ |
] = [
Λ
| ]
[
Λ
| ]
= [
Λ
| ]
[
Λ
| ]
=
Λ
[ |
]
Λ
[ |
] kar ena
Λ
ter ukur - =
[ |
] [
| ]
= [
| ]
= 1
|
35
= 1
| =
1 [
| ]
= 1
[ |
]
= 1
| [
| ]
= 1
= 1| [
| ]
= 1
1 [
| ]
= [
| ]
= [
|
ℱ
, ]
= [
|
ℱ
] =
.
■ Jadi, di bawah ukuran peluang , proses
= {
∶ ℕ
}
adalah rantai Markov dengan matriks peluang transisi A.
Lema 4.2.5 Elliott et al. 1995
Di bawah ukuran peluang berlaku
[ |
] = 0
.
Bukti:
Berdasarkan Lema 4.2.4 diperoleh
[ |
] = [
−
| ]
= [
| ]
−
[ |
] =
[ |
]
−
[ |
] =
−
[ |
ℱ
] =
−
[ |
] =
−
= 0.
■
36 Dari hasil sebelumnya diperoleh bahwa di bawah ukuran peluang pada
Ω
,
⋁ berlaku:
1. Proses
= {
∶ ℕ
}
adalah rantai Markov dengan matriks peluang transisi A,
[ |
] = 0
; 2.
{
∶ ℕ
}
adalah barisan peubah acak diskret yang bersifat bebas stokastik identik dan menyebar seragam dengan
= =
, = 1,2, . . , .
Misalnya
= , 1
, 1
adalah matriks peluang transisi sehingga
dan ∑
= 1.
Akan dikonstruksi ukuran peluang P pada Ω
,
⋁ sehingga di bawah P model 4.6 dipenuhi dan berlaku
[ |
] = .
Misalnya
=
dan
= ,
= ,
, sehingga berlaku ∑
= 1.
Untuk mengkonstruksi P dari adalah kebalikan dari menentukan dari P. Didefinisikan
dan
Λ yang berturut-turut merupakan invers dari dan Λ ,
yaitu
=
∏
,
ℕ
,
4.11 Λ
=
∏ ̅
,
dan 4.1
2
=
Λ
.
4.1
3
Lema 4.2.6 Elliott et al.1995
Dengan menggunakan definisi di atas berlaku ̅
| = 1.
Bukti:
Dengan menggunakan Lema 4.2.3 diperoleh ̅
| =
=
37
= = 1|
= 1
= = 1.
■ Lema 4.2.7 Elliott et al. 1995
Di bawah ukuran peluang P berlaku
[ |
] = .
Bukti:
Dengan menggunakan Lema 4.2.6 diperoleh
[ |
] = = 1|
= ,
| =
Λ
, |
[
Λ
| ]
=
λ
, |
λ
| =
λ
, |
= ,
|
= ,
| =
, |
= ,
| =
| =
1 =
= .
■
38 Berdasarkan Lema 4.2.7, maka di bawah ukuran peluang P berlaku
[
−
| ] =
[ |
]
−
[ |
] =
−
[ |
] =
−
= 0.
Misalnya
=
− , maka
[ |
] = 0.
Jadi proses observasi dapat ditulis
= +
.
4.3 Pendugaan Rekursif
