43
4.4 Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter model hidden Markov dilakukan dengan pendugaan ulang parameter. Metode yang digunakan adalah algoritme EM. Hasilnya berupa
parameter dalam bentuk pendugaan rekursif.
4.4.1 Maksimum Likelihood
Misalnya
{
∶ Θ
}
adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada
Ω
,
ℱ dan kontinu absolut terhadap
.
Misalnya ⊂ ℱ
,
Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter berdasarkan informasi
adalah
= ,
dan Maximum Likelihood Estimation MLE didefinisikan sebagai arg
max .
4.4.2 Expectation Maximization
Pada umumnya MLE sulit dihitung secara langsung sehingga digunakan metode rekursif yaitu dengan algoritme EM.
Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah sebagai berikut. 1. Set nilai awal parameter
dengan k = 0; 2. Set
∗
=
dan hitung
. ,
∗
dengan
,
∗
=
∗ ∗
;
3. Cari arg
max ,
∗
;
4. Ganti k dengan k + 1 dan ulangi langkah ke 2 sampai langkah ke 4 hingga kriteria penghentian tercapai.
Parameter yang digunakan pada model dalam persamaan 4.6 adalah
= , 1
, ,
, 1 , 1
.
Dengan menggunakan algoritme EM akan ditentukan himpunan parameter baru,
= , 1
, ,
̂
, 1 , 1
,
yang memaksimumkan fungsi log-likelihood bersyaratnya.
44
4.4.3 Pendugaan Parameter Notasi 4.4.3.1
Untuk proses
{
∶ ℕ
}
ditulis
= [
| ] .
Dalam waktu diskret kondisi ini mendefinisikan -optionalprojection. Untuk mengganti parameter
dengan pada rantai Markov X, didefinisikan
=
, ,
,
Λ
= ,
dan ℱ
=
,
Λ
.
4.26
Lema 4.4.3.2 Elliott et al. 1995
Di bawah ukuran dan misalnya
= ,
maka
[ ,
|
ℱ
] = .
Bukti: lihat Jamal 2008 Teorema 4.4.3.3 Elliott et al. 1995
Penduga yang baru untuk pada waktu pengamatan k diberikan oleh
= =
.
4.
27
Bukti: lihat Jamal 2008
4.4.4 Pendugaan Parameter
Untuk mengganti parameter dengan
̂ pada matriks C,
didefinisikan
=
̂
, ,
,
Λ
= ,
dan ℱ
=
Λ
.
4.28
Lema 4.4.4.1 Elliott et al. 1995
Di bawah ukuran dan Misalnya
= ,
maka
[ ,
| ] =
̂
.
Bukti: lihat Jamal 2008
45
Teorema 4.4.4.2 Elliott et al. 1995
Penduga maksimum likelihood untuk parameter ̂
pada waktu pengamatan k diberikan oleh
̂
= =
.
4.2
9
Bukti: lihat Jamal 2008
4.4.5 Menentukan Nilai
Nilai harapan Y adalah
= [
| ]
= =
|
= =
, =
|
= =
| =
= |
= =
|
= .
4.3
4.5 Algoritme Pendugaan Parameter
Kategori