Arithmetic Gradient

4.4. Arithmetic Gradient

periode ke periode berikutnya maka disebut juga uniform gradient. Misalnya, apabila manajemen sebuah pabrik memperkirakan bahwa biaya perbaikan dan pemeliharaan

mesin-mesin produksi akan meningkat sebesar Rp 15 juta setiap tahun, maka perhitungan biaya melibatkan arus kas yang meningkat secara seragam setiap tahun. Apabila diperkirakan bahwa pabrik akan mengalami penurunan pendapatan sebesar Rp 25 juta per tahun beberapa tahun ke depan akibat masuknya kompetitor baru, maka kita diperhadapkan pada suatu aliran kas yang besarnya menurun dalam jumlah yang tetap setiap tahun (negative gradient) selama periode tersebut.

Dalam mengembangkan formula untuk aliran kas yang berubah secara seragam dari satu periode ke periode berikutnya, umumnya diasumsikan bahwa aliran kas (pendapatan atau pengeluaran) pada tahun pertama merupakan aliran kas dasar (base payment atau base income) yang didalamnya tidak mengandung gradien. Aliran kas pada periode kedua dan seterusnya merupakan gabungan antara aliran kas dasar dan besarnya perubahan yang merupakan kelipatan dari gradien. Diagram cash flow untuk aliran kas yang nilainya berubah dalam jumlah yang tetap setiap periode serta diagram cash flow ekuivalennya dapat dilihat pada Gambar (4.4).

lkpp

Gambar 4.4. Diagram untuk aliran kas dalam bentuk arithmatic gradient serta diagram aliran kas ekuivalennya. Gambar 4.4 memperlihatkan bahwa alirankas

dimasa yang akan datang (F) dari suatu aliran kas yang berubah dalam jumlah yang unhas

yang nilainya berubah dalam jumlah yang tetap dari satu periode ke periode berikutnya dapat diwakili oleh dua diagram aliran kas, dimana diagram pertama menggambarkan aliran kas seragam dan diagram kedua menggambarkan aliran kas yang berubah dalam jumlah yang seragam (G). Dengan demikian, nilai ekuivalen saat ini (P) dan nilai ekuivalen pada satu titik waktu

tetap dari satu periode ke periode berikutnya dapat dihitung sebagai berikut:

P = PA PG = A(P / A,i%, n) G(P /G,i%, n) (4.21)

F = FA FG = A(F / A,i%, n) G(F /G,i%,n) (4.22)

dimana suku pertama pada ruas sebelah kanan mewakili kontribusi dari serangkaian aliran kas seragam (A) sedang suku kedua mewakili kontribusi dari aliran kas yang berubah dalam jumlah yang tetap (G). Formula untuk menghitung nilai beberapa faktor yang berhubungan dengan aliran kas seragam seperti uniform series present worth factor (USPWF) yang digunakan untuk menghitung nilai sekarang (P) dan uniform series compound amount factor (USCAF) yang digunakan untuk menghitung nilai yang akan datang (F) dari suatu aliran kas seragam telah diturunkan pada bagian sebelumnya. Formula untuk menghitung nilai faktor-faktor yang berhubungan dengan arithmatic gradient atau uniform gradient akan diturunkan pada bagian ini. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan berbagai formula yang telah diturunkan sebelumnya seperti formula single payment present worth factor (SPPWF), single payment compoundamount factor (SPCAF), uniform series present worth factor (USPWF), dan

uniform series compound amount factor (USCAF) sebagai dasar formulasi. Dengan menggunakan formula nilai sekarang (present worth) dari suatu aliran kas tunggal, total nilai sekarang dari serangkaian aliran kas seperti terlihat pada diagram ketiga pada Gambar 4.4 dapat dihitung sebagai berikut.

lkpp

P = 0 G(P / F,i%, 2) 2G(P / F,i%,3) 3G(P / F,i%,4) .... (n 1)G(P / F,i%,n)

Perlu diperhatikan bahwa formulasi di atas didasarkan pada perhitungan nilai sekarang (P) dari aliran kas yang akan terjadi dimasa yang akan datang (F). Dalam hal ini, nilai kelipatan dari gradient (G) dipandang sebagai aliran kas yang akan terjadi pada masa yang akan datang. Perlu juga diperhatikan bahwa formulasi di atas didasarkan pada aliran kas pada diagram ketiga dalam Gambar 4.4 yang memiliki nilai 0 pada akhir tahun pertama, 1G pada akhir tahun kedua, 2G pada akhir tahun ketiga, 3G pada akhir tahun keempat, 4G pada akhir tahun kelima, dan (n-1)G pada

akhir tahun ke-n. Apabila notasi single payment present worth factor (P/F, i%, n) unhas

pada formulasi di atas disubstitusi dengan formula single payment present worth factor pada Persamaan 4.2, maka diperoleh:

Persamaan (4.23) dapat disederhanakan sebagai berikut:

Apabila kedua sisi dikalikan dengan (1+i), maka akan diperoleh Persamaan (4.25).

Penyederhanaan selanjutnya dapat dilakukan dengan mengurangkan Persamaan (4.24) dari Persamaan (4.25) sehingga diperoleh formulasi berikut:

lkpp

Perlu diingat bahwa deret yang berada dalam tanda kurung besar pada formulasi di atas adalah uniform series present worth factor pada Persamaan (4.7) dan bentuk sederhananya disajikan pada Persamaan (4.10). Dengan demikian, persamaan di atas dapat ditulis menjadi:

unhas

dimana faktor yang terdapat di dalam tanda kurung besar dikenal dengan nama arithmetic gradient present worth factor dan ditulis dengan notasi standar (P/G, i%, n). Oleh karena itu, untuk suatu aliran kas yang mengandung komponen aliran kas seragam dan aliran kas yang berubah dalam jumlah yang tetap dari satu periode ke periode berikutnya, persamaan untuk menghitung nilai sekarang (P) dari alirankas tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

Perlu dicatat bahwa persamaan-persamaan yangtelah diturunkan di atas hanya berlaku apabila aliran kas dapat diwakili oleh komponen aliran kas seragam yang terjadi setiap akhir periode, mulai dari tahun pertama hingga tahun ke-n, dan gradient mulai pada akhir tahun kedua hingga tahun ke-n seperti terlihat pada Gambar 4.4.

tahun ke depan. Asumsikan tingkat suku bunga sebesar 12% per tahun. lkpp

Contoh 4.12

Hasil analisis perkiraan pendapatan sebuah industri yang baru dirintis menunjukkan bahwa total pendapatan akan meningkat sebesar Rp 35 juta per tahun mulai tahun ini hingga lima tahun yang akan datang. Apabila total pendapatan tahun ini diperkirakan sebesar Rp 175 juta, hitung nilai sekarang dari keseluruhan pendapatan selama lima

Penyelesaian:

unhas

Diagram total pendapatan setiap tahun selama lima tahun ke depan serta diagram aliran kas ekuivalennya dapat dilihat pada gambar di bawah. Dengan menggunakan Persamaan (4.27), nilai sekarang dari perkiraan total pendapatan dalam lima tahun ke depan dapat dihitung sebagai berikut :

lkpp

Dengan menggunakan tabel faktor bunga, diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

Dapat dilihat bahwa terdapat sedikit perbedaan antara hasil perhitungan langsung dari Persamaan (4.27) dengan hasil perhitungan berdasarkan nilai (P/A) dan (P/G) dari

tabel faktor bunga. Perbedaan tersebut diakibatkan oleh pembulatan nilai-nilai factor dalam tabel faktor bunga. Perlu diperhatikan bahwa Persamaan (4.21) dan (4.27) berlaku apabila perubahan aliran kas bernilai positif, yaitu aliran kas meningkat dalam jumlah yang tetap dari satu periode ke periode berikutnya. Apabila perubahan tersebut bernilai negatif (nilai aliran kas menurun), Persamaan (4.21) dan (4.27) menjadi:

unhas

Contoh 4.13

Indotama Textile melakukan penggantian mesin tenun secara bertahap dalam lima tahun kedepan untuk mengurangi waktu tidak beroperasinya mesin (machine downtime) akibat kerusakan. Penggantian mesin secara bertahap tersebut juga akan mengurangi secara bertahap biaya pemeliharaan dan perbaikan. Hitung nilai ekuivalen saat ini (P) dari biaya perbaikan dalam lima tahun kedepan apabila perkiraan biaya perbaikan seperti terlihat padaTabeldi bawah. Asumsikan i = 10% per tahun.

Tahun

Biaya Perbaikan

lkpp

Penyelesaian:

Diagram aliran kas untuk proyeksi biaya pemeliharaan dan perbaikan dapat digambarkan sebagai berikut:

unhas

Dengan demikian,nilai

biaya perawatan dan perbaikan selama lima tahun ke depan adalah Rp 646,1133 juta. Metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung nilai P adalah dengan menghitung nilai sekarang dari biaya pemeliharaan dan perbaikan setiap tahun kemudian menjumlahkan hasilnya. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan Persamaan (4.3).

sekarang dariperkiraan

Dapat dilihat dari hasil perhitungan bahwa kedua cara perhitungan memberikan hasil yang sama. Dengan demikian, formulasi yang diturunkan untuk arithmatic gradient sudah tepat.

lkpp

Hubungan antara nilai gradient (G) dengan nilai yang akan datang (F) dapat diturunkan dengan menggunakan Persamaan (4.2) dan Persamaan (4.26). Dari kedua persamaan tersebut diketahui bahwa:

Faktor yang terdapat dalam tanda kurung besar pada Persamaan (4.30) dikenal dengan nama arithmetic gradient compound unhas amount factor atau arithmetic gradient future worth factor. Perlu diingat bahwa nilai F yang dihitung pada Persamaan (4.30) hanya

didasarkan pada komponen gradient dari suatu aliran kas yang berubah dalam jumlah yang tetap dari satu periode ke periode berikutnya. Oleh karena itu, untuk suatu aliran kas yang dapat dibagi menjadi komponen aliran kas seragam dan komponen aliran kas yang mewakili gradient (G) seperti terlihat pada Gambar 4.4, persamaan untuk menghitung nilai yang akan datang (F) dari aliran kas tersebut dapat ditulis seperti terlihat pada Persamaan (4.31).

Perlu pula diperhatikan bahwa Persamaaan (4.22) dan (4.31) hanya berlaku apabila nilai aliran kas meningkat dalam jumlah yang tetap dari satu periode ke periode berikutnya (positive gradient). Apabila nilai aliran kas menurun setiap periode (negative gradient), Persamaan (4.22) dan (4.31) masing-masing berubah menjadi:

lkpp

Contoh 4.14

Untuk aliran kas pada Contoh 4.12, hitung nilai ekuivalen aliran kas tersebut pada akhir tahun kelima.

Penyelesaian:

Diagram aliran kas pada Contoh 4.12 dimodifikasi untuk memperlihatkan bahwa nilai yang akan dihitung adalah nilai F.

unhas

Untuk membuktikan kebenaran formulasi danhasil perhitungan,

F dapat juga dihitung dengan menggunakan Persamaan (3.6) yaitu dengan mengalikan nilai P yang diperoleh pada Contoh 4.12 dengan nilai dari single payment compound amount factor.

nilai

Contoh 4.15

lkpp

Untuk soal pada Contoh 4.13, hitung nilai ekuivalen dari biaya pemeliharaan dan perbaikan pada akhir tahun kelima sejak dimulainya kegiatan penggantian mesin.

Penyelesaian:

Diagram aliran kas untuk menghitung nilai F dari biaya pemeliharaan dan perbaikan

mesin selama lima tahun ke depan digambarkaan sebagai berikut.

unhas

Nilai F dapat dihitung dengan menggunaakan Persamaan (4.33)

Hasil di atas menunjukkan bahwa biaya pemeliharaan dan perbaikan selama lima tahun ke depan ekuivalen dengan Rp 1.040.572.000 lima tahun yang akan datang.

Selain menggunakan Persamaan (4.33), nilai F dapat juga dihitung dengan menjumlahkan nilai yang akan datang dari biaya pemeliharaaan dan perbaikan pada masing-masing tahun dengan menggunakan Persamaan (3.6). Perlu diperhatikan pada diagram aliran kas bahwa jarak antara akhir tahun pertama dengan akhir tahun kelima adalah empat tahun (n=4), jarak antara akhir tahun kedua dengan akhir tahun kelima adalah tiga tahun (n=3), jarak antara akhir tahun ketiga dengan akhir tahun kelima adalah dua tahun (n=2), dan jarak antara akhir tahun keempat dengan akhir tahun kelima adalah satu tahun (n=1). Waktu perhitungan biaya perawatan dan perbaikan pada tahun kelima bertepatan dengan waktu perhitungan nilai F sehingga jarak waktu antara perhitungan biaya perawatan pada tahun kelima dengan perhitungan nilai F adalah nol (n=0). Nilai-nilai ini digunakan pada Persamaan (3.6) sebagai berikut.

lkpp

Hasil di atas menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh dengan menggunakan Persamaan (4.33) dan Persamaan (3.6) sama.

unhas

Hubungan antara nilai gradient (G) dengan nilai aliran kas seragam (A) dapat diturunkan dengan menggunakan Persamaan (4.10) dan Persamaan (4.26). Dari kedua persamaan tersebut diketahui bahwa:

seingga

Faktor yang terdapat dalam tanda kurung besar pada Persamaan (4.34) dinamai arithmetic gradient uniform series factor dan uniform gradient annual worth factor dan ditulis dengan notasi (A/G, i%, n). Perlu pula dicatat bahwa nilai A yang dihitung pada Persamaan (4.34) hanya didasarkan pada komponen gradient dari suatu aliran kas yang berubah dalam jumlah yang tetap dari satu periode ke periode berikutnya. Oleh karena itu, untuk suatu aliran kas yang dapat diwakili oleh komponen aliran kas seragam (base payment atau base income) dan komponen aliran kas yang mewakili gradient seperti terlihatpada Gambar

4.4, persamaan untuk menghitung nilai ekuivalen pembayaran seragam (A) dari aliran kas tersebut dapat ditulis seperti terlihat pada Persamaan (4.35).

Pada Persamaan (4.35), A' adalah komponen dari aliran kas yang diwakili oleh aliran lkpp

kas dasar (base payment atau base income) yang didalamnya tidak mengandung gradient. Nilai dari aliran kas dasar ini diambil dari besarnya pembayaran atau penerimaan pada periode pertama. Perlu dicatat bahwa Persamaan (4.35) berlaku apabila nilai aliran kas meningkat dalam jumlah yang sama (positive gradient) dari satu periode ke periode berikutnya. Apabila nilai dari aliran kas menurun dalam jumlah yang tetap (negative gradient) dari satu periode ke periode berikutnya, persamaan yang dapat digunakan untuk menghitung nilai A adalah sebagai berikut.

unhas

Contoh 4.16

Untuk aliran kas pada Contoh 4.12, hitung nilai ekuivalen seragam setiap periode (annual uniform worth) dari aliran kas tersebut.

Penyelesaian:

Aliran kas dasar (base payment)

Dengan menggunakan Persamaan (4.36), diperoleh:

Dengan menggunakan nilai faktor A/G pada tabel faktor bunga, diperoleh:

lkpp

Kebenaran formulasi dan hasil perhitungan dapat diverfikasi dengan menghitung nilai ekuivalen pada tahun ke-nol (P) dan nilai ekuivalen pada akhir tahun kelima (F) berdasarkan nilai aliran kas seragam (A) yang diperoleh. Hasil dari masing-masing perhitungan harus sama dengan hasil yang diperoleh pada Contoh 4.12 dan 4.13. Dari Persamaan (4.10):

unhas

Dengan menggunakan tabel faktor bunga:

Dari Persamaan (4.19):

Dengan menggunakan tabel faktor bunga:

Contoh 4.17

Untuk soal pada Contoh 4.13, hitung nilai ekuivalen seragam setiap periode (annual uniform worth) dari biaya pemeliharaan dan perbaikan.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan Persamaan (4.36):

menggunakan Persamaan (4.14) dan nilai P yang diperoleh pada Contoh 4.13 atau lkpp

Selain menggunakan Persamaan (4.36), nilai A dapat juga dihitung dengan

dengan menggunakan Persamaan (4.20) dan nilai F yang diperoleh pada Contoh 4.15.

Dengan menggunakan Persamaan (4.20) dan nilai F = Rp 1.040.572.000, unhas

Dengan menggunakan Persamaan (4.14) dan nilai P = Rp 646.113.300,

Hasil-hasil perhitungan pada Contoh

4.12, 4.14, dan 4.16 menunjukkan hasil yang konsisten, demikian juga dengan hasil perhitungan pada Contoh 4.13, 4.15, dan 4.17.