Hubungan antara pembayaran atau penerimaan seragam setiap periode (A) dengan nilai yang akan datang (F)

4.3. Hubungan antara pembayaran atau penerimaan seragam setiap periode (A) dengan nilai yang akan datang (F)

Pada bagian sebelumnya, kita telah membahas hubungan antara pembayaran atau penerimaan seragam setiap periode dengan nilai sekarang dari total angsuran seragam tersebut. Pada bagian ini kita akan membahas hubungan antara pembayaran atau penerimaan seragam setiap periode (A) dengan nilai yang akan datang (F) dari total angsuran seragam yang dibayar atau diperoleh setelah pembayaran atau penerimaan terakhir terjadi. Diagram hubungan antara A dan F dapat digambarkan seperti terlihat pada Gambar 4.2.

lkpp

Gambar 4.2. Hubungan antara pembayaran atau penerimaan seragam (A) dengan nilai yang akan datang (F).

Berdasarkan diagram arus kas pada Gambar 4.2, dapat dilihat bahwa pembayaran dari suatu angsuran seragam dilakukan pada setiap akhir periode dan nilai F dihitung tepat pada saat pembayaran terakhir dilakukan. Dengan demikian, nilai F dapat dihitung dengan menjumlahkan nilai yang akan datang dari semua angsuran yang dibayarkan setiap akhir periode. Dengan mengasumsikan unhas bahwa setiap angsuran merupakan sebuah pembayaran tunggal (single payment), maka persamaan yang diturunkan untuk menggambarkan hubungan antara nilai sekarang (P) dengan nilai yang akan datang

(F) dapat digunakan untuk menghitung nilai F dari masing-masing angsuran seragam yang dibayarkan setiap akhir periode. Apabila angsuran dilakukan selama n periode, hubungan antara A dengan F dapat dilihat pada Gambar (4.3).

Gambar 4.3. Diagram cash flow dan nilai ekuivalen dari setiap angsuran.

lkpp

Berdasarkan diagram aliran kas pada Gambar (4.3), maka nilai F dapat dihitung sebagai berikut:

unhas

Apabila kedua ruas pada Persamaan (4.16) diatas dikalikan dengan (1+i) maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

dan apabila Persamaan (4.16) dikurangi dari Persamaan (4.17) maka akan diperoleh:

Dari Persamaan (4.18) dapat diperoleh persamaan yang menggambarkan hubungan

Faktor yang terdapat dalam tanda kurung besar padapersamaan di atas dikenal dengan nama uniform series compund amount factor (USCAF) danditulis

dengan notasi standar (F/A, i%, n). Persamaan (4.19) dapat digunakan untuk menghitung nilai

F apabila nilai angsuran seragam (A), tingkat suku bunga per periode (i), dan jumlah periode (n) diketahui. Sesungguhnya, Persamaan (4.19) dapat juga diperoleh dengan menggabungkan Persamaan (4.2) dan (4.10) sebagai berikut:

Dari kedua persamaan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

lkpp

Sehingga,

Contoh 4.9

Misalkan anda menabung secara rutin sebesar Rp 100 ribu setiap bulan selama sepuluh tahun pada sebuah bank yang memberlakukan tingkat suku bunga nominal sebesar 6% per tahun. Hitung: (a) nilai tabungan pada rekening tersebut tepat setelah anda melakukan setoran yang terakhir pada tahun ke sepuluh, dan (b) nilai tabungan pada rekening

unhas

tersebut apabila anda mempertahankan rekening tersebut tanpa melakukan penyetoran dan penarikan selama sepuluh tahun berikutnya.

Penyelesaian:

Tingkat suku bunga per bulan (i) = 6/12 = 0.5%

Jumlah periode penyetoran tabungan (n) = 12 x 10 = 120

a) Jumlah tabungan dalam rekening tepat setelah dilakukan setoran terakhir pada tahun ke sepuluh:

Dengan menggunakan fungsi FV(rate, nper, pmt, [pv], [type]) dalam Excel, yang dieksekusi dengan menggunakan perintah dan input =FV(0.5%, 120, 100000), diperoleh nilai yang sama.

b) Jumlah tabungan dalam rekening sepuluh tahun berikutnya (120 periode pembungaan):

F = P (1 i)n = Rp 16.387.934,68 x (1 0.005)120 = Rp 29.816.154,84 Nilai yang sama akan diperoleh dengan menggunakan fungsi FV dalam Excel

dengan input sebagai berikut: FV(0.5%, 120, 0, 16387934.68). Persamaan (4.19) dapat dimodifikasi sehingga dapat digunakan untuk menghitung nilai A apabila nilai equivalen di masa yang akan datang (F), tingkat suku bunga (i), dan jumlah periode (n) diketahui.

Pada Persamaan (4.20), faktor yang terdapat dalam tanda kurung besar dikenal dengan nama uniform series sinking fund factor (USSFF) atau secara singkat dinamai sinking fund factor dan ditulis dengan notasi standar (A/F, i%, n). Nilai faktor ini lkpp dapat diperoleh dari tabel faktor bunga. Selain penyelesaian dengan menggunakan Persamaan (4.20), nilai angsuran seragam (A) dapat juga dihitung

dengan menggunakan fungsi PMT dalam Excel. Fungsi ini dieksekusi dengan menggunaka perintah =PMT(rate, nper, pv, [fv], [type]), dimana rate adalah tingkat suku bunga per periode pembungaan (%), nper adalah jumlah periode angsuran, pv adalah nilai sekarang (nilainya nol apabila tidak ada penerimaan atau pembayaran uang muka (down payment) pada awal periode

unhas

adalah nilai ekuivalen yang dikehendaki setelah akhir periode ke-n, dan type adalah kode digit untuk saat

pertama), fv

pembayaran setiap periode (0 untuk pembayaran setiap akhir periode dan 1 untuk

pembayaran padasetiap awal periode). Karena fungsi PMT dapatdigunakan untuk menghitung nilai A apabila nilai P atau nilai F diketahui, nilai parameter input yang mutlak harus ada adalah rate, nper, dan pv sedang parameter input yang ada dalam tanda kurung [ ] menunjukkan bahwa parameter tersebut dapat diabaikan. Misalnya, untuk menghitung nilai A yang harus dibayarkan setiap akhir periode apabila nilai P diketahui maka syntax yang digunakan adalah =PMT(rate, nper, pv) sedang untuk menghitung nilai A apabila nilai F diketahui maka digunakan syntax =PMT(rate, nper, pv, fv), dimana pv bernilai nol apabila tidak ada pembayaran uang muka atau tidak ada saldo awal dalam rekening.

Dalam ilmu ekonomi teknik, sinking fund merupakan besarnya angsuran seragam yang harus dikeluarkan setiap periode agar pada akhir periode ke-n nilai ekuivalen dari keseluruhan pembayaran tersebut mencapai suatu nilai yang dikehendaki sebesar

F. Misalnya, untuk menjamin ketersediaan biaya kuliah anak saya yang sekarang sedang berada di Taman Kanak-Kanak, maka saya harus menabung sebesar A setiap bulan sehingga pada saat anak saya masuk ke perguruan tinggi dua belas tahun yang akan datang akan tersedia uang yang cukup untuk perkuliahannya hingga selesai.

lkpp

Contoh 4.10

Hasil analisis seorang konsultan menunjukkan bahwa penggantian mesin-mesin produksi pada sebuah industri kecil akan lebih menguntungkan apabila proses

penggantian dilakukan setiap siklus delapan tahun dan pembelian mesin-mesin tersebut dilakukan secara kontan dari uang kas perusahaan. Apabila harga pembelian dan biaya instalasi mesin-mesin tersebut diperkirakan sebesar Rp 75 juta dan tingkat suku bunga simpanan pada bank sebesar 8% per tahun, hitung:

unhas

(a) besarnya uang yang harus ditabung setiap akhir tahun (asumsikan tidak ada

saldo pada awal setiap siklus). (b) besarnya uang yang harus ditabung setiap akhir tahun apabila perusahaan

tersebut memiliki saldo pada awal setiap siklus sebesar Rp 25 juta.

Penyelesaian:

(a) Diagram aliran kas pada kasus (a) untuk setiap siklus penggantian mesin dapat

Penyelesaian dengan menggunakan nilai uniform series compound amount factor (USCAF) dari tabel faktor bunga memberikan nilai sebagai berikut:

A = F (A/ F, 8%, 8) = Rp 75.000.000 x (0.0940) = Rp 7.050.000 dan penyelesaian dengan menggunakan fungsi PMT dalam Excel dengan input

=PMT(rate, nper, pv, fv), dimana rate = 8%, nper = 8, pv = 0, dan fv = 75000000, memberikan nilai A = 7.051.107,04.

(b) Diagram aliran kas pada kasus (b) untuk setiap siklus penggantian dapat digambar sebagai berikut:

lkpp

unhas

Penyelesaian dengan menggunakan tabel faktor bunga dapat dilakukan sebagai berikut:

dan penyelesaian dengan menggunakan fungsi PMT dengan menggunakan input =PMT(rate, nper, pv, fv), dimana rate = 8%, nper = 8, pv = - 25000000, dan fv =

75000000, memberikan nilai A = 2.700.738,03. Perlu diperhatikan bahwa nilai pv diberi tanda minus (-) karena nilai ekuivalennya di masa yang akan datang (FP) akan dikurangkan dari nilai uang yang dikehendaki tersedia setelah delapan tahun.

Contoh 4.11

penggantian pipa-pipa lkpp dan pompa yang rusak. Hitung capitalized cost dari proyek

Untuk menyediakan kebutuhan air bersih pada sebuah kota satelit yang sedang dikembangkan, pemerintah merencanakan untuk membangun

jaringan perpipaan dengan perkiraan biaya sebagai berikut. Biaya awal Rp 15 milyardan

biaya operasional pada lima tahun pertama sebesar Rp 500 juta per tahun dan pada tahuntahun selanjutnya sebesar Rp 750 juta per tahun. Selain itu, diperkirakan bahwa akan

dibutuhkan biaya sebesar Rp 1,5 milyar setiap 15 tahun untuk perbaikan atau

tersebut pada tingkat suku bunga 14% per tahun.

unhas

Penyelesaian:

Pada kasus ini, capitalized cost dihitung berdasarkan total nilai sekarang dari biaya awal (P1), nilai sekarang dari biaya operasional yang dikeluarkan setiap tahun (P2), dan nilai sekarang dari biaya pemeliharaan dan penggantian yang dilakukan setiap 15 tahun (P3). P2 dihitung dengan menjumlahkan nilai sekarang dari biaya operasional

selama lima tahun pertama (menggunakan Persamaan 4.10 atau 4.11) dan nilai sekarang dari biaya operasional pada tahun keenam hingga waktu tak terhingga (menggunakan Persamaan (4.12) untuk menghitung nilai ekuivalen pada awal tahun

keenam dari keseluruhan biaya operasional dari tahun keenam hinggawaktu tak terhingga dan hasilnya dikalikan dengan nilai single payment present worth factor (P/F, i%, n)). P3 dihitung dua tahap; tahap pertama dengan menghitung nilai ekuivalen tahunan dari biaya pemeliharaan dan perbaikan yang akan dilakukan setiap lima belas tahun (menggunakan Persamaan 4.20), dan tahap kedua dengan menghitung nilai sekarang dari nilai ekuivalen tahunantersebut

(menggunakan Persamaan 4.12).

lkpp

Perlu diperhatikan bahwa capitalized cost yang dihitung pada contoh di atas merupakan total anggaran biaya yang harus tersedia pada awal proyek sehingga biaya investasi awal juga diperhitungkan

dalam perhitungan. Setelahtahap pengerjaan proyek selesai, biaya yang harus ditanggung adalah biaya operasional setiap tahun dan biaya pemeliharaan, perbaikan, dan penggantian komponen-komponen yang rusak setiap lima belas tahun. Agar anggaran untuk menanggulangi biaya-biaya tersebut

tersedia, harus tersedia dana abadi yang akan menghasilkan pendapatan yang setara dengan total kebutuhan biaya operasional dan biaya pemeliharaan dan penggantian komponen. Besarnya dana abadi tersebut sama dengan selisih antara total capitalized cost dengan biaya awal atau sebesar Rp 4.743.442.857.

Arithmetic gradient merupakan suatu bentuk aliran kas (pendapatan atau pengeluaran) dimana nilai dari aliran kas tersebut berubah dalam jumlah yang tetap dari satu periode ke periode berikutnya. Perubahan ini dapat dalam bentuk peningkatan maupun penurunan. Besarnya perubahan unhas seragam aliran kas dari satu periode ke periode berikutnya dinamai gradien; dan karena besarnya seragam (konstan) dari satu