Determinan Matriks Matematika Bahasa Kelas 12 Sutrima Budi Usodo 2009

Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 58 4. Buktikan bahwa jika B = 1 3 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan n sebarang bilangan nonnegatif, maka berlaku B n = 1 3 1 n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 5. Jika A merupakan matriks persegi dan n bilangan bulat nonnegatif, apakah benar bahwa A n t = A t n ? Apakah pernyataan tersebut juga benar untuk matriks A yang bukan matriks persegi?

2.6 Determinan Matriks

Kita semua sudah cukup mengenal fungsi fx = x + 2, gx = x 2 – 5x + 6, dan lain- lain, yaitu suatu fungsi yang mengawankan bilangan real x dengan bilangan real fx. Fungsi demikian disebut fungsi bernilai real dari sebuah variabel real. Di dalam subbab ini, kita akan mengkaji fungsi bernilai real dari sebuah variabel matriks. Ini berarti bahwa daerah asal domain fungsinya adalah himpunan semua matriks persegi dan daerah kawan kodomain fungsinya adalah himpunan bilangan real. Fungsi ini selanjutnya akan disebut determinan. Berikut ini diberikan definisi determinan matriks persegi ordo 2 × 2. Definisi 2.6 Jika A merupakan matriks persegi ordo 2 × 2, misalkan: A = a b c d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ maka yang dimaksud dengan determinan dari A adalah bilangan real yang didefinisikan dengan detA = ad – bc. Untuk memudahkan mengingat rumus determinan matriks ordo 2 × 2, perhatikan bentuk berikut. Rumus determinan matriks A, detA diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada panah yang mengarah ke kiri. Determinan matriks A sering dituliskan dengan detA atau |A|. Jika detA = 0, maka matriks A disebut matriks singular, dan jika detA ≠ 0, maka matriks A disebut matriks nonsingular. Untuk memahami definisi determinan, berikut ini diberikan beberapa contoh menghitung nilai determinan suatu matriks. a b c d - + BAB II ~ Matriks 59 Contoh 2.6.1 Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut. a. A = 3 1 4 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ b. B = 1 2 4 3 k k − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ c. C = 7 5 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Penyelesaian: a. detA = 3 ⋅ –2 – 1 ⋅ 4 = –6 – 4 = –10. b. detB = k – 1k – 3 – 24 = k 2 – 4k + 3 – 8 = k 2 – 4k – 5. c. detC = 70 – 50 = 0 – 0 = 0. W Contoh 2.6.2 Tentukan semua nilai k sedemikian hingga detA = 0, jika A = 1 2 1 4 k k − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ . Penyelesaian: detA = 0 ⇔ k – 1k – 4 – –21 = 0 ⇔ k 2 – 5k + 4 + 2 = 0 ⇔ k 2 – 5k + 6 = 0 ⇔ k – 3k – 2 = 0 ⇔ k – 3 = 0 atau k – 2 = 0 ⇔ k = 3 atau k = 2 W Sekarang kita berikan definisi determinan matriks persegi berordo 3 × 3. Definisi 2.7 Jika A merupakan matriks persegi ordo 3 × 3, misalkan: A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ maka yang dimaksud dengan determinan dari A, ditulis dengan detA, adalah bilangan real yang didefinisikan dengan: detA = a 11 ⋅a 22 ⋅a 33 + a 12 ⋅a 23 ⋅a 31 + a 13 ⋅a 21 ⋅a 32 - a 13 ⋅a 22 ⋅a 31 - a 11 ⋅a 23 ⋅a 32 - a 12 ⋅a 21 ⋅a 33 . Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 60 Untuk memudahkan mengingat rumus determinan matriks ordo 3 × 3, perhatikan bentuk berikut. Langkah pertama kita menyalin kolom pertama dan kolom kedua, dan diletakkan pada sisi sebelah kanan dari matriks seperti tampak pada gambar di atas. Langkah kedua menjumlahkan hasil kali elemen-elemen pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada panah-panah yang mengarah ke kiri. Hasil tersebut adalah determinan yang dimaksud. Contoh 2.6.3 Tentukan determinan matriks-matriks berikut. a. A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ b. B = 1 0 3 4 0 5 3 0 9 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Penyelesaian: a. detA = 1 2 3 1 2 4 5 6 4 5 7 8 9 7 8 − − − − = 159 + 267 + 3–4–8 – 357 – 16–8 – 2–49 = 45 + 84 + 96 – 105 + 48 + 72 = 240 b. detB = 1 0 3 1 0 4 0 5 4 0 3 0 9 3 0 = 109 + 053 + 340 – 303 – 150 – 049 = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0 W a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 - - - + + + BAB II ~ Matriks 61 1. Hitunglah determinan dari matriks-matriks ordo 2 × 2 berikut ini. a. A = 1 2 1 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d. D = 1 2 4 3 k k − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ b. B = 6 2 3 4 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ e. E = 2 4 6 5 k k − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ c. C = 5 10 3 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 2. Tentukan nilai k sedemikian hingga detA = 0, jika: A = 3 2 8 5 k k + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 3. Tentukan nilai k sedemikian hingga detA = 5, jika: A = 1 2 4 3 k k − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 4. Hitunglah determinan matriks ordo 3 × 3 berikut ini. a. A = 1 3 1 2 2 1 4 0 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c. C = 4 1 2 2 1 3 4 5 k k k − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ b. B = 1 8 6 4 0 1 2 0 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5. Tentukan nilai k sedemikian hingga detA = 0, jika: A = 6 0 1 4 2 k k k − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 6. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2 mempunyai baris yang elemen-elemennya bilangan nol, maka detA = 0. 7. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 3 × 3 mempunyai kolom yang elemen-elemennya bilangan nol, maka detA = 0. 8. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2 mempunyai baris kedua yang elemen- elemennya dua kali baris pertama, maka detA = 0. 9. Dengan memberikan contoh, tunjukkan bahwa detA = detA t . 10. Dengan memberikan contoh, tunjukkan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2, maka detkA = k 2 detA. Latihan 2.6 Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 62

2.7 Invers Matriks