Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
62
2.7 Invers Matriks
Dalam teori bilangan, kita mengenal bahwa kebalikan invers bilangan 2 terhadap perkalian yaitu bilangan
1 2
, sebab 2
1 2
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1. Demikian juga kebalikan invers bilangan
3 5
adalah
5 3
sebab
3 5
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ 5
3 ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
= 1. Sekarang kita akan memperhatikan invers dari suatu matriks persegi.
Definisi 2.8 Matriks A disebut invers matriks B, jika berlaku AB = BA = I, dengan I merupakan
matriks identitas.
Catatan: 1. Invers matriks B dituliskan dengan B
-1
. 2. Jika A merupakan invers matriks B, maka dituliskan bahwa B
-1
= A. 3. Jika A invers matriks B, maka B juga merupakan invers matriks A.
4. Pembahasan invers matriks hanya dibatasi pada matriks persegi, tidak ada definisi invers matriks yang tidak persegi.
Contoh 2.7.1 Jika diketahui:
A =
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 1
5 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
tunjukkan bahwa A merupakan invers matriks B. Penyelesaian:
Akan ditunjukkan bahwa AB = BA = I. Perhatikan bahwa:
AB =
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
5 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
= 6 5
3 3 10 10
5 6 −
− + ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− + ⎝
⎠ =
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
BAB II ~ Matriks
63
dan BA =
2 1
5 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 6 5
2 2 15 15
5 6 −
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ − +
− + ⎝
⎠ =
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jadi, terbukti bahwa AB = BA = I. Ini berarti bahwa A merupakan invers matriks B dan sebaliknya B merupakan invers matriks A.
W Pertanyaan berikutnya, bagaimana menentukan invers suatu matriks persegi?
Berikut ini diberikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan invers suatu matriks berordo 2
× 2.
Teorema 2.4 Jika A =
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka A
-1
=
1 d
b c
a ad bc
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠
, asalkan ad bc ≠ 0.
B u k t i: Akan ditunjukkan bahwa AA
-1
= A
-1
A = I. Perhatikan bahwa:
AA
-1
=
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 d
b c
a ad bc
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠
=
1 ad bc
− a b
c d ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎝
⎠ d
b c
a −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
=
1 ad bc
− ad bc
ab ba cd dc
bc da −
− + ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− + ⎝
⎠
=
1 ad bc
− ad bc
ad bc −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
=
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
64
dan A
-1
A =
1 d
b c
a ad bc
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝ ⎠
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 ad bc
− da bc
db bd ca ac
cb ad −
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ − +
− + ⎝
⎠
=
1 ad bc
− ad bc
ad bc −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
=
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Karena AA
-1
= A
-1
A = I, maka terbuktilah bahwa A
-1
merupakan invers dari matriks A.
W
Catatan: 1. Ingat kembali bahwa bilangan ad bc adalah determinan matriks A, atau
detA = ad bc, jika A =
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 2. Dari Teorema 2.4, jika A merupakan matriks nonsingular atau detA
≠ 0, maka invers matriks A ada, tetapi jika matriks A merupakan matriks singular
atau detA = 0, maka invers matriks A tidak ada.
Contoh 2.7.2 Tentukan invers matriks-matriks berikut jika ada.
a. A =
5 2 7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b. B =
3 1
6 2
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
c. C =
cos sin
sin cos
α α
α α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
BAB II ~ Matriks
65
Penyelesaian: a. Karena detA = 53 27 = 15 14 = 1
≠ 0, maka invers matriks A ada. Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh:
A
-1
=
3 2
1 7
5 15 14
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠
=
3 2
7 5
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
b. Karena detB = 32 16 = 6 + 6 = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. c.
Karena untuk sebarang sudut α, berlaku detC = cos
2
α + sin
2
α = 1 ≠ 0, maka invers matriks C ada. Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh:
C
-1
=
2 2
cos sin
1 sin
cos cos
sin
α α
α α
α α
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ +
⎝ ⎠
=
cos sin
sin cos
α α
α α
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎝
⎠
W Contoh 2.7.3
Tentukan matriks A dan matriks B yang memenuhi persamaan matriks berikut. a.
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
b. B 5 2
7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2 3
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Penyelesaian: a. Perhatikan persamaan matriks:
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
i Jika dimisalkan P =
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka P
-1
=
2 1
5 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
. Akibatnya, jika persamaan i dikalikan dari kiri dengan P
-1
, maka diperoleh:
2 1
5 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
2 1
5 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
⇔
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
8 7
22 19
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
⇔ A =
8 7
22 19
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
b. Perhatikan persamaan matriks: B
5 2 7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2 3
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ii
Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
66
Jika dimisalkan Q =
5 2 7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka Q
-1
=
3 2
7 5
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
. Akibatnya, jika persamaan ii dikalikan dari kanan dengan Q
-1
, maka diperoleh: B
5 2 7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 2
7 5
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
=
2 3 2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 2
7 5
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
⇔ B
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
15 11 22 16
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
⇔ B =
15 11 22 16
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
W
Teorema 2.5 Jika matriks A dan B mempunyai invers, maka matriks AB juga mempunyai
invers dan AB
-1
= B
-1
A
-1
B u k t i: Harus ditunjukkan bahwa AB B
-1
A
-1
= B
-1
A
-1
AB = I. Perhatikan bahwa:
AB B
-1
A
-1
= ABB
-1
A
-1
= AIA
-1
= AA
-1
= I dan
B
-1
A
-1
AB = B
-1
A
-1
AB= B
-1
IB= B
-1
B= I Jadi, terbukti bahwa AB
-1
= B
-1
A
-1
. W
Contoh 2.7.4 Jika diketahui:
A =
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
, tentukan:
a. matriks AB b. invers matriks AB atau AB
-1
c. matriks A
-1
d. matriks B
-1
e. matriks A
-1
B
-1
f. matriks B
-1
A
-1
Penyelesaian: a. AB =
3 1 5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
=
2 3 2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
BAB II ~ Matriks
67
b. AB
-1
=
4 3
1 2
2 8 6
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝ ⎠
=
3 2
2 1
1 ⎛
⎞ −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
c. A
-1
=
2 1
1 5
3 6 5
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝ ⎠
=
2 1
5 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
d. B
-1
=
3 2
1 4
2 6 8
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− + ⎝ ⎠
=
3 1
2 2
1 ⎛
⎞ −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠
e. A
-1
B
-1
=
2 1
5 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
3 1
2 2
1 ⎛
⎞ −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠
=
5 3
27 8
2 −
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠
f. B
-1
A
-1
=
3 1
2 2
1 ⎛
⎞ −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ 2
1 5
3 −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
=
⎛ ⎞
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
3 2
2 1
1
Dari contoh ini tampak bahwa AB
-1
= B
-1
A
-1
dan AB
-1
≠ A
-1
B
-1
. W
1. Carilah invers dari matriks-matriks berikut jika ada. a. A =
3 2 4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
d. D =
2 3 1 4
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
b. B =
5 4
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
e. E =
⎛ ⎞
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
2 2
1 1
3
c. C =
1 3 2 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
f. F =
cos sin
sin cos
x x
x x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
2. Tentukan nilai k sedemikian hingga matriks-matriks berikut punya invers. a. A =
2
2 2
1 k
k k
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ ⎝
⎠
c. C =
2 3
2
2 k
k k
k ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎝
⎠
b. B =
1 5
1 3
k k
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ +
⎝ ⎠
Ingat bahwa suatu matriks punya invers, jika determinannya tidak sama dengan nol.
Latihan 2.7
Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
68
3. Diketahui matriks-matriks: A =
2 1 3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
3 5
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
Tentukan matriks-matriks berikut. a. A
-1
i. A
t
b. B
-1
j. A
t -1
c. AB
k. A
-1 t
d. AB
-1
l. 2A
e. A
-1
B
-1
m. 2A
-1
f. B
-1
A
-1
n. A + B g. A
-1
A o. A + B
-1
h. AA
-1
p. A
-1
+ B
-1
4. Dengan menggunakan hasil-hasil dari No. 3, jawablah pertanyaan berikut ini. a. Apakah AB
-1
= A
-1
B
-1
? b. Apakah AB
-1
= B
-1
A
-1
? c.
Apakah A
-1
A = AA
-1
= I? d. Apakah A
t -1
= A
-1 t
? e.
Apakah 2A
-1
= 2A
-1
? f.
Apakah A + B
-1
= A
-1
+ B
-1
? 5. Tentukan matriks X sedemikian hingga persamaan-persamaan matriks berikut benar.
a.
2 1 3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
X =
2 5
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
c.
5 4
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
X =
1 3 2 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b. X
3 5
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
= 1 3
− d. X
3 2 4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 3 1 4
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
6. a. Apakah matriks nol O berordo 2 × 2 mempunyai invers?
b. Apakah matriks identitas I berordo 2 × 2 mempunyai invers? Jika ya, tentukan
inversnya. 7. Diketahui:
A =
5 3 6 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
5 4
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
Tentukan matriks-matriks berikut. a. A
-1
f. 1
3 A
-1
b. A
-1 -1
g. A + B c.
3A h. A + B A + B
d. 3A
-1
i. AA + 2AB + BB
e. 3 A
-1
j. AA + AB + BA + BB
BAB II ~ Matriks
69
8. Diketahui: A =
2 1 3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan I =
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI A mempunyai invers. b. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI A tidak mempunyai invers.
9. Tunjukkan bahwa jika B dan C merupakan invers dari matriks A, maka B = C. 10. Tunjukkan bahwa jika AB = BA, maka A + B
2
= A
2
+ 2AB + B
2
, dengan A
2
= AA.
2.8 Aplikasi Invers Matriks pada Sistem Persamaan Linear