Invers Matriks Matematika Bahasa Kelas 12 Sutrima Budi Usodo 2009

Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 62

2.7 Invers Matriks

Dalam teori bilangan, kita mengenal bahwa kebalikan invers bilangan 2 terhadap perkalian yaitu bilangan 1 2 , sebab 2 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1. Demikian juga kebalikan invers bilangan 3 5 adalah 5 3 sebab 3 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1. Sekarang kita akan memperhatikan invers dari suatu matriks persegi. Definisi 2.8 Matriks A disebut invers matriks B, jika berlaku AB = BA = I, dengan I merupakan matriks identitas. Catatan: 1. Invers matriks B dituliskan dengan B -1 . 2. Jika A merupakan invers matriks B, maka dituliskan bahwa B -1 = A. 3. Jika A invers matriks B, maka B juga merupakan invers matriks A. 4. Pembahasan invers matriks hanya dibatasi pada matriks persegi, tidak ada definisi invers matriks yang tidak persegi. Contoh 2.7.1 Jika diketahui: A = 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan B = 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ tunjukkan bahwa A merupakan invers matriks B. Penyelesaian: Akan ditunjukkan bahwa AB = BA = I. Perhatikan bahwa: AB = 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 6 5 3 3 10 10 5 6 − − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − + ⎝ ⎠ = 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ BAB II ~ Matriks 63 dan BA = 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 6 5 2 2 15 15 5 6 − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + − + ⎝ ⎠ = 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Jadi, terbukti bahwa AB = BA = I. Ini berarti bahwa A merupakan invers matriks B dan sebaliknya B merupakan invers matriks A. W Pertanyaan berikutnya, bagaimana menentukan invers suatu matriks persegi? Berikut ini diberikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan invers suatu matriks berordo 2 × 2. Teorema 2.4 Jika A = a b c d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , maka A -1 = 1 d b c a ad bc − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ , asalkan ad – bc ≠ 0. B u k t i: Akan ditunjukkan bahwa AA -1 = A -1 A = I. Perhatikan bahwa: AA -1 = a b c d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 d b c a ad bc − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ = 1 ad bc − a b c d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d b c a − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 1 ad bc − ad bc ab ba cd dc bc da − − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − + ⎝ ⎠ = 1 ad bc − ad bc ad bc − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 64 dan A -1 A = 1 d b c a ad bc − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ a b c d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 ad bc − da bc db bd ca ac cb ad − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + − + ⎝ ⎠ = 1 ad bc − ad bc ad bc − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Karena AA -1 = A -1 A = I, maka terbuktilah bahwa A -1 merupakan invers dari matriks A. W Catatan: 1. Ingat kembali bahwa bilangan “ad – bc “ adalah determinan matriks A, atau detA = ad –bc, jika A = a b c d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 2. Dari Teorema 2.4, jika A merupakan matriks nonsingular atau detA ≠ 0, maka invers matriks A ada, tetapi jika matriks A merupakan matriks singular atau detA = 0, maka invers matriks A tidak ada. Contoh 2.7.2 Tentukan invers matriks-matriks berikut jika ada. a. A = 5 2 7 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b. B = 3 1 6 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ c. C = cos sin sin cos α α α α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ BAB II ~ Matriks 65 Penyelesaian: a. Karena detA = 53 – 27 = 15 – 14 = 1 ≠ 0, maka invers matriks A ada. Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh: A -1 = 3 2 1 7 5 15 14 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ = 3 2 7 5 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ b. Karena detB = 3–2 – –16 = –6 + 6 = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. c. Karena untuk sebarang sudut α, berlaku detC = cos 2 α + sin 2 α = 1 ≠ 0, maka invers matriks C ada. Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh: C -1 = 2 2 cos sin 1 sin cos cos sin α α α α α α − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = cos sin sin cos α α α α − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ W Contoh 2.7.3 Tentukan matriks A dan matriks B yang memenuhi persamaan matriks berikut. a. 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A = 2 2 4 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ b. B 5 2 7 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 3 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Penyelesaian: a. Perhatikan persamaan matriks: 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A = 2 2 4 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ i Jika dimisalkan P = 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , maka P -1 = 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ . Akibatnya, jika persamaan i dikalikan dari kiri dengan P -1 , maka diperoleh: 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A = 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 2 2 4 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⇔ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A = 8 7 22 19 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⇔ A = 8 7 22 19 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ b. Perhatikan persamaan matriks: B 5 2 7 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 3 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ii Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 66 Jika dimisalkan Q = 5 2 7 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , maka Q -1 = 3 2 7 5 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ . Akibatnya, jika persamaan ii dikalikan dari kanan dengan Q -1 , maka diperoleh: B 5 2 7 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 7 5 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 2 3 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 7 5 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⇔ B 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 15 11 22 16 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⇔ B = 15 11 22 16 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ W Teorema 2.5 Jika matriks A dan B mempunyai invers, maka matriks AB juga mempunyai invers dan AB -1 = B -1 A -1 B u k t i: Harus ditunjukkan bahwa AB B -1 A -1 = B -1 A -1 AB = I. Perhatikan bahwa: AB B -1 A -1 = ABB -1 A -1 = AIA -1 = AA -1 = I dan B -1 A -1 AB = B -1 A -1 AB= B -1 IB= B -1 B= I Jadi, terbukti bahwa AB -1 = B -1 A -1 . W Contoh 2.7.4 Jika diketahui: A = 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan B = 2 2 4 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ , tentukan: a. matriks AB b. invers matriks AB atau AB -1 c. matriks A -1 d. matriks B -1 e. matriks A -1 B -1 f. matriks B -1 A -1 Penyelesaian: a. AB = 3 1 5 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 4 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ = 2 3 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ BAB II ~ Matriks 67 b. AB -1 = 4 3 1 2 2 8 6 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ = 3 2 2 1 1 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ c. A -1 = 2 1 1 5 3 6 5 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ = 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ d. B -1 = 3 2 1 4 2 6 8 − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ = 3 1 2 2 1 ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ e. A -1 B -1 = 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 3 1 2 2 1 ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 5 3 27 8 2 − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f. B -1 A -1 = 3 1 2 2 1 ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 5 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 3 2 2 1 1 Dari contoh ini tampak bahwa AB -1 = B -1 A -1 dan AB -1 ≠ A -1 B -1 . W 1. Carilah invers dari matriks-matriks berikut jika ada. a. A = 3 2 4 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d. D = 2 3 1 4 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ b. B = 5 4 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ e. E = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 2 2 1 1 3 c. C = 1 3 2 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f. F = cos sin sin cos x x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 2. Tentukan nilai k sedemikian hingga matriks-matriks berikut punya invers. a. A = 2 2 2 1 k k k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ c. C = 2 3 2 2 k k k k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b. B = 1 5 1 3 k k − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ Ingat bahwa suatu matriks punya invers, jika determinannya tidak sama dengan nol. Latihan 2.7 Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 68 3. Diketahui matriks-matriks: A = 2 1 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan B = 3 5 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ Tentukan matriks-matriks berikut. a. A -1 i. A t b. B -1 j. A t -1 c. AB k. A -1 t d. AB -1 l. 2A e. A -1 B -1 m. 2A -1 f. B -1 A -1 n. A + B g. A -1 A o. A + B -1 h. AA -1 p. A -1 + B -1 4. Dengan menggunakan hasil-hasil dari No. 3, jawablah pertanyaan berikut ini. a. Apakah AB -1 = A -1 B -1 ? b. Apakah AB -1 = B -1 A -1 ? c. Apakah A -1 A = AA -1 = I? d. Apakah A t -1 = A -1 t ? e. Apakah 2A -1 = 2A -1 ? f. Apakah A + B -1 = A -1 + B -1 ? 5. Tentukan matriks X sedemikian hingga persamaan-persamaan matriks berikut benar. a. 2 1 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ X = 2 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c. 5 4 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ X = 1 3 2 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b. X 3 5 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ = 1 3 − d. X 3 2 4 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 3 1 4 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 6. a. Apakah matriks nol O berordo 2 × 2 mempunyai invers? b. Apakah matriks identitas I berordo 2 × 2 mempunyai invers? Jika ya, tentukan inversnya. 7. Diketahui: A = 5 3 6 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan B = 5 4 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ Tentukan matriks-matriks berikut. a. A -1 f. 1 3 A -1 b. A -1 -1 g. A + B c. 3A h. A + B A + B d. 3A -1 i. AA + 2AB + BB e. 3 A -1 j. AA + AB + BA + BB BAB II ~ Matriks 69 8. Diketahui: A = 2 1 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan I = 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI – A mempunyai invers. b. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI – A tidak mempunyai invers. 9. Tunjukkan bahwa jika B dan C merupakan invers dari matriks A, maka B = C. 10. Tunjukkan bahwa jika AB = BA, maka A + B 2 = A 2 + 2AB + B 2 , dengan A 2 = AA.

2.8 Aplikasi Invers Matriks pada Sistem Persamaan Linear