Jenis-Jenis Matriks Matematika Bahasa Kelas 12 Sutrima Budi Usodo 2009

Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 38 Contoh 2.2.3 Diketahui matriks A = cos sin sin cos α α α α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ dan B = 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Jika A = B, tentukan nilai α. Penyelesaian: Karena A = B, maka cos α = 1 dan sin α = 0. Dari hubungan cos α = 1, diperoleh nilai α = 0 + 2kπ . Dari hubungan sin α = 0, diperoleh α = 0 + kπ. Jadi, α = 0 + 2kπ. W 1. Diketahui ordo matriks A adalah m × n dan ordo matriks B adalah p × q. Jika A = B, apa yang Anda ketahui tentang hubungan antara m, n, p, dan q? 2. Jika ordo dari matriks A sama dengan ordo matriks B, apakah A = B? Jika jawaban Anda ya, jelaskan, tetapi jika tidak berikan contohnya. 3. Jika matriks A sama dengan matriks B, apakah ordo matriks A sama dengan ordo matrik B? Berikan penjelasan. 4. Jika matriks A dan matriks B mempunyai ordo m × n dan A = B, apa yang Anda ketahui tentang hubungan antara m dan n? 5. Tentukan nilai x dan y sedemikian hingga 2 3 4 5 x y x y − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = 15 7 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ . 6. Tentukan nilai x dan y sedemikian hingga 3 4 2 5 5 x y x y + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 11 2 5 8 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ . 7. Apakah ada nilai x dan y sedemikian hingga 1 2 x y x y + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 3 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ? 8. Diketahui matriks A = cos sin sin cos α α α α − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan B = 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Jika A = B, tentukan nilai α.

2.3 Jenis-Jenis Matriks

Berikut ini diberikan jenis-jenis matriks yang mempunyai sifat-sifat khusus. a. Matriks Persegi Jika suatu matriks mempunyai banyak baris sama dengan banyak kolom, maka matriks demikian disebut matriks persegi. Jika banyaknya baris pada matriks persegi adalah n, maka matriks tersebut disebut matriks persegi ordo n × n atau sering disebut matriks persegi ordo n. Latihan 2.2 BAB II ~ Matriks 39 Berikut ini diberikan beberapa contoh matriks persegi. A = 1 4 3 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ matriks persegi ordo 2 B = 3 4 2 5 5 4 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ matriks persegi ordo 3 b. Matriks Diagonal Jika diberikan matriks persegi A = a b c d e f g h i j k l m n o p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ maka elemen-elemen a, f, k, dan p disebut elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama matriks A. Sebuah matriks persegi dinamakan matriks diagonal, jika semua elemen di luar diagonal utama adalah nol. Berikut ini diberikan beberapa contoh matriks diagonal. A = 2 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ B = 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ C = 4 2 0 3 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Suatu matriks disebut matriks segitiga atas, jika semua elemen di bawah elemen diagonal utama adalah nol. Berikut ini beberapa contoh matriks segitiga atas. P = 3 1 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Q = 5 0 2 0 1 3 0 0 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Suatu matriks disebut matriks segitiga bawah, jika semua elemen di atas elemen diagonal utama adalah nol. Berikut ini beberapa contoh matriks segitiga bawah. S = 2 4 1 0 3 5 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T = 4 0 0 7 2 0 8 0 1 2 3 0 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ c. Matriks Identitas Sebuah matriks diagonal dinamakan matriks identitas atau matriks satuan, jika setiap elemen pada diagonal utama dari matriks diagonal tersebut adalah 1. Matriks identitas sering dilambangkan dengan I n , dengan n melambangkan ordo dari matriks identitas tersebut. Matriks identitas juga sering dinotasikan dengan I saja. Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 40 Berikut ini diberikan contoh matriks identitas. I 2 = 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d. Matriks Nol Sebuah matriks dikatakan matriks nol jika setiap elemen dari matriks tersebut adalah nol. Matriks nol sering dituliskan dengan O. Berikut ini diberikan beberapa contoh matriks nol. 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , dan e. Matriks Baris Sebuah matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris. Berikut ini beberapa contoh matriks baris. 1 2 3, –1 4 7 8, dan 9 0 8 –5 7 6 4 f. Matriks Kolom Sebuah matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Berikut ini beberapa contoh matriks kolom. 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 1 1 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , dan 1 6 3 7 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 1. Apakah matriks nol selalu merupakan matriks persegi? 2. Apakah matriks identitas selalu merupakan matriks persegi? 3. Apakah matriks diagonal selalu matriks persegi? 4. Apakah matriks nol merupakan matriks diagonal? 5. Apakah matriks identitas merupakan matriks diagonal? 6. Apakah matriks nol persegi merupakan matriks diagonal? Latihan 2.3 BAB II ~ Matriks 41 7. Berikan contoh matriks nol yang juga merupakan matriks baris? 8. Berikan sebuah contoh matriks nol yang juga matriks kolom. 9. Adakah matriks yang sekaligus merupakan matriks baris dan juga matriks kolom? 10. Apakah matriks identitas merupakan matriks segitiga atas? 11. Apakah matriks identitas merupakan matriks segitiga bawah? 12. Apakah ada matriks yang merupakan matriks segitiga atas sekaligus juga merupakan matriks segitiga bawah? 13. Apakah matriks nol yang persegi juga merupakan matriks segitiga atas?

2.4 Transpose Matriks