BAB II ~ Matriks
69
8. Diketahui: A =
2 1 3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan I =
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI A mempunyai invers. b. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI A tidak mempunyai invers.
9. Tunjukkan bahwa jika B dan C merupakan invers dari matriks A, maka B = C. 10. Tunjukkan bahwa jika AB = BA, maka A + B
2
= A
2
+ 2AB + B
2
, dengan A
2
= AA.
2.8 Aplikasi Invers Matriks pada Sistem Persamaan Linear
Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Di dalam subbab ini akan dibahas aplikasi invers matriks pada penyelesaian sistem
persamaan linear dengan dua persamaan dan dua variabel. Perhatikan sistem persamaan linear dengan dua persamaan dan dua variabel
berikut ini. ax + by = e
bx + dy = f. Kita dapat menyatakan sistem persamaan linear ini dengan persamaan matriks sebagai
berikut.
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
e f
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Misalkan: A =
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, X =
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan B =
e f
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jika detA = ad bc ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers dan inversnya adalah:
A
-1
=
1 d
b c
a ad bc
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠
Jika persamaan matriks dikalikan A
-1
dari kiri, maka diperoleh:
1 d
b c
a ad bc
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝ ⎠
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 d
b c
a ad bc
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝ ⎠
e f
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 d
b c
a ad bc
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠ e
f ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⇔
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 d
b c
a ad bc
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠ e
f ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Jadi, jika detA ≠ 0, maka sistem persamaan linear di atas mempunyai penyelesaian.
Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
70
Catatan: 1. Jika kedua persamaan dari sistem persamaan linear di atas masing-masing
digambarkan pada sistem koordinat, maka grafiknya berupa garis lurus. 2. Jika dari sistem persamaan linear tersebut diketahui ad bc
≠ 0, maka grafik garis lurusnya akan berpotongan tepat pada satu titik. Ini berarti, sistem
persamaan linear tersebut mempunyai tepat satu penyelesaian.
Bagaimana jika diketahui ad bc = 0? Berikan beberapa contoh untuk kasus ini dan gambarkan masing-masing pada sistem koordinat. Perhatikan: Jika grafik dari kedua
persamaan tersebut berimpit, berarti sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak hingga, sedangkan jika grafik dari kedua persamaan
linear tersebut saling sejajar, maka sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Berikut ini diberikan contoh cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan invers matriks.
Contoh 2.8.1 Dengan menggunakan invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear berikut.
3 2
8 4
3 15
x y
x y
+ =
⎧ ⎨
+ =
⎩
Penyelesaian: Perhatikan bahwa sistem persamaan linear:
3 2
8 4
3 15
x y
x y
+ =
⎧ ⎨
+ =
⎩
dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:
3 2 4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
8 15
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jika matriks A =
3 2 4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka det A = 33 24 = 9 8 = 1. Akibatnya, matriks A mempunyai invers dengan:
Tugas Kelompok
BAB II ~ Matriks
71
A
-1
=
3 2
4 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
Jika persamaan matriks di atas dikalikan A
-1
dari kiri, maka akan diperoleh:
3 2
4 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
3 2 4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
3 2
4 3
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
8 15
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
24 30 32 45
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ − +
⎝ ⎠
⇔
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
6 13
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎝
⎠
⇔ x = 6 dan y = 13
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {6,13}. W
Contoh 2.8.2 Diketahui sistem persamaan linear:
5 3
6 4
x y k
x y m
+ =
⎧ ⎨
+ =
⎩
Nyatakan penyelesaian untuk x dan y dalam k dan m. Penyelesaian:
Sistem persamaan linear di atas dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut.
5 3 6 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
k m
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jika A =
5 3 6 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka A
-1
=
1 20 18
− 4
3 6
5 −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
=
1 2
4 3
6 5
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
. Jika persamaan matriks di atas dikalikan A
-1
dari kiri, maka diperoleh:
1 2
4 3
6 5
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
5 3 6 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 2
4 3
6 5
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
k m
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔
1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 2
4 3
6 5
k m
k m
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ − +
⎝ ⎠
⇔
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 2
4 3
6 5
k m
k m
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ − +
⎝ ⎠
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah: x =
1 2
4k 3m dan y =
1 2
6k + 5m
Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
72
1. Dengan menggunakan invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.
a.
3 2
5 2
x y
x y +
= ⎧
⎨ + =
⎩
d.
5 6
15 2
3 6
x y
x y
+ =
⎧ ⎨
+ =
⎩
b.
2 4
1 2
3 2
x y
x y
+ =
⎧ ⎨
+ = −
⎩
e.
2 3 0
1 0 x
y x y
+ + =
⎧ ⎨ − − =
⎩
c.
2 4
5 2
x y
x y +
= ⎧
⎨ + =
⎩
f.
4 5
15 0 3
8 0 x
y x y
+ −
= ⎧
⎨ + + =
⎩
2. a. Jika AX = B, dengan: A =
5 9 2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, X =
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan B =
4 2
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
tentukan nilai-nilai dari x dan y. b. Jika AX = B, dengan:
A =
5 3 2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, X =
x y
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan B =
1 2
− ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
tentukan nilai-nilai dari x dan y. 3. Dengan menggunakan invers matriks, selesaikan sistem persamaan linear berikut.
3 2
8 6
4 16
x y
x y
+ =
⎧ ⎨
+ =
⎩
a. Apakah sistem persamaan linear di atas dapat diselesaikan dengan invers matriks? b. Gambarkan masing-masing persamaan linear di atas dalam sistem koordinat
Cartesius? c.
Diskusikan dengan teman Anda, apakah sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian? Jika ada, sebutkan penyelesaiannya.
4. Dengan menggunakan invers matriks, selesaikan sistem persamaan linear berikut.
2 3
2 4
5 x
y x
y +
= ⎧
⎨ +
= ⎩
a. Apakah sistem persamaan linear di atas dapat diselesaikan dengan invers matriks? b. Gambarkan masing-masing persamaan linear di atas dalam sistem koordinat
Cartesius? c.
Diskusikan dengan teman Anda, apakah sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian? Jika ada, sebutkan penyelesaiannya.
Latihan 2.8
BAB II ~ Matriks
73
5. Dari sistem persamaan linear berikut ini, tentukan mana sistem persamaan linear yang mempunyai tepat satu penyelesaian, tidak mempunyai penyelesaian, dan mempunyai
penyelesaian yang banyaknya tak hingga. a.
2 3
2 4
x y
x y +
= ⎧
⎨ − =
⎩
b.
3 3
3 9
x y x
y + =
⎧ ⎨
+ =
⎩
c.
4 5
5 15
x y x
y − =
⎧ ⎨
− =
⎩
2.9 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Determinan
