Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
34
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat menggunakan sifat-sifat dan operasi-operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi dan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear. Selanjutnya dapat juga menyelesaikan persoalan-persoalan sehari-hari yang melibatkan matriks. Untuk memahami materi
bab ini, Anda perlu memahami lagi operasi dan sifat-sifat aljabar pada sistem bilangan real dan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan
eliminasi dan substitusi.
Untuk menunjang pencapaian tujuan di atas, di dalam bab ini akan dibahas berturut-turut pengertian matriks, kesamaan matriks, jenis-jenis matriks, transpose
matriks, operasi aljabar pada matriks, determinan matriks, invers matriks, dan aplikasinya pada penyelesaian sistem persamaan linear.
2.1 Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai suatu informasi yang terdiri dari susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam bentuk persegi
panjang. Berikut ini beberapa contoh tentang hal ini. Contoh 2.1.1
Di dalam kelas sering dijumpai papan presensi kehadiran siswa dalam seminggu, seperti tampak pada tabel berikut.
W Contoh 2.1.2
Bagi siswa yang tertarik pada sepak bola liga Inggris, berikut sebuah data tentang hasil klasemen sementara 4 besar liga Inggris.
W Contoh 2.1.3
Harga karcis masuk pameran pembangunan adalah:
W Hari
Hadir Absen
Banyak Siswa Senin
42 3
45 Selasa
44 1
45 Rabu
45 45
Kamis 43
2 45
Jumat 45
45 Sabtu
44 1
45
Klub Main
Menang Seri
Kalah Nilai
Chelsea 17
12 4
1 40
Everton 17
11 3
3 36
Arsenal 17
10 5
2 35
Man. United 16 8
6 2
30
Hari Biasa Hari Minggu
Rp Rp
Anak-anak 2.000
2.500 Dewasa
3.000 4.000
BAB II ~ Matriks
35
Masih banyak lagi contoh informasi seperti di atas yang dapat dijumpai di dalam kehidupan sehari-hari. Sekarang kita perhatikan Contoh 2.1.3, jika kepala lajur dan
kepala baris dihilangkan, maka akan tampak sebagai berikut. 2.000 2.500
3.000 4.000 Susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang seperti di atas dikatakan
membentuk suatu matriks, dan selanjutnya matriks ini sering dinotasikan sebagai berikut.
2000 2500 3000 4000
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
atau
2000 2500 3000 4000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Secara umum, pengertian matriks didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.1
Sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam bentuk persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut
disebut elemen atau entri atau unsur dalam matriks.
Contoh 2.1.4 Susunan-susunan berikut adalah suatu matriks.
2 1
3 3
2 4 7 ,
7 1
6 5
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
− ⎝
⎠
, 1 3 0, 8
Seperti ditunjukkan pada Contoh 2.1.4, terdapat berbagai macam ukuran matriks. Ukuran ordo matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris dan banyaknya
kolom yang ada dalam matriks tersebut. Jika sebuah matriks mempunyai m baris dan n kolom, maka dikatakan bahwa ukuran ordo dari matriks tersebut adalah m
× n. Ordo m
× n berbeda dengan ordo n × m. Matriks pertama dalam Contoh 2.1.4 mempunyai ordo 3
× 3, matriks ke-2 mempunyai ordo 4 × 1, matriks ke-3 mempunyai ordo 1 × 3, dan matriks yang terakhir mempunyai ordo 1
× 1. Untuk matriks ordo 1 × 1 sering dituliskan tanpa tanda kurung. Jadi, matriks 8 biasa ditulis dengan 8 saja.
Nama matriks akan diberikan dengan notasi huruf besar dan elemen-elemennya akan dilambangkan dengan huruf kecil, sebagai contoh
A = 3
0 6 1
2 4 4 5 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ⎝
⎠ atau B =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a b c d e f
Dari matriks A diperoleh keterangan-keterangan sebagai berikut.
Ordo matriks A adalah 3 × 3 karena mempunyai 3 baris dan 3 kolom.
Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah 3, 0, dan 6.
Elemen-elemen pada baris ke-2 adalah 1, 2, dan 4.
Elemen-elemen pada baris ke-3 adalah 4, 5, dan 1.
Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
36
Elemen-elemen pada kolom ke-1 adalah 3, 1, dan -4.
Elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah 0, 2, dan 5.
Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah 6, 4, dan 1.
Dari matriks B diperoleh keterangan-keterangan sebagai berikut.
Ordo matriks B adalah 2 × 3 karena mempunyai 2 baris dan 3 kolom.
Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah a, b, dan c.
Elemen-elemen pada baris ke-2 adalah d, e, dan f.
Elemen-elemen pada kolom ke-1 adalah a dan d.
Elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah b dan e.
Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah c dan f.
W
1. Bentuklah matriks dari keterangan-keterangan yang ada di dalam tabel berikut, dan kemudian tentukan ordo dari matriks yang Anda peroleh.
a. Tabel berikut menunjukkan hasil operasi penjumlahan pada jam limaan.
b. Tabel berikut menyajikan nilai tugas dan nilai ujian dari Amir dan Ani, untuk mata pelajaran Agama, Bahasa Indonesia, Matematika, dan Bahasa Inggris.
c. Tabel berikut menunjukkan harga jual tiga kebutuhan pokok pada bulan Januari,
Februari, dan Maret dalam satuan kilogram.
Latihan 2.1
+ 1
2 3
4 1
2 3
4 1
1 2
3 4
2 2
3 4
1 3
3 4
1 2
4 4
1 2
3
Amir A n i
Tugas Ujian
Tugas Ujian
Agama 90
85 90
75 Bahasa Indonesia 85
90 80
85 Matematika
90 85
70 75
Bahasa Inggris 75
85 85
80 Mata Pelajaran
Beras Gula
Minyak Goreng Rp
Rp Rp
Januari 3.000
4.500 6.500
Februari 2.750
4.300 6.250
Maret 2.800
4.250 6.400
Bulan
BAB II ~ Matriks
37
2. Carilah informasi atau keterangan di sekitar lingkungan Anda yang dinyatakan dalam bentuk tabel bilangan, kemudian buatlah daftar matriksnya. Berapakah ordo dari
matriks yang Anda peroleh? 3. Diberikan matriks:
A = 8 0
2 2
1 1
3 5 4
5 2
⎛ ⎞
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a. Tentukan ordo matriks A. b. Tentukan elemen-elemen pada baris pertama.
c. Tentukan elemen-elemen pada kolom ketiga.
d. Tentukan elemen pada baris kedua dan kolom keempat. e.
Tentukan elemen pada baris pertama dan kolom kelima. 4. Buatlah daftar penjumlahan dan perkalian dalam jam empatan, kemudian buatlah daftar
matriknya, dan tentukan ordo matriks yang Anda peroleh.
2.2 Kesamaan Dua Matriks