Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 34 Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat menggunakan sifat-sifat dan operasi-operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi dan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Selanjutnya dapat juga menyelesaikan persoalan-persoalan sehari-hari yang melibatkan matriks. Untuk memahami materi bab ini, Anda perlu memahami lagi operasi dan sifat-sifat aljabar pada sistem bilangan real dan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan eliminasi dan substitusi. Untuk menunjang pencapaian tujuan di atas, di dalam bab ini akan dibahas berturut-turut pengertian matriks, kesamaan matriks, jenis-jenis matriks, transpose matriks, operasi aljabar pada matriks, determinan matriks, invers matriks, dan aplikasinya pada penyelesaian sistem persamaan linear.

2.1 Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai suatu informasi yang terdiri dari susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam bentuk persegi panjang. Berikut ini beberapa contoh tentang hal ini. Contoh 2.1.1 Di dalam kelas sering dijumpai papan presensi kehadiran siswa dalam seminggu, seperti tampak pada tabel berikut. W Contoh 2.1.2 Bagi siswa yang tertarik pada sepak bola liga Inggris, berikut sebuah data tentang hasil klasemen sementara 4 besar liga Inggris. W Contoh 2.1.3 Harga karcis masuk pameran pembangunan adalah: W Hari Hadir Absen Banyak Siswa Senin 42 3 45 Selasa 44 1 45 Rabu 45 45 Kamis 43 2 45 Jumat 45 45 Sabtu 44 1 45 Klub Main Menang Seri Kalah Nilai Chelsea 17 12 4 1 40 Everton 17 11 3 3 36 Arsenal 17 10 5 2 35 Man. United 16 8 6 2 30 Hari Biasa Hari Minggu Rp Rp Anak-anak 2.000 2.500 Dewasa 3.000 4.000 BAB II ~ Matriks 35 Masih banyak lagi contoh informasi seperti di atas yang dapat dijumpai di dalam kehidupan sehari-hari. Sekarang kita perhatikan Contoh 2.1.3, jika kepala lajur dan kepala baris dihilangkan, maka akan tampak sebagai berikut. 2.000 2.500 3.000 4.000 Susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang seperti di atas dikatakan membentuk suatu matriks, dan selanjutnya matriks ini sering dinotasikan sebagai berikut. 2000 2500 3000 4000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ atau 2000 2500 3000 4000 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Secara umum, pengertian matriks didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.1 Sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam bentuk persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut elemen atau entri atau unsur dalam matriks. Contoh 2.1.4 Susunan-susunan berikut adalah suatu matriks. 2 1 3 3 2 4 7 , 7 1 6 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ , 1 –3 0, 8 Seperti ditunjukkan pada Contoh 2.1.4, terdapat berbagai macam ukuran matriks. Ukuran ordo matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris dan banyaknya kolom yang ada dalam matriks tersebut. Jika sebuah matriks mempunyai m baris dan n kolom, maka dikatakan bahwa ukuran ordo dari matriks tersebut adalah m × n. Ordo m × n berbeda dengan ordo n × m. Matriks pertama dalam Contoh 2.1.4 mempunyai ordo 3 × 3, matriks ke-2 mempunyai ordo 4 × 1, matriks ke-3 mempunyai ordo 1 × 3, dan matriks yang terakhir mempunyai ordo 1 × 1. Untuk matriks ordo 1 × 1 sering dituliskan tanpa tanda kurung. Jadi, matriks 8 biasa ditulis dengan 8 saja. Nama matriks akan diberikan dengan notasi huruf besar dan elemen-elemennya akan dilambangkan dengan huruf kecil, sebagai contoh A = 3 0 6 1 2 4 4 5 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ atau B = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b c d e f Dari matriks A diperoleh keterangan-keterangan sebagai berikut. • Ordo matriks A adalah 3 × 3 karena mempunyai 3 baris dan 3 kolom. • Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah 3, 0, dan 6. • Elemen-elemen pada baris ke-2 adalah 1, 2, dan 4. • Elemen-elemen pada baris ke-3 adalah –4, 5, dan 1. Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 36 • Elemen-elemen pada kolom ke-1 adalah 3, 1, dan -4. • Elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah 0, 2, dan 5. • Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah 6, 4, dan 1. Dari matriks B diperoleh keterangan-keterangan sebagai berikut. • Ordo matriks B adalah 2 × 3 karena mempunyai 2 baris dan 3 kolom. • Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah a, b, dan c. • Elemen-elemen pada baris ke-2 adalah d, e, dan f. • Elemen-elemen pada kolom ke-1 adalah a dan d. • Elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah b dan e. • Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah c dan f. W 1. Bentuklah matriks dari keterangan-keterangan yang ada di dalam tabel berikut, dan kemudian tentukan ordo dari matriks yang Anda peroleh. a. Tabel berikut menunjukkan hasil operasi penjumlahan pada jam limaan. b. Tabel berikut menyajikan nilai tugas dan nilai ujian dari Amir dan Ani, untuk mata pelajaran Agama, Bahasa Indonesia, Matematika, dan Bahasa Inggris. c. Tabel berikut menunjukkan harga jual tiga kebutuhan pokok pada bulan Januari, Februari, dan Maret dalam satuan kilogram. Latihan 2.1 + 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 2 3 Amir A n i Tugas Ujian Tugas Ujian Agama 90 85 90 75 Bahasa Indonesia 85 90 80 85 Matematika 90 85 70 75 Bahasa Inggris 75 85 85 80 Mata Pelajaran Beras Gula Minyak Goreng Rp Rp Rp Januari 3.000 4.500 6.500 Februari 2.750 4.300 6.250 Maret 2.800 4.250 6.400 Bulan BAB II ~ Matriks 37 2. Carilah informasi atau keterangan di sekitar lingkungan Anda yang dinyatakan dalam bentuk tabel bilangan, kemudian buatlah daftar matriksnya. Berapakah ordo dari matriks yang Anda peroleh? 3. Diberikan matriks: A = 8 0 2 2 1 1 3 5 4 5 2 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a. Tentukan ordo matriks A. b. Tentukan elemen-elemen pada baris pertama. c. Tentukan elemen-elemen pada kolom ketiga. d. Tentukan elemen pada baris kedua dan kolom keempat. e. Tentukan elemen pada baris pertama dan kolom kelima. 4. Buatlah daftar penjumlahan dan perkalian dalam jam empatan, kemudian buatlah daftar matriknya, dan tentukan ordo matriks yang Anda peroleh.

2.2 Kesamaan Dua Matriks