BAB III ~ Barisan dan Deret
127
5. Hitunglah: a.
10 1
3
i
i i
=
− ∑
b.
100 1
2 3
i
i
=
− ∑
c.
10 1
12 3
k
k k
=
+ +
∑
d.
10 3
2 2
2
i
i i
=
− ∑
3.8 Pembuktian dengan Induksi Matematika
Pada subbab ini kita akan membahas kebenaran rumus untuk jumlah dari n bilangan asli pertama, jumlah dari n kuadrat bilangan asli pertama, dan jumlah n
pangkat tiga bilangan asli pertama, yaitu: 1.
1 n
i
i
=
∑
= 1 + 2 + 3 + ... + n =
1 2
n n +
2.
2 1
n i
i
=
∑
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=
12 1
6 n n
n +
+
3.
3 1
n i
i
=
∑
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
=
2
1 2
n n +
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Untuk rumus-rumus yang kebenarannya berlaku untuk setiap bilangan asli, kita dapat membuktikan bahwa rumus-rumus ini benar dengan menggunakan Prinsip
Induksi Matematika, yang mengatakan bahwa jika {P
n
} merupakan barisan pernyataan yang memenuhi kondisi:
i P
1
adalah pernyataan benar ii kebenaran P
i
mengakibatkan kebenaran P
i + 1
maka P
n
adalah pernyataan benar untuk semua bilangan asli n. Sekarang kita akan menggunakan prinsip induksi matematika untuk
membuktikan rumus 2. Untuk setiap bilangan asli n, misalkan P
n
adalah pernyataan: P
n
: 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=
12 1
6 n n
n +
+
Kita perhatikan bahwa: P
1
: 1
2
=
11 12 1 6
+ +
merupakan pernyataan yang benar. Sekarang diasumsikan bahwa P
i
merupakan pernyataan benar, sehingga berlaku: P
i
: 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + i
2
=
12 1
6 i i
i +
+
Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa
128
Latihan 3.8
Dengan kebenaran P
i
, kemudian ditunjukkan bahwa P
i +1
juga benar. Perhatikan bahwa: 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + i
2
+ i + 1
2
=
12 1
6 i i
i +
+
+ i + 1
2
= i + 1
2
2 6
6 6
i i
i + + +
= i + 1
2
2 7
6 6
i i
+ +
=
1 22
3 6
i i
i +
+ +
Jadi, P
i + 1
juga benar. Akibatnya, dengan menggunakan prinsip induksi matematika, maka dapat disimpulkan bahwa P
n
adalah pernyataan benar untuk semua bilangan asli n.
1. Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa: a. 2 + 4 + 6 + ... + 2n = nn + 1
d. 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
=
2
1 2
n n +
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
b. 1 + 3 + 5 + ... + 2n 1 = n
2
e. 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
n
= 22
n
1 c.
1 + 2 + 3 + ... + n =
1 2
n n +
f. a + ar + ar
2
+ ... + ar
n
=
1 1
n
a r
r −
−
, r ≠ 1
2. Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa: a. 3
2n
1 habis dibagi 8 untuk setiap bilangan asli n b. 5
2n
1 habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n c.
n n + 1 n + 2 habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli n d. n
2
n + 1
2
habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli n e.
3
4n
1 habis dibagi 80 untuk setiap bilangan asli n 3. Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa:
a.
1
1 2
12 1
2 1
n k
n k
k n
=
= ∑
− +
+
c.
1
1 3231
31
n k
n k
k n
=
= ∑
− +
+
b.
1
5 3
5 1
2
n k
n n k
=
+ − =
∑
4. Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa: a.
n n
a b
a b −
−
= a
n-1
+ a
n-2
b + a
n-3
b
2
+ ... + ab
n-2
+ b
n-1
b.
2 1
2 1
n n
a b
a b
+ +
+ +
= a
2n
a
2n-1
b + a
2n-2
b
2
+ ... + ab
2n-1
+ b
2n
c.
sin 2 2sin
n α
α
= cos α + cos 3α + cos 5α + ... + cos 2n 1 α.
BAB III ~ Barisan dan Deret
129
5. Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa: a. 2
n
≥ n untuk setiap bilangan asli n b. 2
n
≥ 2n untuk setiap bilangan asli n c.
3
n
≥ 2n + 1 untuk setiap bilangan asli n.
3.9 Aplikasi Deret Aritmetika dan Geometri
