Penyelesaian Persoalan Program Linear

Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 14 2. Sebuah perusahaan makanan kecil ingin memproduksi 2 jenis makanan kecil, yaitu jenis A dan B. Untuk membuat 2 jenis makanan kecil tersebut diperlukan bahan mentah berupa tepung, telur, gula, dan mentega yang masing-masing tersedia 40 kg, 20 kg, 30 kg, dan 25 kg. Untuk setiap 1 satuan makanan kecil jenis A memerlukan 2 kg tepung, 3 kg telur, 2 kg gula, dan 3 kg mentega. Sedangkan untuk setiap 1 satuan makanan kecil jenis B memerlukan 5 kg tepung, 2 kg telur, 3 kg gula, dan 2 kg mentega. Keuntungan setiap satu satuan makanan kecil jenis A adalah Rp10.000,00 dan untuk makanan jenis B adalah Rp7.500,00. Berapa banyaknya produksi masing-masing makanan kecil tersebut agar diperoleh keuntungan yang maksimal? Buatlah model matematikanya. 3. Seorang peternak ayam ingin mempertahankan kondisi ayamnya tetap sehat. Agar tetap sehat, setiap ayam harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 36, 24, dan 40 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Untuk keperluan tersebut, terdapat dua jenis makanan yaitu jenis P dan Q. Satu kg jenis makanan P mengandung nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 2 satuan. Sedangkan satu kg jenis makanan Q mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 2, 1, dan 2 satuan. Harga satu kg makanan jenis P dan Q masing-masing adalah Rp8.000,00 dan Rp6.000,00. Peternak tersebut harus memutuskan membeli satu jenis makanan saja atau dua jenis makanan tersebut, kemudian mencampurnya agar peternak tersebut mengeluarkan uang sedikit mungkin, tetapi ayamnya tetap sehat. Buatlah model matematika dari persoalan ini. 4. Seseorang mempunyai tanah seluas 420 m 2 di daerah perkotaan. Berhubung di daerah tersebut telah dipenuhi pertokoan, orang tersebut tidak lagi mendirikan toko pada tanahnya dan dia melihat bahwa di daerah tersebut tidak ada lagi lahan untuk parkir mobil. Oleh sebab itu, dia ingin membuat tempat parkir untuk mobil sedan dan bus. Luas rata-rata untuk sebuah mobil sedan adalah 6 m 2 , sedangkan untuk sebuah bus adalah 20 m 2 . Tempat parkir tersebut tidak dapat memuat lebih dari 70 mobil. Tarif parkir untuk sebuah mobil sedan adalah Rp5.000,00 dan bus Rp10.000,00. Berapakah masing-masing mobil tersebut dapat parkir, agar diperoleh penghasilan yang maksimal? Buatlah model matematika untuk persoalan ini. 5. Suatu kapal laut mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 500 orang. Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawa barang paling banyak 60 kg, sedang untuk kelas ekonomi boleh membawa barang sebanyak 40 kg. Kapal tersebut hanya dapat membawa barang tidak lebih dari 18. 000 kg. Bila tiket untuk setiap penumpang kelas eksekutif Rp400.000,00 dan kelas ekonomi Rp200.000,00, berapa banyaknya penumpang masing-masing kelas agar diperoleh pendapatan sebanyak-banyaknya? Buatlah model matematika untuk persoalan ini.

1.4 Penyelesaian Persoalan Program Linear

Telah disebutkan di dalam subbab sebelumnya bahwa terdapat dua macam persoalan program linear, yaitu persoalan maksimisasi dan persoalan minimisasi. Cara sederhana untuk menyelesaikan persoalan program linear adalah: 1. Mengubah persoalan program linear tersebut ke dalam model matematika dengan menentukan fungsi tujuan yang berupa fungsi linear dan syarat-syarat batasannya yang berupa sistem pertidaksamaan linear atau persamaan linear. 2. Menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linearnya. 3. Mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsi tujuan yang diberikan pada daerah penyelesaian. 4. Menjawab persoalannya, yaitu mengembalikan penyelesaian model matematika ke penyelesaian persoalan program linearnya. BAB I ~ Program Linear 15 Catatan: Jika suatu persoalan program linear telah dinyatakan dalam bentuk model matematika, maka kita hanya tinggal mengerjakan langkah 2 dan langkah 3 dari empat langkah di atas. Berikut ini diberikan dua contoh penyelesaian persoalan program linear, contoh pertama merupakan persoalan program linear maksimisasi, sedangkan contoh kedua merupakan persoalan program linear minimisasi. Contoh 1.4.1 Seorang penjahit ingin membuat 2 jenis pakaian yaitu jenis A dan jenis B, masing- masing memerlukan dua bahan kain yaitu bahan I dan bahan II. Untuk pakaian jenis A memerlukan kain bahan I sebanyak 2 m dan kain bahan II 0,25 m. Untuk pakaian jenis B memerlukan kain bahan I sebanyak 1 m dan kain bahan II sebanyak 0,5 m. Penjahit tersebut ingin membuat pakaian sedemikian hingga jumlah kedua pakaian tersebut sebanyak-banyaknya. Kain bahan I tersedia 30 m dan kain bahan II tersedia 12 m. Berapa buah pakaian jenis A dan jenis B dapat dibuat sehingga diperoleh jumlah kedua pakaian tersebut maksimal, apabila bahan-bahan lain untuk membuat kedua pakaian tersebut cukup? Penyelesaian: Langkah 1 Membuat model matematika dari persoalan program linear di atas. Misalkan: banyaknya pakaian jenis A yang dibuat adalah x buah dan banyaknya pakaian jenis B yang dibuat adalah y buah. Persoalan program linear di atas adalah memaksimumkan fungsi tujuan: fx,y = x + y dengan syarat-syarat: 2x + y ≤ 30 i 0,25x + 0,5y ≤ 12 ii x ≥ 0 y ≥ 0 iii x, y ∈ C himpunan semua bilangan cacah Langkah 2 Menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear i–iii Yang pertama dicari titik potong garis 2x + y = 30 dan garis 0,25x + 0,5y = 12 terhadap sumbu-sumbu koordinat. Perhatikan bahwa kita dapat menulis persamaan garis 0,25x + 05y = 12 dengan persamaan x + 2y = 48 karena persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang sama dan menghasilkan garis yang sama. Kemudian, dicari titik potong dari kedua garis tersebut. Bahan I II A 2 0,25 B 1 0,5 Bahan yang tersedia 30 12 Pakaian 2x + y = 30 x 0 15 y 30 0 x,y 0,30 15,0 0,25x + 0,5y = 12 x 48 y 24 0 x,y 0,24 48,0 Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 16 2x + y = 30 ⇒ 2x + y = 30 x + 2y = 48 ⇒ 2x + 4y = 96 _ –3y = –66 atau y = 22 x = 48 – 44 = 4 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 4,22. Himpunan penyelesaian atau daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan i – iii dapat digambarkan sebagai berikut. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear i – iv adalah daerah yang dibatasi oleh segi empat OABC. Langkah 3 Menentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan pada daerah penyelesaian. Untuk ini kita selidiki nilai x + y di titik-titik sudut dari segiempat OABC. Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan fx,y = x + y adalah 26 terjadi di titik B4,22 atau di x = 4 dan y = 22. Langkah 4 Menentukan penyelesaian persoalan program linearnya. Karena x dari model matematika menyatakan banyaknya pakaian jenis A yang dibuat dan y menyatakan banyaknya pakaian jenis B yang dibuat, maka dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan jumlah kedua jenis pakaian tersebut maksimal perlu dibuat pakaian jenis A sebanyak 4 dan pakaian jenis B sebanyak 22, dengan total pakaian yang dibuat adalah 26. 9 Contoh 1.4.2 Seorang petani menginginkan tanamannya tidak terserang hama. Agar keinginan terse- but terlaksana tanaman tersebut harus diberi pupuk yang mengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing-masing paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur kimia tersebut. Dua jenis pupuk P dan Q diberikan pada tanaman tersebut. Satu kg pupuk jenis P mengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg pupuk jenis Q mengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing- masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Perlu juga diketahui bahwa harga satu kg pupuk jenis P dan Q masing-masing adalah Rp8.000,00 dan Rp6.000,00. Petani tersebut harus memilih satu jenis pupuk saja atau kedua-duanya, kemudian mencampurkannya agar petani tersebut mengeluarkan uang seminimal mungkin. Selesaikan persoalan petani tersebut. Y X O0,0 48,0 0,30 A15,0 x + 2y = 48 C0,24 B4,22 2x + y = 30 Titik O0,0 A15,0 B4,22 C0,24 x 15 4 y 22 24 x + y 15 26 24 BAB I ~ Program Linear 17 Penyelesaian: Informasi dari persoalan program linear di atas dapat disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut. Langkah 1 Membuat model matematika dari persoalan program linear di atas. Misalkan: banyaknya pupuk jenis P yang dibeli adalah x kg banyaknya pupuk jenis Q yang dibeli adalah y kg Persoalan program linear di atas adalah mencari x dan y yang memini- malkan fungsi tujuan: fx,y = 8.000x + 6.000y dengan syarat-syarat: 3x + y ≥ 27 i x + y ≥ 21 ii x + 2y ≥ 30 iii x ≥ 0 iv y ≥ 0 v Langkah 2 Menentukan himpunan atau daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear i – v. Yang pertama dicari adalah titik potong garis-garis 3x + y = 27, x + y = 21, dan garis x + 2y = 30 terhadap sumbu-sumbu koordinat. Titik potong garis 3x + y = 27 dan garis x + y = 21 ditentukan sebagai berikut. 3x + y = 27 x + y = 21 _ 2x = 6 x = 3 y = 18 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah B3,18. Titik potong garis x + y = 21 dan garis x + 2y = 30 ditentukan sebagai berikut. x + y = 21 x + 2y = 30 _ –y = –9 y = 9 x = 12 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah C12,9. 3x + y = 27 x 9 y 27 x,y 0,27 9,0 x + y = 21 x 21 y 21 x,y 0,21 21,0 x + 2y = 30 x 30 y 15 x,y 0,15 30,0 Unsur Kimia Jenis U Jenis V Jenis W P 3 1 1 8.000 Q 1 1 2 6.000 Total min. 27 21 30 Jenis Pupuk Harga Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 18 Daerah penyelesaian DP dari sistem pertidaksamaan linear i – iv dapat digambarkan sebagai berikut. Langkah 3 Menentukan nilai minimum dari fungsi tujuan pada daerah penyelesaian. Untuk ini kita selidiki nilai 8.000x + 6.000y di titik-titik sudut A, B, C, dan D. Jadi, nilai minimum fungsi tujuan fx,y = 8.000x + 6.000y adalah 132.000 terjadi di titik B3,18 atau di x = 3 dan y = 18, dengan biaya minimal adalah Rp132.000,00. Langkah 4 Menentukan penyelesaian persoalan program linearnya. Agar dikeluarkan biaya sedikit mungkin, maka petani tersebut harus membeli pupuk jenis A sebanyak 3 kg dan pupuk jenis B sebanyak 18 kg. 9 Berikut diberikan contoh penyelesaian persoalan program linear yang telah diketahui model matematikanya. Contoh 1.4.3 Selesaikan persoalan program linear maksimisasi berikut. Tentukan nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi tujuan: fx,y = 3x + 2y dengan syarat-syarat: x + 2y ≤ 8 i x + y ≤ 6 ii x ≥ 0, y ≥ 0 iii Penyelesaian: Sebelumnya ditentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan i – iii. Untuk ini dicari titik potong garis x + 2y = 8 dan garis 2x + y = 12 terhadap sumbu- sumbu koordinat. Y X 0 9,0 21,0 0,21 0,15 3x + y = 27 x + y = 21 x + 2y = 30 A0,27 B3,18 C12,9 D30,0 Titik A0,27 B3,18 C12,9 D30,0 x 3 12 3 y 27 18 9 8.000x + 6.000y 162.000 132.000 150.000 240.000 BAB I ~ Program Linear 19 Tugas Mandiri Titik potong garis x + 2y = 8 dan garis x + y = 6 ditentukan sebagai berikut. x + 2y = 8 x + y = 6 _ y = 2 dan akibatnya x = 6 – 2 = 4 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 4,2. Himpunan penyelesaian atau daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan i – iii dapat digambarkan sebagai berikut. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear i – iii adalah daerah yang dibatasi oleh segi empat OABC. Nilai maksimum dari fungsi tujuan pada daerah penyelesaian dapat ditentukan dengan menyelidiki nilai fx,y = 3x + 2y di titik-titik sudut dari segi empat OABC. Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan fx,y = 3x + 2y adalah 18 terjadi di titik A6,0 atau di x = 6 dan y = 0. 9 Carilah informasi di internet yang terkait dengan persoalan program linear, kemudian buatlah laporan dan diskusikan dengan teman-teman Anda. Selanjutnya presentasikan hasil diskusi tersebut di depan kelas. x + y = 6 x 6 y 6 x,y 0,6 6,0 x + 2y = 8 x 8 y 4 x,y 0,4 8,0 Titik O0,0 A6,0 B4,2 C0,4 x 6 4 y 2 4 3x + 2y 18 16 8 Y X O0,0 A6,0 8,0 0,6 B4,2 x + 2y = 8 x + y = 6 C0,4 Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 20 1. Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis barang yaitu barang jenis P dan Q. Kedua barang tersebut dibuat dengan menggunakan dua mesin yaitu mesin I dan mesin II. Untuk membuat barang P diperlukan 2 jam pada mesin I dan 3 jam di mesin II, sedangkan untuk membuat barang Q diperlukan 4 jam di mesin I dan 2 jam di mesin II. Mesin I dapat bekerja 20 jam setiap hari dan mesin II dapat bekerja 18 jam setiap hari. Jika dari setiap barang P diperoleh laba Rp5.000,00 dan dari setiap barang Q diperoleh laba Rp8.000,00, tentukan banyaknya barang jenis P dan barang jenis Q yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan yang maksimum. Hitunglah keuntungan maksimumnya. 2. Sebuah perusahaan roti memerlukan 250 gram tepung dan 150 gram mentega untuk membuat roti jenis A, sedangkan untuk membuat roti jenis B diperlukan 150 gram tepung dan 100 gram mentega. Perusahaan tersebut mempunyai persediaan tepung sebanyak 30 kg tepung dan 15 kg mentega. Berapakah banyaknya masing-masing jenis roti dari kedua jenis tersebut dapat dibuat agar diperoleh banyaknya roti dari kedua jenis tersebut maksimal? 3. Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 400 penumpang. Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawa barang di bagasi maksimum 60 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi bagasinya dibatasi 20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi tidak lebih dari 12.000 kg. Bila tiket untuk setiap penumpang kelas eksekutif Rp800.000,00 dan tiket untuk kelas ekonomi Rp300.000,00, tentukan berapa banyaknya penumpang masing-masing kelas tersebut agar diperoleh pendapatan sebanyak-banyaknya. 4. Carilah nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi tujuan: fx,y = 5x + 4y dengan syarat-syarat: 3x + 2y ≤ 12 x + 3y ≤ 9 x ≥ 0, y ≥ 0 5. Carilah nilai x dan y yang meminimumkan fungsi tujuan: fx,y = 3x + 2y dengan syarat-syarat: 3 x + y ≥ 6 x + y ≥ 4 x ≥ 0, y ≥ 0

1.5 Penggunaan Garis Selidik untuk Nilai Optimum