Deret Geometri Konvergen Matematika Bahasa Kelas 12 Sutrima Budi Usodo 2009

BAB III ~ Barisan dan Deret 119

3.6 Deret Geometri Konvergen

Pertama-tama kita perhatikan barisan-barisan geometri berikut ini. 1. 1, 2, 4, 8, ... 3. 4, 2, 1, 1 2 , ... 2. 3, –9, 27, –81, ... 4. 100, –10, 1, 1 10 − , ... - Barisan 1 mempunyai rasio 2, sehingga suku-suku dari barisan tersebut semakin membesar. - Barisan 2 mempunyai rasio –3 nilai mutlak dari rasio adalah 3, sehingga nilai mutlak dari suku-suku barisan tersebut juga semakin membesar. - Barisan 3 mempunyai rasio 1 2 , sehingga suku-suku dari barisan tersebut semakin kecil. - Barisan 4 mempunyai rasio 1 10 − , nilai mutlak dari rasio adalah 1 10 , sehingga nilai mutlak dari suku-suku barisan tersebut semakin kecil. Barisan 1 dan barisan 2 yang nilai mutlak suku-sukunya semakin membesar disebut barisan divergen, sedangkan barisan 3 dan 4 yang nilai mutlak suku-sukunya semakin kecil disebut barisan konvergen. Dari contoh-contoh seperti di atas, dapat disimpulkan bahwa agar barisan geometri merupakan barisan konvergen, maka nilai mutlak dari rasionya harus lebih kecil 1. Dari barisan konvergen dapat dibentuk deret konvergen. Pada deret konvergen, jumlah semua suku tidak akan melebihi suatu harga tertentu, walaupun banyaknya suku tak hingga. Sekarang kita perhatikan deret geometri berikut. 1 + 1 1 1 1 1 2 4 8 2 n − + + + + + L L Deret ini mempunyai suku pertama, a = 1 dan rasio, r = 1 2 . Jumlah n suku pertama dari deret ini adalah: S n = 1 1 1 2 1 1 2 n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − = 1 2 1 2 n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Diketahui bahwa 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 2 , 2 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 4 , 3 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 8 , ... 1 2 n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ nilainya semakin kecil jika n diambil semakin besar. Selisih antara 1 2 n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dengan 0 dapat diambil sekecil-kecilnya. Deret geometri yang demikian disebut deret konvergen. Dari keterangan di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu deret geometri tak hingga dikatakan konvergen, jika |r| 1 dan r ≠ 0. Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen ini adalah: S ∞ = 1 a r − Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 120 Contoh 3.6.1 Hitunglah jumlah dari deret geometri yang konvergen berikut. a. 16 + 8 + 4 + 2 + ... b. 3 – 2 + 4 8 3 9 − +L Penyelesaian: a. Dari barisan yang diberikan diketahui a = 16 dan r = 1 2 1. Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah: S ∞ = 1 a r − = 16 1 1 2 − = 32 b. Dari barisan yang diberikan diketahui bahwa a = 3 dan r = 2 3 − . Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah: S ∞ = 1 a r − = 3 9 2 5 1 3 = ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ W Contoh 3.6.2 Suku pertama dari suatu deret geometri tak hingga adalah 3 dan jumlahnya sampai tak berhingga suku adalah 6. Carilah rasio, dan kemudian tunjukkan deret geometri tak hingga tersebut. Penyelesaian: Diketahui S ∞ = 1 a r − = 6 dengan a = 3, sehingga diperoleh hubungan: 3 1 r − = 6 ⇔ 6 – 6r = 3 ⇔ 6r = 3 ⇔ r = 1 2 Jadi, rasio dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 1 2 , sedangkan deret yang ditanyakan adalah: 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + ... W Contoh 3.6.3 Rumus suku ke-n dari deret geometri adalah u n = 1 1 3 n − . Tentukan n terkecil sedemikian hingga |S ∞ - S n | 0,001. BAB III ~ Barisan dan Deret 121 Penyelesaian: Dari soal tersebut diketahui a = u 1 = 1 dan u 2 = 1 3 . Akibatnya, rasionya adalah r = 1 3 . Selanjutnya, juga diperoleh: S ∞ = 1 a r − = 1 1 1 3 − = 3 2 dan S n = 1 1 1 3 1 1 1 1 3 n n a r r ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ = − − = 3 1 1 2 3 n ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Akhirnya, | S ∞ – S n | = 3 2 – 3 1 1 2 3 n ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 1 2 3 n − ⋅ dan |S ∞ – S n | 0,001 ⇔ 1 1 2 3 n − ⋅ 1 1.000 ⇔ 1 1 3 n − 1 500 ⇔ 3 n – 1 500 ⇔ n – 1 5karena 3 5 = 243 dan 3 6 = 729 ⇔ n 6 Jadi, n terkecil agar |S ∞ - S n | 0,001 adalah 6. W 1. Tunjukkan mana dari deret geometri tak hingga berikut yang konvergen dan mana yang divergen. a. 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + ... d. 16 – 8 + 4 – 2 + ... b. 1.000 + 100 + 10 + 1 + ... e. 10 + 10 2 + 10 3 + 10 4 + ... c. 3 + 9 + 27 + 81 + ... f. 2 + 2 2 + 4 + 4 2 + ... 2. Hitunglah S ∞ dari deret geometri tak hingga berikut bila ada dan berikan penjelasan jika tidak ada. a. 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + ... d. 9 – 3 + 1 – 1 3 + ... b. 1,01 + 1,01 2 + 1,01 3 + 1,01 4 + ... e. 1 + 1 + 1 3 + 1 9 + 1 27 + ... c. 10 5 + 10 4 + 10 3 + 10 2 + ... f. 30 + 15 + 1 7 2 + 3 3 4 + ... Latihan 3.6 Matematika SMAMA Kelas XII - Bahasa 122 3. Rumus suku ke-n dari suatu deret geometri adalah u n = 1 1 5 n + . Tentukan suku pertama, rasio, dan jumlah tak hingga suku dari deret geometri tersebut. 4. Suatu deret geometri tak hingga diketahui mempunyai rasio, r = 3 4 dan jumlah tak berhingga sukunya adalah 6. Tentukan suku pertama dan deret geometri tersebut. 5. Suatu deret geometri tak hingga mempunyai suku pertama 81 dan suku ke-5 adalah 1. Tentukan rasio dan jumlah tak hingga dari deret geometri tersebut. 6. Rumus suku ke-n dari deret geometri adalah u n = 1 3 4 n − . Tentukan n terkecil sedemikian hingga |S ∞ - S n | 0,001. 7. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 32 m. Setelah memantul di tanah, bola tersebut mencapai ketinggian 3 4 kali ketinggian sebelumnya, begitu seterusnya. Berapa meterkah jarak yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti? 8. Di dalam sebuah persegi dengan sisi 8 cm dibuat persegi kedua dengan menghubungkan titik-titik tengah sisi persegi pertama. Kemudian, dibuat persegi ketiga dengan menghubungkan titik-titik tengah sisi persegi kedua, begitu seterusnya. Berapakah jumlah semua luas persegi yang dibuat?

3.7 Notasi Sigma