sehingga:
2 2
2 2
2
ln ln
ln ln
1 2
1 1
t t
t t
t t
t t
t
W W
d W
dt dW
t w
W dW
w dW
dW W
W ∂
∂ =
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
⎛ ⎞
= + −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
t
t
t t
2 2
t
17
dari Persamaan 15:
t t
t
dW W µ h dt
W dB
σ
= −
+
2 2
2 2
2
t t
t t
t t
t t
dW W µ h dt
W dB W µ h dt
W dB W µ h dt
W dB
σ σ
σ
= −
+ =
− +
+ −
2 2
2 2
2
2
t t
t t
t t
t
dW W µ h
dt W
dB W µ h
W dtdB
W dt
σ σ
σ
= −
+ +
− =
dengan:
0 , .
t t
t t
dt dt dt dB
dB dt dB dB
dt ⋅ = ⋅
= ⋅ =
⋅ =
Sehingga Persamaan 17 menjadi:
2 2
2 2
1 1
ln 2
1 2
t t
t t
t t
d W
dW W d
W W
dW dt
W
σ σ
= −
= −
t
t
atau:
2
1 ln
2
t t
t
dW d
W d
W
σ
= +
t
Pengintegralan kedua ruas menjadi:
2
1 ln
2
= +
∫
t s
t s
dW W
t W
W
σ . 18 Dari Persamaan 16 dan Persamaan 18
didapat persamaan:
2 2
2 2
2
1 ln
2 1
ln 2
1 ln
2 1
exp 2
1 exp
. 2
+ =
− +
= −
− +
⎛ ⎞
= − −
+ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
⎞ ⎛
⎞ =
− − +
⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎛⎛
⎞ =
− − +
⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝
t t
t t
t t
t t
t
W t
µ h t B
W W
µ h t t
B W
W µ h
t B
W W
µ h t
B W
W W
µ h t
B
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
⎟ ⎠
⎞ ⎟
⎠
t
Karena investasi awal maka investasi
aset berisiko pada saat menjadi:
W W
= t
2
1 exp
. 2
t
W W
µ h t
B
σ σ
⎛⎛ ⎞
= − −
+ ⎜⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
Persamaan 19 menunjukkan bahwa investasi aset berisiko dipengaruhi volatilitas
σ yang menyatakan tingkat keacakan harga saham
dari aset pokok yang dipilih, dan adalah
bagian yang mengandung keacakan ketidakpastian dari harga saham. Dengan
menggunakan nilai dari Persamaan 19,
maka pendapatan dari anuitas variabel segera pada Persamaan 13 menjadi:
t
dB
t
W
2
exp 2
t t
x
W c
h h
μ
σ μ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
t B
σ
= ⎜
− − +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a
⎟
. 20
3.2.2.1 AVS Ketika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen
Anuitas variabel segera ketika sisa hidup menyebar secara eksponen pada Persamaan
14 menjadi:
1 1
.
ht x
t x
h t t
t h t
t h t
h e
P dt e
e dt
e dt
e h
h
λ λ
λ
λ λ
∞ − ∞ −
− ∞ − +
=∞ −
+ =
= =
= = −
+ =
+
∫ ∫
∫
a
21
Arus pendapatan seumur hidup dari anuitas variabel segera pada Persamaan 20 menjadi:
2
exp 2
t t
c h W
h t
B
μ
σ λ
μ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
.
σ
= +
⎜ − −
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎟
W
22 Jika AIR sama dengan tingkat bebas risiko,
sehingga h = r, dan aset yang ada merupakan
aset bebas risiko, maka μ = r dan σ = 0,
sehingga total pendapatan per periode akan sama dengan kasus anuitas tetap segera
sebesar: . Tingkat imbal hasil
yang diharapkan
r
c r
λ
= +
μ yang semakin rendah akan menurunkan penerimaan pendapatan
seumur hidup. 3.3 Alokasi Aset Saat
Retirement
t
⎞ ⎟
⎠
19 Pada saat retirement keputusan memilih
antara aliran pembayaran tetap dan variabel bukanlah pilihan mudah. Individu dapat
memilih kombinasi apapun dari aliran pembayaran tetap dan variabel. Jika
α menunjukkan proporsi alokasi pada aset
berisiko dan
1
α
−
sebagai proporsi alokasi
aset bebas risiko, maka pembayaran anuitas segera pada saat
retirement merupakan suatu kombinasi imbal hasil dari kedua anuitas
tersebut. Pemilihan AIR dari anuitas variabel segera pada tingkat bebas risiko akan
menghasilkan aliran kombinasi anuitas dengan pendapatan seumur hidup yang
direpresentasikan pada Persamaan 23.
2
exp .
2
t t
x
W c
r t
r
σ α μ
ασ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= ⎜
− − +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a B
⎟
23 Persamaan 23 diperoleh melalui
penyelesaian persamaan:
1
r t
t r
t t
t
dc dc
dc c
c c
μ μ
α α
= + −
t
. 24 Bukti: lihat Lampiran 3.
Pada Persamaan 24, dapat dilihat bahwa merupakan fungsi dari
t
c
α
, yang menunjukkan bagian dari keseluruhan tingkat aliran uang
dalam waktu kontinu yang masuk ke dalam anuitas variabel segera. Hal ini dapat
menegaskan bahwa ketika
1
α
=
, aliran pendapatan menjadi variabel seluruhnya. Pada
saat α
=
pendapatan dari anuitas akan menjadi tetap. Nilai apapun dari
α
yang mungkin terjadi di antara nol dan satu, akan
menghasilkan berbagai tingkat variasi kombinasi alokasi aset antara keduanya.
Pada tahap konsumsi, individu akan memaksimalkan harapan kepuasan konsumsi
yang telah didiskon, dimana fungsi kepuasan diasumsikan dalam bentuk CRRA:
1
11 u c
c
γ
γ
−
= −
dengan faktor diskon
t
e
ρ
−
. Kepuasan konsumsi yang telah didiskon merupakan peubah acak, sehingga fungsi
kepuasan konsumsi yang telah didiskon dapat dituliskan dalam persamaan:
1
1 1
T t
t
U e
c
ρ γ
α γ
− −
= −
∫
dt
dengan
, , dan
t
c
ρ γ seperti yang didefinisikan
sebelumnya. Nilai harapan kepuasan konsumsi yang telah didiskon menjadi:
1
1 1
T t
t
EU E
e c
dt
ρ γ
α γ
− −
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− ⎣
⎦
∫
dengan:
{ }
1 .
T t
t T t
t t
x
E g B dt
E g B
dt E
g B p dt
∞ ∞
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎡
⎤ = ⎢
⎥ ⎣
⎦
∫ ∫
∫
25 Persamaan 25 menunjukkan bahwa
T
tidak bergantung pada
, sebagai contoh pergerakan harga saham tidak mempengaruhi
kesehatan individu, dan
1
menunjukkan fungsi indikator dari kejadian kematian yang
terjadi setelah t, sehingga:
t
B
{ }
T t
1
1 .
1
t t
t x
EU E
e c
p dt
ρ γ
α γ
∞ − −
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− ⎣
⎦
∫
26
3.3.1 Alokasi Optimal Ketika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen
