Simpulan Optimalisasi alokasi aset di dalam rekening anuitas variabel

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Kontrak anuitas variabel adalah suatu rencana pengumpulan aset di mana seluruh keuntungan di dalam anuitas variabel tidak dikenai pajak sampai anuitas tersebut cair atau diserahkan pada saat retirement. Alokasi aset di dalam rekening anuitas variabel akan dialirkan ke dalam sub-rekening bebas risiko dan sisanya masuk ke dalam sub-rekening berisiko. Pada saat retirement, aset-aset yang telah terkumpul di dalam rekening anuitas variabel dapat dialokasikan kembali ke dalam bentuk anuitas segera. Anuitas tetap segera menghasilkan pendapatan tetap per periode dan anuitas variabel segera menghasilkan pendapatan tidak tetap per periode. Alokasi optimal aset berisiko sebelum retirement sebesar 2 min ,1 r μ α γσ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , memberikan hasil yang sama pada saat retirement. Optimalisasi alokasi aset di dalam kontrak anuitas variabel dipengaruhi oleh: 1. koefisien CRRA γ 2. volatilitas σ 3. tingkat imbal hasil yang diharapkan μ 4. tingkat imbal hasil konstan . r Pengaruh γ , σ , μ dan terhadap proporsi alokasi aset: r • naik turun dan 1 naik γ α α → − • naik turun dan 1 naik σ α α → − • naik naik dan 1 turun μ α α → − • naik turun dan 1 naik r α α → − dengan: α : proporsi alokasi aset berisiko 1 α − : proporsi alokasi aset bebas risiko. 5.2 Saran Dalam karya ilmiah ini hanya dibahas strategi keputusan dalam mengoptimalkan alokasi aset di dalam kontrak variabel anuitas dengan mengasumsikan sisa hidup individu menyebar secara eksponen. Perlu dilakukan penelusuran lebih lanjut untuk fungsi sebaran sisa hidup yang lainnya dan kapan waktu yang tepat untuk mengikuti program anuitas serta berapa banyak yang harus diinvestasikan. VI DAFTAR PUSTAKA Anderson, J. R. and Hardeker J. B . 2003. Risk Aversion in Economic Decision Making: Pragmatic Guides for Consistent Choice by Natural Resource Managers. Journal of Risk and Uncertainty in Environmental and Natural Resource Economics, 171-187. Durret, R. 1996. Probability: Theory and Examples. ed. Duxbury Press. New York. nd 2 Fishburn, P. C. 1970. Utility Theory for Decision Making. Robert E. Krieger Publishing Co. New York. Gerber, H. U. 1997. Life Insurance Mathematics. ed. Springer Verlag. Berlin. rd 3 Grimmet, G. R. and D. R. Stirzaker . 2001. Probability and Random Processes. ed. University Press. Oxford. New York. rd 3 Harvey, C. R. and M. Gretchen . 2002. The New York Times Dictionary of Money and Investing: The Essential A-Z Guide for the Language of The New Market. Henry Holt Company. New York. Hogg, R. V.,

J. W. McKean, and A. T. Craig

. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. ed. Prentice-Hall. New Jersey. th 6 Milevsky, M. A. and C. Narat . 2001. Optimal Asset Allocation in Life Annuities . Insurance: Mathematics and Economics, 199–209. Oksendal, B. 2003. Stochastic Differential Equations. ed. Springer. Berlin. th 6 Rejda, G. E . 2004. Principles of Risk Management and Insurance. ed. th 9 Addison Wesley. California. Ross, S. M . 2003. Introduction to Probability Model. ed. Academic Press Inc. Orlando, Florida. th 8 L A M P I R A N LAMPIRAN 1 Optimalisasi proporsi aset berisiko t α sebelum retirement. Dari Persamaan 1 akumulasi kekayaan pada saat t mengikuti persamaan diferensial stokastik 1-dimensi: 1 . t t t t t t t dW W µ r dt s dt W dB α α α σ = + − + + a.1 Diasumsikan individu tidak diperbolehkan untuk memasukkan simpanan baru ke dalam rekening anuitas variabel sehingga arus simpanan baru s dt = . Persamaan a.1 menjadi: 1 t t t t t t t dW W µ r dt W dB α α α σ = + − + a.2 1 t t t t t t dW µ r dt dB W α α α σ = + − + , atau: 1 ; 0 , . t s t t t t s dW µ r t B B W w W α α α σ = + − + = = ∫ a.3 Penyelesaian sisi kiri dari Persamaan a.3 menggunakan Teorema Formula Ito 1-Dimensi. Misalkan: 2 2 2 , ln ; , ln ln ln ln 1 , , 2 t t t t t t t t t t g t w w w Y g t W Y W W W W dY dt dW t W t w w = = = ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ sehingga: 2 2 1 1 ln t t t t t d W dW dW W W ⎛ ⎞ = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 t 2 1 1 ln 2 t t t t t d W dW W dt W W α σ = − 2 2 t 1 ln 2 t t t dW d W dt W α σ = − 2 2 t 1 ln 2 t t t dW d W dt W α σ = + , atau: 2 2 t 1 ln 2 t s t s dW W t W W α σ = + ∫ a.4 Dari Persamaan a.3 dan Persamaan a.4 didapat persamaan: 2 2 2 2 1 ln 1 2 1 ln 1 2 t t t t t t t t t t t t W t µ r t B W W µ r t B W α σ α α α σ α α α σ α σ + = + − + ⎛ ⎞ = + − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 1 exp 1 . 2 t t t t t t W W µ r t B α α α σ α σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a.5 Diasumsikan individu tidak diperbolehkan untuk mengubah proporsi kedua sub-rekening di dalam rekening anuitas variabel. Sehingga besarnya proporsi alokasi aset adalah tetap, misalkan . t α α = Dari Persamaan a.5 jumlah kekayaan pada saat retirement T : 2 2 1 exp 1 ; . 2 T T W W µ r T B t T α α α σ ασ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − − + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dari Persamaan 2 nilai harapan fungsi kepuasan yang maksimal adalah 1 1 max 1 T E W γ α γ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ . 1- 1 2 2 1- 2 2 1 1 1 exp 1 1 1 1 2 1 1 exp 1 1 1 2 T T T E W E W µ r T B W E µ r T B γ γ γ α α α σ γ ασ γ γ γ α α α σ ασ γ − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ = + − − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ − − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + − − + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ misalkan: 2 2 1 1 1 2 a µ r γ α α α σ ⎛ ⎞ = − + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 c γ ασ = − sehingga: 1 1- 1- 1 1 exp 1 1 1 1 T T T cB T E W W E aT cB W e E e γ γ γ γ γ γ − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = + ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ − ⎝ ⎠ a a.6 Diasumsikan gerak Brown 1-dimensi { } , B T T ≥ adalah proses stokastik dengan B = . Untuk t T ≤ ≤ , selisih B T B t − menyebar 0, N T t − dengan fungsi kepekatan peluang: 2 1 exp 2 2 X x f x T t T t π ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ dan fungsi pembangkit momen: cX cx X X M c E e e f x dx = = ∫ ฀ Persamaan a.6 menjadi: 2 2 2 2 2 2 1 1- 2 1- 2 2 2 2 1- 1- 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 x T t T cx T x cx T t T c T t c T t T t cx x T t T E W W e e e dx T t W e e dx T t W e e dx T t W γ γ γ γ γ γ γ π γ π γ π γ − ∞ − − −∞ − ∞ − −∞ − − − − − + ∞ − −∞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − − − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ = − ⎝ ∫ ∫ ∫ a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1- 2 2 1- 2 1 2 1 1 1 2 1 1 . 1 2 c T t c T t x x c T t T t T x c T t c T t T t T x c T t c T t T t T e e e dx T t W e e e dx T t W e e e dx T t γ γ π γ π γ π − − + − − − ∞ − −∞ − − − − ∞ − −∞ − − − − ∞ − −∞ ⎛ ⎞ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ a a a a.7 Pada Persamaan a.7 2 2 1 1 2 x c T t T t e dx T t π − − − ∞ − −∞ = − ∫ karena merupakan fungsi sebaran. Persamaan a.7 menjadi: 2 1 1- 2 1 1 1 1 c T t T T E W W e e γ γ γ γ − − ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ a . Karena t T ≤ ≤ , diasumsikan t = maka T ≥ , sehingga: 2 2 1 1- 2 2 1- 1 1 1 1 1 1 c T T T c T E W W e e W e γ γ γ γ γ γ − ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ a a dengan: 2 2 1 1 1 2 a µ r γ α α α σ ⎛ ⎞ = − + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 c γ ασ = − sehingga: 2 1 1- 2 2 2 2 1- 2 2 2 2 1- 2 2 1 1 1 1 exp 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 exp 1 1 1 1 2 2 1 1 exp 1 1 1 2 T E W W T µ r W T µ r W T µ r γ γ γ γ γ α α α σ γ α σ γ γ γ α α α σ γ α σ γ γ α α γα σ γ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + − − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + − − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 max 1 T W γ α γ − ⎡ ⎤ Ε ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ akan tercapai jika α pada 2 2 1 1 2 µ r α α γα σ ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ maksimal, sehingga diperoleh α yang optimal: 2 2 2 2 1 1 2 . d µ r d µ r µ r α α γα σ α γασ α γ σ ⎛ ⎞ + − − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − = − = a.8 Dari pembatasan nilai 0 1 α ≤ ≤ , maka nilai α yang optimal menjadi: 2 min ,1 r μ α γσ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . a.9 LAMPIRAN 2 Penurunan Persamaan 6 menjadi Persamaan 7. Dari Persamaan 6: ln 1 x d G t dt η = − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , b.1 dengan: G t : fungsi sebaran dari T yang merupakan peluang seseorang berusia x akan meninggal dalam kurun waktu t tahun. Diasumsikan: s t : fungsi bertahan hidup yang merupakan peluang seseorang berusia x akan mencapai usia x t + sehingga: 1 . s t G t = − Maka Persamaan b.1 menjadi: ln . x d s t dt η = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ b.2 Pengintegralan Persamaan b.2 dari x hingga x t + : ln x t s x s x t ds s x η + ⎡ ⎤ + − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ b.3 Diasumsikan seseorang baru lahir x = maka fungsi bertahan hidup seseorang berusia x akan sama dengan fungsi bertahan hidup seseorang baru lahir s akan meninggal pada saat x t + dengan syarat ia hidup mencapai usia x, direpresentasikan dengan: x t t x x s x t p p p s x + + = = Sehingga Persamaan b.3 menjadi : [ ] [ ] ln exp exp ln exp x t s t x x x t s t x x x t t x s x ds p ds p p ds η η η + + + − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ b.4 LAMPIRAN 3 Penurunan Persamaan 23 melalui Persamaan 24.