V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Kontrak anuitas variabel adalah suatu rencana pengumpulan aset di mana seluruh
keuntungan di dalam anuitas variabel tidak dikenai pajak sampai anuitas tersebut cair atau
diserahkan pada saat retirement. Alokasi aset
di dalam rekening anuitas variabel akan dialirkan ke dalam sub-rekening bebas risiko
dan sisanya masuk ke dalam sub-rekening berisiko.
Pada saat retirement, aset-aset yang telah terkumpul di dalam rekening anuitas variabel
dapat dialokasikan kembali ke dalam bentuk anuitas segera. Anuitas tetap segera
menghasilkan pendapatan tetap per periode dan anuitas variabel segera menghasilkan
pendapatan tidak tetap per periode. Alokasi optimal aset berisiko sebelum retirement
sebesar
2
min ,1
r
μ α
γσ ⎡
⎤ −
= ⎢
⎥ ⎣
⎦ , memberikan hasil
yang sama pada saat retirement.
Optimalisasi alokasi aset di dalam kontrak anuitas variabel dipengaruhi oleh:
1. koefisien CRRA γ
2. volatilitas σ
3. tingkat
imbal hasil
yang diharapkan
μ 4.
tingkat imbal hasil konstan .
r
Pengaruh γ ,
σ , μ dan terhadap proporsi alokasi aset:
r
• naik
turun dan 1 naik
γ α
α →
−
• naik
turun dan 1 naik
σ α
α →
−
• naik
naik dan 1 turun
μ α
α →
−
• naik
turun dan 1 naik
r α
α →
−
dengan:
α
: proporsi alokasi aset berisiko
1 α
−
: proporsi alokasi aset bebas risiko. 5.2 Saran
Dalam karya ilmiah ini hanya dibahas strategi keputusan dalam mengoptimalkan
alokasi aset di dalam kontrak variabel anuitas dengan mengasumsikan sisa hidup individu
menyebar secara eksponen. Perlu dilakukan penelusuran lebih lanjut untuk fungsi sebaran
sisa hidup yang lainnya dan kapan waktu yang tepat untuk mengikuti program anuitas serta
berapa banyak yang harus diinvestasikan.
VI DAFTAR PUSTAKA
Anderson, J. R. and Hardeker J. B . 2003.
Risk Aversion in Economic Decision Making: Pragmatic Guides for
Consistent Choice by Natural Resource Managers.
Journal of Risk and Uncertainty in Environmental
and Natural Resource Economics, 171-187.
Durret, R. 1996.
Probability: Theory and Examples.
ed. Duxbury Press. New York.
nd
2
Fishburn, P. C. 1970.
Utility Theory for Decision Making. Robert E. Krieger
Publishing Co. New York. Gerber, H. U.
1997. Life Insurance
Mathematics. ed. Springer
Verlag. Berlin.
rd
3
Grimmet, G. R. and D. R. Stirzaker . 2001.
Probability and Random Processes. ed. University Press. Oxford.
New York.
rd
3 Harvey, C. R. and M. Gretchen
. 2002. The New York Times Dictionary of
Money and Investing: The Essential A-Z Guide for the Language of The
New Market. Henry Holt Company. New York.
Hogg, R. V.,
J. W. McKean, and A. T. Craig
. 2005. Introduction to
Mathematical Statistics. ed.
Prentice-Hall. New Jersey.
th
6
Milevsky, M. A. and C. Narat . 2001.
Optimal Asset Allocation in Life Annuities
. Insurance: Mathematics and Economics, 199–209.
Oksendal, B. 2003.
Stochastic Differential Equations.
ed. Springer. Berlin.
th
6
Rejda, G. E . 2004.
Principles of Risk Management and Insurance.
ed.
th
9 Addison Wesley. California.
Ross, S. M
. 2003. Introduction to Probability
Model. ed.
Academic Press Inc. Orlando, Florida.
th
8
L A M P I R A N
LAMPIRAN 1 Optimalisasi proporsi aset berisiko
t
α sebelum retirement.
Dari Persamaan 1 akumulasi kekayaan pada saat t mengikuti persamaan diferensial stokastik 1-dimensi:
1 .
t t
t t
t t
t
dW W
µ r dt
s dt W dB
α α
α σ =
+ − +
+ a.1
Diasumsikan individu tidak diperbolehkan untuk memasukkan simpanan baru ke dalam rekening anuitas variabel sehingga arus simpanan baru
s dt =
. Persamaan a.1 menjadi:
1
t t
t t
t t
t
dW W
µ r dt
W dB
α α
α σ
= + −
+
a.2
1
t t
t t
t t
dW µ
r dt dB
W
α α
α σ
= + −
+
, atau: 1
; 0 ,
.
t s
t t
t t
s
dW µ
r t B
B W
w W
α α
α σ =
+ − +
= =
∫
a.3 Penyelesaian sisi kiri dari Persamaan a.3 menggunakan Teorema Formula Ito 1-Dimensi.
Misalkan:
2 2
2
, ln
; ,
ln ln
ln ln
1 ,
, 2
t t
t t
t t
t t
t t
g t w w
w Y
g t W Y
W W
W W
dY dt
dW t W
t w
w =
= =
∂ ∂
∂ =
+ +
∂ ∂
∂ sehingga:
2 2
1 1
ln
t t
t t
t
d W
dW dW
W W
⎛ ⎞
= + −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
2 t
2
1 1
ln 2
t t
t t
t
d W
dW W dt
W W
α σ =
−
2 2
t
1 ln
2
t t
t
dW d
W dt
W α σ
= −
2 2
t
1 ln
2
t t
t
dW d
W dt
W α σ
= +
, atau:
2 2
t
1 ln
2
t s
t s
dW W
t W
W α σ
= +
∫
a.4 Dari Persamaan a.3 dan Persamaan a.4 didapat persamaan:
2 2
2 2
1 ln
1 2
1 ln
1 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
W t
µ r t
B W
W µ
r t
B W
α σ α
α α σ
α α
α σ α σ
+ =
+ − +
⎛ ⎞
= + −
− +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
1 exp
1 .
2
t t
t t
t t
W W
µ r
t B
α α
α σ α σ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= + −
− +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a.5 Diasumsikan individu tidak diperbolehkan untuk mengubah proporsi kedua sub-rekening di dalam
rekening anuitas variabel. Sehingga besarnya proporsi alokasi aset adalah tetap, misalkan
.
t
α α
=
Dari Persamaan a.5 jumlah kekayaan pada saat retirement
T
:
2 2
1 exp
1 ;
. 2
T T
W W
µ r
T B
t T
α α
α σ ασ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= + −
− +
= ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠
Dari Persamaan 2 nilai harapan fungsi kepuasan yang maksimal adalah
1
1 max
1
T
E W
γ α
γ
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− ⎣
⎦ .
1- 1
2 2
1- 2
2
1 1
1 exp
1 1
1 1
2 1
1 exp 1
1 1
2
T T
T
E W
E W
µ r
T B
W E
µ r
T B
γ γ
γ
α α
α σ γ ασ
γ γ
γ α
α α σ
ασ γ
−
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢ ⎥
= + −
− + −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥
− −
⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= −
+ − −
+ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎣
⎦
misalkan:
2 2
1 1
1 2
a µ
r
γ α α
α σ
⎛ ⎞
= − + −
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ 1
c
γ ασ
= −
sehingga:
1 1-
1-
1 1
exp 1
1 1
1
T
T T
cB T
E W
W E
aT cB
W e
E e
γ γ
γ
γ γ
γ
−
⎡ ⎤ ⎛
⎞ ⎡
⎤ =
+ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎣
⎦ −
− ⎣
⎦ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎡ ⎤
= ⎜ ⎟
⎣ ⎦
− ⎝
⎠
a
a.6
Diasumsikan gerak Brown 1-dimensi
{ }
, B T
T ≥
adalah proses stokastik dengan
B =
. Untuk
t T
≤ ≤
, selisih
B T B t
−
menyebar
0, N
T t
−
dengan fungsi kepekatan peluang:
2
1 exp
2 2
X
x f
x T
t T
t
π
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
dan fungsi pembangkit momen:
cX cx
X X
M c
E e e f
x dx =
=
∫
Persamaan a.6 menjadi:
2
2
2 2
2
2 1
1-
2 1-
2 2
2 2
1-
1-
1 1
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1
x T t
T cx
T x
cx T t
T c T t
c T t T t cx x
T t T
E W
W e
e e
dx T
t W
e e
dx T
t W
e e
dx T
t W
γ γ
γ
γ
γ
γ γ
π
γ π
γ π
γ
− ∞
− −
−∞ −
∞ −
−∞ −
− −
− −
+ ∞
− −∞
⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎛
⎞⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎜ ⎟
− −
− ⎣
⎦ ⎝ ⎠⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
⎞ ⎛
⎞⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜
⎟ −
− ⎝
⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞⎜
⎟ = ⎜
⎟⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
= −
⎝
∫
∫
∫
a
a
a
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 1-
2
2 1-
2
1 2
1 1
1 2
1 1
. 1
2
c T t c T t x x
c T t T t
T x c T t
c T t T t
T
x c T t c T t
T t T
e e
e dx
T t
W e
e e
dx T
t
W e e
e dx
T t
γ
γ
π
γ π
γ π
− −
+ −
− −
∞ −
−∞ − −
− −
∞ −
−∞ − −
− −
∞ −
−∞
⎛ ⎞
⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜
⎟ −
⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
∫
a
a
a
a.7
Pada Persamaan a.7
2
2
1 1
2
x c T t T t
e dx
T t
π
− − −
∞ −
−∞
= −
∫
karena merupakan fungsi sebaran. Persamaan a.7 menjadi:
2
1 1-
2
1 1
1 1
c T t T
T
E W
W e e
γ γ
γ γ
− −
⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎛
⎞⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎜ ⎟
− −
⎣ ⎦ ⎝
⎠⎝ ⎠
a
. Karena
t T
≤ ≤
, diasumsikan
t =
maka
T ≥
, sehingga:
2
2
1 1-
2 2
1-
1 1
1 1
1 1
c T T
T c
T
E W
W e e
W e
γ γ
γ
γ γ
γ
− ⎛
⎞ +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎛
⎞⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎜ ⎟
− −
⎣ ⎦ ⎝
⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− ⎝
⎠
a a
dengan:
2 2
1 1
1 2
a µ
r
γ α α
α σ
⎛ ⎞
= − + −
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ 1
c
γ ασ
= −
sehingga:
2 1
1- 2
2 2
2 1-
2 2
2 2
1- 2
2
1 1
1 1
exp 1
1 1
1 1
2 2
1 1
1 exp 1
1 1
1 2
2 1
1 exp 1
1 1
2
T
E W
W T
µ r
W T
µ r
W T
µ r
γ γ
γ γ
γ α α
α σ γ α σ
γ γ
γ α
α α σ
γ α σ γ
γ α
α γα σ
γ
−
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎛
⎞ ⎛
⎞ =
− + −
− +
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠ ⎣
⎦ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= −
+ − −
+ −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ =
− + −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
1
1 max
1
T
W
γ α
γ
−
⎡ ⎤
Ε ⎢ ⎥
− ⎣
⎦
akan tercapai jika α pada
2 2
1 1
2 µ
r
α α
γα σ
⎛ ⎞
+ − −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
maksimal, sehingga diperoleh
α yang optimal:
2 2
2 2
1 1
2 .
d µ
r d
µ r µ r
α α
γα σ α
γασ α
γ σ
⎛ ⎞
+ − −
= ⎜
⎟ ⎝
⎠ − −
= −
=
a.8
Dari pembatasan nilai 0 1
α
≤ ≤ , maka nilai α yang optimal menjadi:
2
min ,1
r
μ α
γσ
⎡ ⎤
− =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
. a.9
LAMPIRAN 2 Penurunan Persamaan 6 menjadi Persamaan 7.
Dari Persamaan 6: ln 1
x
d G t
dt η = −
− ⎡
⎤ ⎣
⎦ , b.1
dengan: G t
: fungsi sebaran dari T yang merupakan peluang seseorang berusia x akan meninggal dalam kurun waktu t tahun.
Diasumsikan:
s t
: fungsi bertahan hidup yang merupakan peluang seseorang berusia x akan mencapai usia
x t +
sehingga:
1 .
s t G t
= −
Maka Persamaan b.1 menjadi: ln
.
x
d s t
dt
η
= − ⎡
⎤ ⎣
⎦
b.2 Pengintegralan Persamaan b.2 dari x hingga
x t +
: ln
x t s
x
s x t ds
s x η
+
⎡ ⎤
+ −
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫
b.3 Diasumsikan seseorang baru lahir
x =
maka fungsi bertahan hidup seseorang berusia x akan sama dengan fungsi bertahan hidup seseorang baru lahir
s
akan meninggal pada saat
x t +
dengan syarat ia hidup mencapai usia x, direpresentasikan dengan:
x t
t x
x
s x t p
p p
s x
+
+ =
=
Sehingga Persamaan b.3 menjadi :
[ ] [
]
ln exp
exp ln exp
x t s
t x
x x t
s t
x x
x t t
x s
x
ds p
ds p
p ds
η η
η
+ +
+
− =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
∫
b.4
LAMPIRAN 3 Penurunan Persamaan 23 melalui Persamaan 24.