Contoh Penerapan Sebelum Retirement

Persamaan 28 memberikan nilai harapan kepuasan konsumsi sebagai suatu fungsi dari variable α dengan 0 1 α ≤ ≤ yang menunjukkan pilihan untuk memperoleh anuitas tetap segera dan anuitas variabel segera. Kepuasan konsumsi yang maksimal dari EU α , diperoleh dengan menurunkan EU α terhadap α dan menyetarakan dengan nilai nol, EU α = . Dari penurunan EU α pada Persamaaan 28 maka diperoleh Persamaaan 29. 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 r W r EU r γ λ μ γασ α ασ λ ρ γ α μ γ ασ − + − − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 29 dengan: 0 1 α ≤ ≤ ; γ 0 dan 1 γ ≠ r μ λ ρ + + . Bukti: lihat Lampiran 5. Nilai α yang optimal dicapai saat EU α = , dan diperoleh: 2 − = r μ α γσ , 30 Bukti : lihat Lampiran 6. karena 1 α ≤ ≤ , sehingga kepuasan konsumsi yang maksimal tercapai saat: 2 min ,1 r μ α γσ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎣ ⎦ ⎥ . 31 Persamaan 31 menjelaskan alokasi aset optimal saat retirement tidak bergantung pada tingkat diskon ρ maupun faktor kematian λ . Hal ini analog dengan alokasi aset optimal sebelum retirement yang ditunjukkan pada Persamaan 3. Uji turunan kedua dari nilai harapan kepuasan konsumsi yang telah didiskon EU α diperoleh: EU α , 32 Bukti: lihat Lampiran 7. sehingga α merupakan nilai yang optimal untuk EU α . IV CONTOH PENERAPAN

4.1 Contoh Penerapan Sebelum Retirement

Diasumsikan proporsi alokasi aset berisiko sebesar α dan proporsi alokasi aset bebas risiko sebesar 1 α − . Misalkan: • koefisien CRRA 2.5 γ = • volatilitas 20 σ = • tingkat imbal hasil yang diharapkan 10 μ = • tingkat imbal hasil konstan . 5 r = Pengaruh peningkatan γ , σ , μ , dan terhadap r α dapat dilihat pada Tabel 1, 2, 3 dan 4. Tabel 1. Pengaruh koefisien CRRA γ terhadap α 10 , 5 r μ = = dan 20 σ = γ 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 α 0.500 0.455 0.417 0.385 0.357 0.333 0.313 0.294 0.278 0.263 γ 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 7.25 α 0.250 0.238 0.227 0.217 0.208 0.200 0.192 0.185 0.179 0.172 Tabel 2. Pengaruh volatilitas σ terhadap α 10 , 5 r μ = = dan 2.5 γ = σ 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 α 0.500 0.454 0.413 0.378 0.347 0.320 0.296 0.274 0.255 0.238 σ 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 α 0.222 0.208 0.195 0.184 0.173 0.163 0.154 0.146 0.139 0.131 Tabel 3. Pengaruh tingkat imbal hasil yang diharapkan μ terhadap α 5 r = , 2.5 γ = dan 20 σ = μ 0.100 0.101 0.102 0.103 0.104 0.105 0.106 0.107 0.108 0.109 α 0.500 0.510 0.520 0.530 0.540 0.550 0.560 0.570 0.580 0.590 μ 0.110 0.111 0.112 0.113 0.114 0.115 0.116 0.117 0.118 0.119 α 0.600 0.610 0.620 0.630 0.640 0.650 0.660 0.670 0.680 0.690 Tabel 4. Pengaruh tingkat imbal hasil konstan terhadap r α 10 μ = , 2.5 γ = dan 20 σ = r 0.050 0.051 0.052 0.053 0.054 0.055 0.056 0.057 0.058 0.059 α 0.500 0.490 0.480 0.470 0.460 0.450 0.440 0.430 0.420 0.410 r 0.060 0.061 0.062 0.063 0.064 0.065 0.066 0.067 0.068 0.069 α 0.400 0.390 0.380 0.370 0.360 0.350 0.340 0.330 0.320 0.310 Catatan : • Pembulatan tiga angka di belakang koma untuk nilai α . • Pada setiap tabel diujikan 20 contoh penghitungan. Tabel 1 menjelaskan pengaruh koefisien CRRA γ terhadap alokasi aset. Peningkatan nilai γ akan berakibat pada penurunan proporsi alokasi aset berisiko α dan akan meningkatkan proporsi alokasi aset bebas risiko 1 α − . Nilai γ yang semakin besar menjelaskan bahwa individu akan semakin menghindari risiko investasi. Penggambaran dalam bentuk kurva: + + + + + + + + + + + + + + + 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 g 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a dan H1-aL Gambar 1. Pengaruh γ terhadap α dan 1 α − Dari Gambar 1 dapat dilihat: naik turun dan 1 naik γ α α → − Tabel 2 menjelaskan pengaruh volatilitas σ terhadap alokasi aset. Peningkatan nilai σ akan berakibat pada penuruan proporsi alokasi aset berisiko α dan akan meningkatkan proporsi alokasi aset bebas risiko 1 α − . Nilai volatilitas σ yang semakin besar menggambarkan harga saham yang semakin tidak stabil, sehingga individu cenderung menurunkan risiko investasi. Penggambaran dalam bentuk kurva diberikan pada Gambar 2. + α 1 α − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 s 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a dan H1-aL Gambar 2. Pengaruh σ terhadap α dan 1 α − Dari Gambar 2 dapat dilihat: naik turun dan 1 naik σ α α → − Tabel 3 menjelaskan pengaruh tingkat imbal hasil yang diharapkan μ terhadap alokasi aset. Peningkatan nilai μ akan berakibat pada kenaikan proporsi alokasi aset berisiko α dan akan menurunkan proporsi alokasi aset bebas risiko 1 α − . Semakin besar nilai μ maka individu akan cenderung menginvestasikan asetnya ke dalam sub- rekening aset berisiko yang akan memberikan tingkat keuntungan yang besar. Penggambaran dalam bentuk kurva: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0.100 0.105 0.110 0.115 0.120 m 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a dan H1-aL Gambar 3. Pengaruh μ terhadap α dan 1 α − Dari Gambar 3 dapat dilihat: naik naik dan 1 turun μ α α → − Tabel 4 menjelaskan pengaruh tingkat imbal hasil konstan terhadap alokasi aset. Peningkatan nilai akan berakibat pada penurunan proporsi alokasi aset berisiko r r α dan akan meningkatkan proporsi alokasi aset bebas risiko 1 α − . Penggambaran dalam bentuk kurva: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070 r 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a dan H1-aL + α 1 α − + α 1 α − Gambar 4. Pengaruh terhadap r α dan 1 α − Dari Gambar 4 dapat dilihat: naik turun dan 1 naik r α α → − 4.2 Contoh Penerapan Saat Retirement Diasumsikan seorang individu berumur 40 tahun memiliki kekayaan sebesar Rp.100,000,000 yang diinvestasikan ke dalam rekening anuitas variabel. Ketika berumur 65 tahun akumulasi kekayaan di dalam rekening anuitas variabel berakhir, dan total kekayaan yang terkumpul sebesar Rp.500,000,000. Total kekayaan yang terkumpul selanjutnya dialokasikan ke dalam bentuk anuitas. Misalkan: • koefisien CRRA 2.5 γ = + α 1 α − • volatilitas 20 σ = • tingkat imbal hasil yang diharapkan 10 μ = • tingkat imbal hasil konstan 5 = r • tingkat diskon 4 = h • percepatan kematian 2 λ = • gerak Brown 1-dimensi menyebar t B 0,1 N maka: 2 min ,1 r μ α γσ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ [ ] min 0.5,1 0.5. = = Sehingga proporsi alokasi aset berisiko 50 α = , dan proporsi alokasi aset bebas risiko 1 50 α − = . Pendapatan selama 15 tahun dari anuitas tetap segera ATS dan anuitas variabel segera AVS dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5. Pendapatan dari ATS dan AVS dengan 50 α = dan 1 50 α − = Tahun Ke-t Gerak Brown 1-dimensi t B PendapatanTahun Dari ATS PendapatanTahun Dari AVS Total PendapatanTahun Total PendapatanBulan 1 0.125872 17,500,000 17,257,853 34,757,853 2,896,488 2 0.436897 17,500,000 19,019,643 36,519,643 3,043,304 3 -0.443532 17,500,000 16,516,940 34,016,940 2,834,745 4 0.446364 17,500,000 20,437,383 37,937,383 3,161,449 5 -0.111256 17,500,000 18,931,775 36,431,775 3,035,981 6 -0.381341 17,500,000 18,575,151 36,075,151 3,006,263 7 0.252445 17,500,000 21,836,479 39,336,479 3,278,040 8 0.345285 17,500,000 23,038,112 40,538,112 3,378,176 9 -0.245533 17,500,000 21,199,685 38,699,685 3,224,974 10 -0.423018 17,500,000 21,189,151 38,689,151 3,224,096 11 0.0256792 17,500,000 24,004,198 41,504,198 3,458,683 12 0.345007 17,500,000 26,498,664 43,998,664 3,666,555 13 0.0157028 17,500,000 25,693,383 43,193,383 3,599,449 14 -0.0912821 17,500,000 26,045,278 43,545,278 3,628,773 15 -0.211349 17,500,000 26,333,005 43,833,005 3,652,750 Total Pendapatan Setelah Tahun Ke-15 262,500,000 326,576,700 589,076,700 Catatan: Perolehan nilai dapat dilihat pada Lampiran 9. t B Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa pendapatan tetap yang diperoleh dari anuitas tetap segera ATS sebesar Rp.17,500,000 per tahun. Pendapatan yang diperoleh dari anuitas variabel segera AVS berubah-ubah. Total pendapatan dari ATS dan AVS setelah tahun ke-15 sebesar Rp. 589,076,700. Hal ini berarti individu tersebut telah mendapatkan kembali kekayaan yang dialokasikan pada saat retirement sebesar Rp.500,000,000. Penggambaran dalam bentuk kurva: + + + + + + + + + + + + + + + 5 10 15 t 5. μ 106 1. μ 107 1.5 μ 107 2. μ 107 2.5 μ 107 3. μ 107 Pendapatan dari ATS dan AVS Gambar 5. Pendapatan dari ATS dan AVS pada tahun ke-t Dari Gambar 5 dapat dilihat: • Anuitas tetap segera ATS menghasilkan penerimaan pendapatan tetap setiap tahun. • Anuitas variabel segera AVS menghasilkan penerimaan pendapatan berubah-ubah setiap tahun, bergantung pada harga saham di pasar bursa. • Pendapatan setiap tahun yang diperoleh dari AVS cenderung lebih besar dibandingkan dengan pendapatan yang diperoleh dari ATS. + Pendapatan dari AVS Pendapatan dari ATS V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan