Persamaan 28 memberikan nilai harapan kepuasan konsumsi sebagai suatu fungsi dari
variable α dengan 0
1
α
≤ ≤ yang menunjukkan pilihan untuk memperoleh
anuitas tetap segera dan anuitas variabel segera. Kepuasan konsumsi yang maksimal
dari
EU
α , diperoleh dengan menurunkan
EU
α terhadap α dan menyetarakan
dengan nilai nol,
EU
α
=
. Dari penurunan
EU
α pada Persamaaan 28 maka diperoleh Persamaaan 29.
1
2 2
2 2
1 1
1 2
2 r W
r EU
r
γ
λ μ
γασ α
ασ λ ρ
γ α μ γ ασ
−
+ − −
= ⎛
⎞ ⎛
⎞ + − −
− − −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ 29
dengan: 0 1
α
≤ ≤ ; γ 0 dan 1
γ ≠
r
μ λ ρ
+ +
. Bukti: lihat Lampiran 5.
Nilai α yang optimal dicapai saat
EU α = , dan diperoleh:
2
− =
r μ
α γσ
, 30 Bukti : lihat Lampiran 6.
karena 1
α
≤ ≤ , sehingga kepuasan konsumsi yang maksimal tercapai saat:
2
min ,1
r μ
α γσ
⎡ ⎤
− =
⎢ ⎣
⎦ ⎥ . 31
Persamaan 31 menjelaskan alokasi aset optimal saat
retirement tidak bergantung pada tingkat diskon
ρ maupun faktor kematian λ . Hal ini analog dengan alokasi aset optimal
sebelum retirement yang ditunjukkan pada Persamaan 3.
Uji turunan kedua dari nilai harapan kepuasan konsumsi yang telah didiskon
EU α diperoleh:
EU
α ,
32 Bukti: lihat Lampiran 7.
sehingga α merupakan nilai yang optimal
untuk EU
α .
IV CONTOH PENERAPAN
4.1 Contoh Penerapan Sebelum Retirement
Diasumsikan proporsi alokasi aset berisiko sebesar
α dan proporsi alokasi aset bebas risiko sebesar
1 α
− .
Misalkan: • koefisien CRRA
2.5 γ =
• volatilitas 20
σ = • tingkat imbal hasil yang diharapkan
10
μ
=
• tingkat imbal hasil konstan .
5 r
=
Pengaruh peningkatan γ ,
σ , μ , dan terhadap
r α dapat dilihat pada Tabel 1, 2, 3
dan 4.
Tabel 1. Pengaruh koefisien CRRA γ terhadap
α
10 , 5
r
μ
= =
dan 20
σ = γ
2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75
4 4.25 4.5 4.75 α
0.500 0.455 0.417 0.385 0.357 0.333 0.313 0.294 0.278 0.263 γ
5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75
7 7.25 α
0.250 0.238 0.227 0.217 0.208 0.200 0.192 0.185 0.179 0.172
Tabel 2. Pengaruh volatilitas σ terhadap α
10 , 5
r
μ
= =
dan
2.5
γ
=
σ 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29
α 0.500 0.454 0.413 0.378 0.347 0.320 0.296 0.274 0.255 0.238
σ 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39
α 0.222 0.208 0.195 0.184 0.173 0.163 0.154 0.146 0.139 0.131
Tabel 3. Pengaruh tingkat imbal hasil yang diharapkan μ terhadap
α 5
r
= ,
2.5 γ =
dan 20
σ = μ
0.100 0.101 0.102 0.103 0.104 0.105 0.106 0.107 0.108 0.109 α
0.500 0.510 0.520 0.530 0.540 0.550 0.560 0.570 0.580 0.590 μ
0.110 0.111 0.112 0.113 0.114 0.115 0.116 0.117 0.118 0.119 α
0.600 0.610 0.620 0.630 0.640 0.650 0.660 0.670 0.680 0.690 Tabel 4. Pengaruh tingkat imbal hasil konstan
terhadap
r
α 10
μ = ,
2.5 γ =
dan 20
σ =
r
0.050 0.051 0.052 0.053 0.054 0.055 0.056 0.057 0.058 0.059 α
0.500 0.490 0.480 0.470 0.460 0.450 0.440 0.430 0.420 0.410
r
0.060 0.061 0.062 0.063 0.064 0.065 0.066 0.067 0.068 0.069 α
0.400 0.390 0.380 0.370 0.360 0.350 0.340 0.330 0.320 0.310 Catatan :
• Pembulatan tiga angka di belakang koma untuk nilai α . • Pada setiap tabel diujikan 20 contoh penghitungan.
Tabel 1 menjelaskan pengaruh koefisien CRRA
γ terhadap alokasi aset. Peningkatan nilai
γ akan berakibat pada penurunan proporsi alokasi aset berisiko
α dan akan meningkatkan proporsi alokasi aset bebas
risiko 1
α −
. Nilai γ yang semakin besar
menjelaskan bahwa individu akan semakin menghindari risiko investasi.
Penggambaran dalam bentuk kurva:
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ 2.5
3.0 3.5
4.0 4.5
5.0 5.5
6.0 g
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
a dan H1-aL
Gambar 1. Pengaruh γ terhadap
α dan
1 α
− Dari Gambar 1 dapat dilihat:
naik turun dan 1
naik
γ α
α →
−
Tabel 2 menjelaskan pengaruh volatilitas σ terhadap alokasi aset. Peningkatan nilai σ
akan berakibat pada penuruan proporsi alokasi aset berisiko
α dan akan meningkatkan proporsi alokasi aset bebas risiko
1
α
−
. Nilai volatilitas
σ yang semakin besar menggambarkan harga saham yang semakin
tidak stabil, sehingga individu cenderung menurunkan risiko investasi.
Penggambaran dalam bentuk kurva diberikan pada Gambar 2.
+ α
1 α
−
+ +
+ + +
+ + + + +
+ + + + + + + + + +
0.20 0.25
0.30 0.35
0.40 s
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
a dan H1-aL
Gambar 2. Pengaruh σ terhadap α
dan
1
α
−
Dari Gambar 2 dapat dilihat: naik
turun dan 1 naik
σ α
α →
−
Tabel 3 menjelaskan pengaruh tingkat imbal hasil yang diharapkan
μ terhadap alokasi aset. Peningkatan nilai
μ akan berakibat pada kenaikan proporsi alokasi aset
berisiko α dan akan menurunkan proporsi
alokasi aset bebas risiko
1
α
−
. Semakin besar nilai
μ maka individu akan cenderung menginvestasikan asetnya ke dalam sub-
rekening aset berisiko yang akan memberikan tingkat keuntungan yang besar.
Penggambaran dalam bentuk kurva:
+ + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
0.100 0.105
0.110 0.115
0.120 m
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
a dan H1-aL
Gambar 3. Pengaruh μ terhadap
α dan
1 α
− Dari Gambar 3 dapat dilihat:
naik naik dan 1
turun
μ α
α →
−
Tabel 4 menjelaskan pengaruh tingkat imbal hasil konstan
terhadap alokasi aset. Peningkatan nilai
akan berakibat pada penurunan proporsi alokasi aset berisiko
r r
α dan akan meningkatkan proporsi alokasi aset
bebas risiko
1
α
−
. Penggambaran dalam bentuk kurva:
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
0.050 0.055
0.060 0.065
0.070 r
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
a dan H1-aL
+ α
1 α
− +
α 1
α −
Gambar 4. Pengaruh terhadap
r
α dan
1
α
−
Dari Gambar 4 dapat dilihat:
naik turun dan 1
naik r
α α
→ −
4.2 Contoh Penerapan Saat
Retirement
Diasumsikan seorang individu berumur 40 tahun memiliki kekayaan sebesar
Rp.100,000,000 yang diinvestasikan ke dalam rekening anuitas variabel. Ketika berumur 65
tahun akumulasi kekayaan di dalam rekening anuitas variabel berakhir, dan total kekayaan
yang terkumpul sebesar Rp.500,000,000. Total kekayaan yang terkumpul selanjutnya
dialokasikan ke dalam bentuk anuitas. Misalkan:
• koefisien CRRA 2.5
γ = +
α 1
α −
• volatilitas 20
σ = • tingkat imbal hasil yang diharapkan
10 μ =
• tingkat imbal hasil konstan 5
=
r
• tingkat diskon 4
=
h
• percepatan kematian 2
λ = • gerak Brown 1-dimensi menyebar
t
B
0,1
N
maka:
2
min ,1
r
μ α
γσ ⎡
⎤ −
= ⎢
⎥ ⎣
⎦
[ ]
min 0.5,1 0.5.
= =
Sehingga proporsi alokasi aset berisiko 50
α = , dan proporsi alokasi aset bebas
risiko
1 50
α
− =
. Pendapatan selama 15 tahun dari anuitas tetap segera ATS dan
anuitas variabel segera AVS dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5. Pendapatan dari ATS dan AVS dengan 50
α = dan
1 50
α
− =
Tahun Ke-t
Gerak Brown 1-dimensi
t
B
PendapatanTahun Dari ATS
PendapatanTahun Dari AVS
Total PendapatanTahun
Total PendapatanBulan
1 0.125872 17,500,000 17,257,853 34,757,853 2,896,488
2 0.436897 17,500,000 19,019,643 36,519,643 3,043,304
3 -0.443532 17,500,000 16,516,940 34,016,940 2,834,745
4 0.446364 17,500,000 20,437,383 37,937,383 3,161,449
5 -0.111256 17,500,000 18,931,775 36,431,775 3,035,981
6 -0.381341 17,500,000 18,575,151 36,075,151 3,006,263
7 0.252445 17,500,000 21,836,479 39,336,479 3,278,040
8 0.345285 17,500,000 23,038,112 40,538,112 3,378,176
9 -0.245533 17,500,000 21,199,685 38,699,685 3,224,974
10 -0.423018 17,500,000 21,189,151 38,689,151 3,224,096
11 0.0256792 17,500,000 24,004,198 41,504,198 3,458,683
12 0.345007 17,500,000 26,498,664 43,998,664 3,666,555
13 0.0157028 17,500,000 25,693,383 43,193,383 3,599,449
14 -0.0912821 17,500,000
26,045,278 43,545,278 3,628,773 15 -0.211349
17,500,000 26,333,005 43,833,005 3,652,750 Total Pendapatan
Setelah Tahun Ke-15
262,500,000 326,576,700 589,076,700 Catatan: Perolehan nilai
dapat dilihat pada Lampiran 9.
t
B
Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa pendapatan tetap yang diperoleh dari anuitas
tetap segera ATS sebesar Rp.17,500,000 per tahun. Pendapatan yang diperoleh dari anuitas
variabel segera AVS berubah-ubah. Total pendapatan dari ATS dan AVS setelah tahun
ke-15 sebesar Rp. 589,076,700. Hal ini berarti individu tersebut telah mendapatkan kembali
kekayaan yang dialokasikan pada saat retirement sebesar Rp.500,000,000.
Penggambaran dalam bentuk kurva:
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ + + + +
5 10
15 t
5. μ 106 1. μ 107
1.5 μ 107 2. μ 107
2.5 μ 107 3. μ 107
Pendapatan dari ATS dan AVS
Gambar 5. Pendapatan dari ATS dan AVS pada tahun ke-t
Dari Gambar 5 dapat dilihat: • Anuitas tetap segera ATS
menghasilkan penerimaan pendapatan tetap setiap tahun.
• Anuitas variabel segera AVS menghasilkan penerimaan
pendapatan berubah-ubah setiap tahun, bergantung pada harga
saham di pasar bursa.
• Pendapatan setiap tahun yang diperoleh dari AVS cenderung
lebih besar dibandingkan dengan pendapatan yang diperoleh dari
ATS.
+ Pendapatan dari AVS
Pendapatan dari ATS
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan