Definisi 30. Anuitas Tetap fix annuity
2. Jika dan suatu konstanta dan
adalah peubah acak, maka:
1
k
2
k
1 2
, V V
[ ]
[ ] [ ]
1 1 2
2 1
1 2
2
E k V k V
k E V k E V
+ =
+ .
Secara umum, jika adalah
konstanta dan adalah
peubah acak, maka:
1 2
, ,...,
n
k k k
1 2
, ,...,
n
V V V
[ ]
1 1 2
2
...
n n
E k V k V
k V +
+ +
[ ] [ ]
[ ]
1 1
2 2
...
n n
k E V k E V
k E V =
+ + +
. Anuitas tetap adalah suatu rangkaian
pembayaranpenerimaan setiap periode dengan jumlah yang tetap.
Rejda 2004 Definisi 31. Anuitas Variabel
variable annuity
Anuitas variabel adalah rangkaian pembayaranpenerimaan setiap periode tidak
tetap naik atau turun bergantung pada harga saham di pasar bursa.
Hogg, McKean and Craig 2005 Bukti: lihat Hogg, McKean and Craig 2005.
Rejda 2004 Teorema 2. Fubini
Fubinis theorem Definisi 32. Anuitas Segera
immediate annuity
Misalkan
1
, , X A
μ dan
2
, B, Y
μ adalah dua ruang ukuran
σ berhingga. Jika atau
f ≥
1 2
,
X Y
f d
μ μ
×
∞
∫
maka: Anuitas segera adalah rangkaian
pembayaranpenerimaan secara berkala pada tiap akhir periode yang telah ditentukan.
Rejda 2004
2 1
,
X Y X Y
f x y dy
dx f d
μ μ
μ
×
=
∫∫ ∫
2.11 Volatilitas, Dividen, Bunga dan Diskon
1 2
,
Y X
f x y dx
dy
μ μ
=
∫∫
.
Definisi 33. Volatilitas volatility
Volatilitas σ menyatakan tingkat risiko suatu
aset yang ditunjukkan oleh keacakan harga saham.
Durret 1996 Bukti: lihat Durret 1996
.
Harvey and Gretchen 2002
Teorema 3. Formula Ito 1-Dimensi the
1-dimensional Ito formula Definisi 34. Dividen
dividend
Dividen adalah pembagian keuntungan kepada pemegang saham berdasarkan
banyaknya saham yang dimiliki. Misalkan
t
X
adalah proses Ito yang diketahui berbentuk:
= +
t t
dX u dt
v dB
, Harvey and Gretchen 2002
dan misalkan
[
2
, 0,
∈ ∞
g t x C
x R
g
terturunkan dua kali yang kontinu dalam
[
0, ∞ x R . Misalkan
, maka merupakan proses Ito, dan
,
t
Y g t X
=
Definisi 35. Bunga
interest
Bunga adalah imbal hasil yang dibayarkan oleh peminjam atas dana yang diterima.
t t
Y
Rejda 2004
2 2
2
, ,
1 ,
, 2
t t
t t
t
g g
dY t X
dt t X
dX t
x g
t X dX
x
t
∂ ∂
= +
∂ ∂
∂ +
∂
Definisi 36. Diskon discount
Diskon adalah metode pengurangan bunga pinjaman di awal transaksi.
Rejda 2004 dengan
dihitung mengikuti kaidah:
2
.
t t
dX dX
dX =
t
Definisi 37. Faktor Diskon discount factor
Faktor diskon pada waktu tahun ke-h dengan tingkat diskon sebesar
δ didefinisikan sebagai:
h h
v e
δ
−
=
.
0 , .
t t
t t
dt dt dt dB
dB dt dB dB
dt ⋅ = ⋅
= ⋅ =
⋅ =
Oksendal 2003
Gerber 1997
Bukti: lihat Oksendal 2003
.
2.12 Beberapa Teorema yang Digunakan Teorema 1. Beberapa sifat dari nilai
harapan: 1.
Jika k suatu konstanta, maka
[ ]
. =
E k k
III MODEL OPTIMALISASI ALOKASI ASET
Deskripsi Permasalahan
Misalkan investasi aset di dalam rekening anuitas variabel dipisah menjadi dua sub-
rekening, yaitu sub-rekening aset bebas risiko dan sub-rekening aset berisiko. Dalam karya
ilmiah ini dimodelkan suatu strategi keputusan dalam mengoptimalkan alokasi aset di dalam
kontrak anuitas variabel sehingga diperoleh hasil yang maksimal saat retirement.
Formulasi Model
Tahap optimalisasi alokasi aset di dalam kontrak anuitas variabel, yaitu :
1. Alokasi aset sebelum retirement
2. Pendapatan dari anuitas saat retirement
3. Alokasi aset saat retirement.
3.1 Alokasi Aset Sebelum
Retirement
Diasumsikan seorang individu memulai suatu kontrak anuitas variabel dengan
investasi awal sebesar . Investasi aset di
dalam rekening anuitas variabel kemudian disimpan sampai waktu T retirement. Arus
simpanan baru yang masuk ke dalam rekening anuitas variabel diasumsikan sebesar
W
s dt
, dengan
. Selama tahap pengumpulan pengakumulasian aset, seluruh dividen, bunga,
dan keuntungan modal yang didapat diinvestasikan kembali ke dalam rekening,
dan seluruh pajak ditangguhkan sampai tahap penerimaan pendapatan dimulai ketika
retirement
. Pada saat retirement tahap pengumpulan aset berakhir dan tahap
penerimaan pendapatan dari anuitas segera dimulai.
s ≥
Dalam rekening anuitas variabel, investasi aset dipisah menjadi dua sub-rekening, yaitu
sub-rekening aset bebas risiko dan sub- rekening aset berisiko. Investasi aset di dalam
sub-rekening bebas risiko akan berupa anuitas tetap yang akan menghasilkan rangkaian
pendapatan dengan jumlah yang tetap setiap periode. Investasi aset di dalam sub-rekening
berisiko akan berupa anuitas variabel yang akan menghasilkan pembayaran pendapatan
tidak tetap naik atau turun setiap periode, bergantung pada fluktuasi harga saham di
pasar bursa.
Proporsi alokasi aset pada sub-rekening aset berisiko diasumsikan sebesar
t
α dan proporsi untuk sub-rekening aset bebas risiko
sebesar
1
t
α
−
. Proporsi kedua sub-rekening itu dialokasikan pada waktu
t
. Jumlah nominal
t
W 1
t
α
−
dialokasikan ke dalam aset bebas risiko, dengan tingkat imbal hasil
konstan sebesar r per periode. Sisa dari alokasi aset bebas risiko dimasukkan ke dalam
sub-rekening aset berisiko sejumlah
t
W
t
α , dengan tingkat imbal hasil yang diharapkan
sebesar μ dan volatilitasnya sebesar
σ per periode.
Akumulasi asetkekayaan pada rekening anuitas variabel mengikuti persamaan
diferensial stokastik 1-dimensi:
1
t t
t t
t t
dW W
µ r dt
s dt W dB
α α
α σ
= + −
t
+ +
1 dengan:
1
α
≤ ≤ , 0 t T ≤
t
B
: gerak Brown 1-dimensi. Volatilitas
σ menyatakan tingkat keacakan harga saham, dan
adalah bagian yang mengandung keacakanketidakpastian dari
harga saham. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham.
Sebaliknya, semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham
tersebut.
t
dB
Setiap individu akan mengoptimalkan alokasi aset pada tahap sebelum retirement
dalam kontrak anuitas variabel untuk memaksimalkan kepuasan yang diharapkan
atas kekayaan saat retirement T. Fungsi kepuasan dalam hal ini diasumsikan sebagai
tipe Constant relative risk aversion CRRA dalam bentuk persamaan berikut:
1
1 =
1
T
U W W
γ
γ
−
−
, γ 0 dan
1
γ
≠
, dengan
γ merupakan koefisien dari constant relative risk aversion.
Nilai harapan fungsi kepuasan yang maksimal sebelum retirement
direpresentasikan dalam bentuk:
1
1 max
1
t
T
W
γ α
γ
−
⎡ ⎤
Ε ⎢ ⎥
− ⎣
⎦
. 2 Dari Persamaan 2 diperoleh alokasi optimal
untuk aset berisiko:
2
min ,1
r
μ α
γσ
⎡ ⎤
− =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
. 3 Bukti: lihat Lampiran 1.
r
μ Premi risiko ditunjukkan dengan
−
yang selalu bernilai positif dan γ 0, sehingga
dijamin nilai .
α
≥
3.2 Pendapatan dari Anuitas Saat Retirement
