Definisi 4. Medan- σ σ -field
Medan- σ adalah suatu himpunan
F
yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut : 1.
,
∅ ∈ F
2. Jika maka
1 2
, ,...
A A ∈ F
1 i
i
A
∞ =
∈
∪
F
, 3. Jika
A
maka .
∈ F
c
A ∈ F
Grimmet and Stirzaker 2001 Definisi 5. Ukuran Peluang
probability measure
Misalkan adalah medan-
F
σ dari ruang contoh
Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi pada
yang memenuhi:
: [0,
P →
F 1]
, Ω F
1. dan
P ∅ =
1. P
Ω =
2. Jika adalah himpunan yang
saling lepas yaitu untuk
setiap pasangan , maka
.
1 2
, ,...
A A ∈ F
i j
A A
∩ = ∅
i j
≠
1 1
i i
i i
P A
P A
∞ ∞
= =
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠
∑ ∪
Grimmet and Stirzaker 2001 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Massa
Peluang
Definisi 6. Peubah Acak
random variable
Misalkan adalah medan-
F
σ dari ruang contoh
Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi
: X
R Ω →
dengan sifat untuk setiap
{
: X x
ω ω
∈ Ω ≤
∈ F
}
x R
∈
. Grimmet and Stirzaker 2001
Definisi 7. Peubah Acak Diskret
discrete random variable
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terbilang
dari R.
Grimmet and Stirzaker 2001 Catatan:
Suatu himpunan bilangan C disebut terbilang, jika C terdiri atas bilangan terhingga atau
anggota C dapat dipadankan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
Definisi 8. Fungsi Massa Peluang
probability mass function
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi
[ ]
: 0,
p R → 1 yang
diberikan oleh:
X
p x
P X x
= =
. Grimmet and Stirzaker 2001
Definisi 9. Peubah Acak Kontinu continuous random variable
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi
X
f x sehingga fungsi sebaran
P
X
F x
X x
= ≤
dapat dinyatakan sebagai:
x X
X
F x
f u
−∞
= ∫ du
,
x R
∈
, dengan
[ ]
: 0,
f R →
∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi
kepekatan peluang bagi X. Grimmett and Stirzaker 2001
Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.
2.3 Fungsi Sebaran, Sebaran Eksponen dan
Sebaran Normal Definisi 10. Fungsi Sebaran
distribution function
Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang . Misalkan kejadian
A
]
, A
x = −∞
⊂ A , maka peluang dari kejadian A adalah
P
X X
p A
X x
F x
= ≤
= .
Fungsi
X
F
disebut fungsi sebaran dari peubah acak X.
Hogg, McKean and Craig 2005
Definisi 11. Sebaran Eksponen
exponential distribution
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar eksponen dengan parameter
λ , jika
nilainya terletak pada
[
dan memiliki fungsi kepekatan peluang:
0, ∞
x X
f x
e
λ
λ
−
=
I
.
x ≥
Hogg, McKean and Craig 2005
Definisi 12. Sebaran Normal normal
distribution Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
normal dengan parameter μ dan
2
σ , dinotasikan dengan
2
, N
μ σ , jika mempunyai fungsi kepekatan peluang:
2 2
1 exp
2 2
X
x f
x
μ σ
π σ
⎛ ⎞
− ⎜
⎟ =
− ⎜
⎟ ⎝
⎠
dengan x
−∞ ∞ . Hogg, McKean and Craig 2005
2.4 Nilai Harapan dan Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 13. Nilai Harapan
expected value
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan
fungsi massa peluang , maka nilai
harapan dari X, dinotasikan dengan
X
p x
[ ]
E X , adalah:
[ ]
E X
X x
xp x
=
∑
, asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Misalkan X adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang
X
f x .
Nilai harapan dari X adalah:
[ ]
X
E X xf
x dx
∞ −∞
=
∫
, asalkan integral di atas konvergen mutlak.
Hogg, McKean and Craig 2005 Definisi 14. Fungsi Pembangkit Momen
moment generating function
Misalkan
X
adalah peubah acak kontinu atau diskret dan adalah bilangan positif
sehingga untuk , nilai harapan
ada. Jika h
h t
h −
tX
E e X
peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
X
f , fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan
sebagai:
.
∞ −∞
=
∫
tX tx
X
E e e f
x dt Jika
X peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
, fungsi pembangkit momen dari
X
p
X
didefinisikan sebagai: =
∑
tX tx
X x
E e e p
x .
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak
X
dinotasikan
X
M t
. Grimmet and Stirzaker 2001
2.5 Proses Stokastik dan Gerak Brown
1-Dimensi Definisi 15. Proses Stokastik
stochastic process
Proses stokastik
{ , }
X X t t
T
= ∈
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
ruang keadaan S. Ross 2003
Definisi 16. Ruang Keadaan state space
Misalkan X adalah suatu peubah acak yang memiliki nilai pada himpunan terbilang S,
maka S dikatakan ruang keadaan. Grimmet and Stirzaker 2001
Definisi 17. Gerak Brown 1-Dimensi
1- dimensional Brownian motion
Proses stokastik
B t
, dikatakan
sebagai gerak Brown 1-dimensi, apabila
[
0, t
∈ ∞
B t
memiliki sifat-sifat berikut: 1.
{ }
P B 1
= = .
2. Untuk sembarang
, peubah acak
,
1 2
.
n
t t
t t
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ..
1
B t B t
−
2 1
, ...,
n n
B t B t
B t B t
−
− −
1
saling bebas.
3. Untuk
s t
≤ ≤ , selisih B t
B s −
menyebar 0,
N t
s −
Oksendal 2003
2.6 Persamaan Diferensial Stokastik
1-Dimensi dan Proses Ito 1-Dimensi
Definisi 18. Persamaan Diferensial Stokastik 1-Dimensi
1-dimensional stochastic differential equation
Persamaan diferensial stokastik 1-dimensi adalah proses stokastik
X t
pada ruang peluang
, , P
Ω F yang memiliki bentuk:
, ,
dX t a X t t dt
b X t t dB t =
+ ,
dengan
B t
adalah gerak Brown 1-dimensi pada
, , P
Ω F .
Oksendal 2003
Definisi 19. Proses Ito 1-Dimensi 1-
dimensional Ito process Proses Ito integral stokastik 1-dimensi
adalah proses stokastik X t
pada ruang peluang
, , P
Ω F yang memiliki bentuk:
, ,
.
t t
X t X
a X s s d b X s s dB s
= +
+
∫ ∫
s
dengan B t
adalah gerak Brown 1-dimensi pada
, , P
Ω F .
Oksendal 2003
2.7 Sebaran Kehidupan, Nilai Harapan Sisa Hidup dan Percepatan Kematian
